Параллельный перенос окружности на окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Метод параллельного переноса

Перейдем сразу к решению задач на построение методом параллельного переноса.

Задача 6.34. Даны две окружности F_v F₂ и прямая I. Провести прямую, параллельную прямой I, на которой окружности F_r и F₂ высекают равные хорды.

Пусть прямая V искомая, т.е. прямая V высекает на данных окружностях равные хорды АВ иА’В’ (рис. 6.34).

Тогда точки АиА’,ВиВ’ можно рассматривать как соответственные при параллельном переносе О_хО<.

Так как точка А’ является образом точки А, принадлежащей окружности F_b то точка Л’ принадлежит образу окружности F,. Следовательно, А’ — общая точка окружности F₂ и образа окружности Fj при параллельном переносе 0-[0[. Построив точку А’, находим на окружности F] ее прообраз. _

Если F₂ есть образ точки F_x при параллельном переносе OjOf, то задача имеет бесконечное множество решений. В остальных случаях задача имеет не более четырех решений, так как окружность F₂ имеет не более двух точек пересечения с окружностью F <и не более двух точек пересечения с окружностью F» (образ окружности Fj при параллельном переносе О_уО<).

Задача 6.35. Между двумя данными окружностями (О, Р) и (Q, г) провести отрезок данной длины (а) параллельно данной прямой (АР).

Анализ. Допустим, что задача решена и отрезок CD является искомым (рис. 6.35). Если мысленно будем перемещать отрезок CD параллельно самому себе, оставляя один из его концов D скользящим по данной окружности (Q, г), то ясно, что другой конец (С) отрезка CD опишет в это время окружность того же радиуса (г), имеющую центр в некоторой точке Р, отстоящей от точки Q на расстояние, равное отрезку а. Отсюда следует, что, построив окружность (Р, г), мы сможем построить и искомые отрезки.

Построение. 1. Проведем из точки Q отрезок QP, который параллелен прямой АВ и равен отрезку а.

• 2. Около точки Р радиусом, равным г, опишем вспомогательную окружность (Р, г).
• 3. Обозначим буквами С и ? те точки, в которых вспомогательная окружность (Р, г) пересечет окружность (О, Р).
• 4. Если из точек С и ? проведем прямые, параллельные прямой АВ, то они пересекут окружность (Q, г) в некоторых точках D и F.

Отрезки CD и ?? — искомые.

Доказательство несложное, а поэтому предлагаем провести самостоятельно.

Исследование. Если вспомогательная окружность (Р, г) пересекает данную окружность (О, К), то задача имеет два решения.

Если окружность (Р, г) будет лишь касаться окружности (О, Р), то задача имеет одно решение.

Наконец, если окружность (Р, г) не будет ни касаться окружности, ни пересекать ее, то задача не имеет решений.

Задача 6.36. Даны окружность и прямая I. На окружности даны две точки А и В. Найти на окружности такую точку М, чтобы прямые МА и МВ пересекали I в точках К и N таким образом, что KN — а, где а — заданный отрезок.

Построим точку А’ (рис. 6.36) так, чтобы NKAA’ был параллелограммом (А’ получается из А при помощи известного параллельного переноса). Поскольку ZBNA’ = ZBMA, а последний известен, то точка N находится как пересечение I с соответствующим геометрическим местом точек. Следует также рассмотреть случай расположения точки М на другой дуге АВ.

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

• – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
• – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
• – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:63 Окружность и параллельный переносСкачать

Параллельный перенос

Определение:

Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M₁, что два вектора равны

=

Задача 145.

вектор

A → A₁ : =

B → B₁ : =

Теорема:

При параллельном переносе на вектор сохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор

M M₁

N N₁

Доказать:

Точка M переводится движением в точку M₁ с условием, что два вектора равны: M M₁: = MM₁

Точка N переводится движением в точку N₁ с условием, что два вектора равны: N N₁: = NN₁

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM₁ || NN₁ и построенные отрезки равны MM₁ = NN₁

Значит, четырехугольник MM₁N₁N – параллелограмм.

Поэтому MN = M₁N₁, значит f – движение.

Задача 146.

A A₁:

=

B B₁:

=

C C₁:

=

A A₁: =

B B₁:

=

C C₁:

=

***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D AC

точка C лежит на AD: C AD

BC B₁D

б) Доказать: ABB₁D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору : a ||

2) Точка B переводится движением в точку B₁

=

3) Проведем прямую B₁D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB₁DC.

Т.к. основания BB₁ || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB₁DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB₁ = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B₁D

Т.к. BB₁ || AD параллельны и AB B₁D не параллельны, следовательно, ABB₁D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B₁D, то ABB₁D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано:

вектор

окр (O;R) окр (O₁;R₁)

ΔABC ΔA₁B₁C₁

EFPQ E₁F₁P₁Q₁

как показано на рисунке.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

Поворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M₁, что угол поворота

MOM₁ = α и OM₁ = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

Дано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A A₁;

AOA₁ = 75°

2) B B₁;

BOB₁ = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

f – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM₁N₁ по двум сторонам и углу между ними:

MON = M₁ON₁

Тогда MN = M₁N₁, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

α = 180°

1) A A₁;

AOA₁ = 180°

2) B B₁;

BOB₁ = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B B₁;

BAB₁ = 160°

2) C C₁;

CAC₁ = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

Построить:

1) A A₁;

AOA₁ = 120°

2) B B₁;

BOB₁ = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

Построить:

1) проведем луч CO

2) C C₁;

COC₁ = 60°

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C₁;R) будут тоже совпадать.

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC ΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что ADB = BDC = CDA

A B

B C

C A

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

ABC : BCA : CAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол CAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

ABC > BAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, BAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

C = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = = = = 12

Тогда площадь треугольника

S_ΔABC = • ab = =

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

C = 90°

c = 4 – гипотенуза

Найти: площадь треугольника S_ΔABC = ?

S_ΔABC = • ab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 ) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

S_ΔABC = • ab = =

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

A = 90°

a = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = c

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = c = = 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

C = 90°

соотношение острых углов

ABC : CAB = 1 : 2

AC = 4

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда CAB = 30°,

ABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = AB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + = AB 2

AC 2 = AB 2

AB 2 = = 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

C = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = = = = 4 (ед)

Задача 163.

C = 90°

tg A =

0,6 = ; AC = 3 • = 5 (ед)

Задача 164.

A = 90°

Найти: ABC = ?

Решение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, HAC = AHC = HCA = 60°.

ABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

S_ΔABC = кв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

BAC = BCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH AC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. S_ΔABH = S_ΔABC = • = (кв.ед.)

S_ΔABH = AH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол ABH = 30°, поэтому

AH = AB

S_ΔABH = AB • BH =

AB • BH = (*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = AB 2 + BH 2

BH 2 = AB 2

BH = AB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • AB =

AB 2 =

AB =

Тогда AB • BH = • BH =

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

радиус описанной окружности

R =

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) Δ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где AHO = 90°.

Т.к. HAO = 30°, то OH = AO OH = R

OH = • =

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

+ AH 2 = ( ) 2 + AH 2 =

=

AH 2 = – = AH = =

Тогда площадь треугольника

S_ΔAOH = AH • OH = • • = =

Следовательно, S_ΔABO = 2 • S_ΔAOH = 2 • = (кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

S_ΔABC = 3 • S_ΔABO = 3 • = = 2 = 2,25 (кв.ед.)

Задача 167.

Площадь ромба S_ABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

S_ABCD = AC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

S_ABCD = 3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = AC = • 24 = 12

BO = BD = • 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = = = 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

основание AD = 16

Найти: площадь треугольника

S_ΔABD = AD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол AHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = = = = 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

S_ΔABD = AD • BH = •16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника S_ΔABD = 48 кв.ед.

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. AH = ( ) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( ) 2 + 15 2 x 2 – 30x + 225 = + 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Подобные треугольники

Задача 170.

треугольник Δ ABC, два угла

A = 54°

B = 18°

CH – биссектриса угла C

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC Δ ABC

C = 180° – ( A + B)

C = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла C, то

BCH = HCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

HBC = B = 18°

BCH = A = 54°

Тогда CHB = C = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC Δ ABC.

Задача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

= ?

Углы равны CBO = ODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны BCO = OAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO Δ AOD.

= = = =

= . Тогда 4AO = 10BO BO = AO

= = 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 (см)

Следовательно, BO = 2 см.

= k = 0,4

Ответ: BO = 2 см, = 0,4.

Задача 172.

ΔABC ΔA₁B₁C₁ ,

периметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

= =

= = = k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

=

=

B₁C₁ = = 20 (дм)

Тогда =

=

A₁B₁ = = 15 (дм)

Задача 173.

ABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

BAD = MBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

MCB = MDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD Δ BMC.

= =

= ,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

= ,

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

При каком условии можно отобразить параллельным переносом окружность на окружность?

Геометрия | 5 — 9 классы

При каком условии можно отобразить параллельным переносом окружность на окружность?

А) R1 не равен R2 б) R1 = R2 в) нельзя отобразить.

Не совсем понятно задание.

Окружность параллельным переносом всегда можно отобразить на другую окружность.

У полученной окружности сохранятся все свойства исходной окружности.

Радиус первой будет равен радиусу второй.

Вектор переноса может быть каким угодно.

А может в Вашей задаче вектор переноса оговаривается?

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

Каким условиям должны удовлетворять два квадрата, чтобы один из них можно было получить из другого при помощи параллельного переноса?

Каким условиям должны удовлетворять два квадрата, чтобы один из них можно было получить из другого при помощи параллельного переноса?

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

Какими условиями должны удовлетворять 2 квадрата, чтобы 1 из них можно было получить из другого при параллельном переносе?

Какими условиями должны удовлетворять 2 квадрата, чтобы 1 из них можно было получить из другого при параллельном переносе?

Видео:Нахождение истинной формы плоской фигуры методом плоско параллельного перемещенияСкачать

Помогите пожалуйста♥?

При параллельном переносе окружности получена окружность, касающаяся данной окружности.

На какое расстояние перенесена параллельно эта окружность?

Видео:Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Точки (−1 ; 5) и (7 ; −1) задают концы диаметра окружности?

Точки (−1 ; 5) и (7 ; −1) задают концы диаметра окружности.

Найдите параллельный перенос, при котором центр данной окружности переходит в точку ′ (−5 ; −3).

Запишите уравнения полученной окружности.

Видео:115 Параллельный переносСкачать

При каком условии в четырехугольник можно вписать окружность?

При каком условии в четырехугольник можно вписать окружность.

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Можно ли вокруг параллелограмма описать окружность?

Можно ли вокруг параллелограмма описать окружность?

Если да, то при каком условии?

Видео:Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 2.3. Параллельный переносСкачать

Диаметр окружности равен 88 км?

Диаметр окружности равен 88 км.

Чему равен радиус окружности?

Видео:Урок 7. Окружность, круг и их элементы. ОГЭ. Вебинар |МатематикаСкачать

Каким условиям должны удовлетворять два равносторонних треугольника чтобы один из них можно было получить из другого при помощи параллельного переноса?

Каким условиям должны удовлетворять два равносторонних треугольника чтобы один из них можно было получить из другого при помощи параллельного переноса?

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Хорда окружности равна 10 см?

Хорда окружности равна 10 см.

Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной.

Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см.

Видео:9 класс. Параллельный переносСкачать

Диаметр окружности равен 4а?

Диаметр окружности равен 4а.

Укажите радиус окружности.

На этой странице сайта, в категории Геометрия размещен ответ на вопрос При каком условии можно отобразить параллельным переносом окружность на окружность?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

AD = 26 2 + 2 + 2 = 6 16 + 6 = 26 Вот ответ.

📽️ Видео

Найти центр и радиус окружностиСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Параллельный переносСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать