Параллельный перенос прямоугольного треугольника

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

Параллельный перенос прямоугольного треугольникаЕсли при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

Параллельный перенос прямоугольного треугольника

то параллельный перенос задаётся формулами:

Параллельный перенос прямоугольного треугольника

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

Параллельный перенос прямоугольного треугольника

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Параллельный перенос прямоугольного треугольника

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A0A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A0 равен величине ZA – ZB, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П1.

Откладываем A’A0 = ZA – ZB перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A0B’ треугольника A0A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П1, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’1F’1 (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’1F’1 = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»1 и F»1. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Параллельный перенос прямоугольного треугольника

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’1N’1, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»1. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»1 и M»1 искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Параллельный перенос прямоугольного треугольника

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Геометрия. 9 класс

Конспект
Отметим точки A, B и зададим некоторый вектор а. Отложим вектор а от каждой из точек. При этом точка А отображается в точку А1, точка В отображается в точку В1. Таким образом вектор АА1 равен вектору ВВ1 и равны вектору а. Этот вид отображения плоскости на себя называется параллельным переносом.

Проведем отрезок АВ. Отложим вектор р от точек А и В. При этом точка А отображается в точку А1, точка В отображается в точку В1. Проведем отрезок А1В1. Отрезок АВ отображается на отрезок А1В1 при параллельном переносе на вектор р.

Построим треугольник ABC и задаем некоторый вектор а. Отложим вектор р от каждой из точек А, В, С. При этом точка А отображается в точку А1, точка В отображается в точку В1, точка С отображается в точку С1. Таким образом векторы АА1 = ВВ1 = СС1 и равны вектору а. Соединим отрезками точки А1, В1, С1. Треугольник АВС отображается на треугольник А1В1С1 при параллельном переносе на вектор а.
Сформулируем определение. Параллельным переносом на вектор р называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что вектор ММ1 = р. Является ли параллельный перенос движением – отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние?

Пусть при параллельном переносе на вектор а точки M и N отображаются в точки M1 и N1. Так как вектор MM1 равен вектору a и вектор NN1 равен вектору a, то векторы MM1 и NN1 равны, т.е. MM1 = NN1, MM1NN1 следовательно, четырехугольник – параллелограмм, т.е. MN = M1N1. Значит, расстояние не изменяется. Таким образом доказали, что параллельный перенос является движением. Отметим следующие свойства.
При параллельном переносе:
1) отрезок переходит в равный ему отрезок;

2) угол переходит в равный ему угол;

3) окружность переходит в равную ей окружность;

4) любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник;

5) параллельные прямые переходят в параллельные прямые;

6) перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.

Чтобы задать параллельный перенос достаточно задать некоторый вектор т.е. указать направление и расстояние.

📹 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещения

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Нахождение истинной формы плоской фигуры методом плоско параллельного перемещенияСкачать

Нахождение истинной формы плоской фигуры методом плоско параллельного перемещения

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Свойства параллельного переноса. Геометрия 8 классСкачать

Свойства параллельного переноса. Геометрия 8 класс

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 класс

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольника

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: