Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Когда пересекаются параллельные прямые
Из школьного курса геометрии каждому человеку известно, что параллельными именуются прямые, которые не имеют общей точки. Однако это простое утверждение почему-то изредка опровергается различными знакомыми, которые доказывают, что коллинеарные линии могут пересекаться. В реальности, геометрия Евклида, которую преподают в школе не единственный вариант этой науки. При более конкретном исследовании выясняется, что пересечение параллельных прямых зависит от формы поверхности, на которой они проведены. Рассмотрим несколько различных вариантов геометрий, принципиально отличающихся друг от друга.
Это привычная всем геометрия, имеющая историю в не одну тысячу лет. Ее начала были известны еще в Древнем Египте, а аксиомы (постулаты, утверждения) были сформулированы в Древней Греции выдающимся математиком древности Евклидом. Все его утверждения не вызывали сомнений, кроме пятого. Это утверждение показывало, что через точку, лежащую вне прямой, есть возможность провести единственную прямую коллинеарную заданной. Коллинеарные прямые в этом случае не пересекаются. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Однако попытки математически доказать 5 постулат Евклида упирались в порочный круг.
Однако житейский опыт дает возможность не совсем верить в справедливость утверждения, что параллельные прямые не пересекаются — если смотреть на ровное железнодорожное полотно, то будет впечатление, что где-то вдалеке параллельные рельсы сойдутся в одну точку. То же самое касается и лучей идущих от точечного источника — тени от разных предметов параллельны, но оставившие их лучи вышли из одной точки.
Приведенные выше рассуждения дали возможность создать проективную геометрию, которая дополняет привычную Евклидову прямую бесконечно удаленной точкой, а на плоскости появляется прямая бесконечно удаленных точек. Вот на этой прямой и пересекаются все коллинеарные прямые.
В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Прямые, которые пересекаются с заданной прямой еще дальше, называются сверхпараллельными.
Наглядно это можно представить, если изобразить плоскость, как овал, и провести внутри него прямую. Линия границы овала будет представлять в таком варианте прямую бесконечно удаленных точек. Затем вне данной прямой зафиксируем точку и проведем через нее 2 прямые, пересекающие заданную на границе овала (то есть на прямой бесконечно удаленных точек). Эти 2 прямые и будут называться параллельными. Те же прямые, которые пересекаются с данной прямой за пределами овала окажутся сверхпараллельными.
Согласно последним научным данным, геометрия Лобачевского имеет место в реальной природе вблизи крупных тяготеющих масс, где само пространство перестает быть плоским и получает кривизну. Сумма углов треугольника в этом варианте не достигает 180 градусов.
Сферическая геометрия и геометрия Римана
Тоже в 19 веке немец Риман по-своему проанализировал 5 утверждение Евклида и предположил, что коллинеарных прямых нет в принципе. На основании своего предположения Риман создал геометрию, в которой у всех прямых имеется общая точка, а сумма углов треугольника превышает 180 градусов. Нет в геометрии Римана и понятия, что точка лежит между двумя другими точками. Но это вполне реальная с математической точки зрения геометрия.
Объяснить римановскую геометрию на доступном примере сложно, поэтому имеет смысл обратиться к близкой к ней по множеству характеристик сферической геометрии (правда, здесь параллельные прямые пересекаются сразу в 2 точках).
Рассмотрим в качестве сферы нашу планету Земля. Как одну из прямых возьмем экватор, а в качестве коллинеарных между собой прямых будем считать меридианы. Они коллинеарны друг относительно друга, поскольку пересекают экватор под прямым углом (углом между пересекающимися линиями в математике является угол между их касательными, проведенными в точке пересечения данных линий). Однако известно, что меридианы пересекаются на полюсах.
Общим выводом, ради которого была написана статья, является утверждение, что нельзя достоверно сказать, пересекаются параллельные прямые или нет, если дополнительно не указывать, какой из видов геометрии имеется в виду.
Видео:НЕЕВКЛИДОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ. оказывается это так просто...Скачать
Параллельные прямые пересекаются геометрия римана
Думаю, вы не раз встречались с детской наебкой деления на ноль. Когда учитель говорит, что вы еще маленькие, нихуя не знаете, а вот когда будете в ВУЗе, тогда и узнаете, что и как *там в Египте* с делением на ноль. Когда ты получил общее образование (9 классов) и переходишь в Среднюю школу (10—11 классы), более плотно изучив пределы и поняв, как все это работает, начинаешь посмеиваться над глупой шкилой, которая нихуя в этой жизни не выкупает. Тебе кажется, что при стремлении знаменателя к нулю, у тебя получается дробь все больше и больше, а экстраполировав это на реальную жизнь ты спокойно заменяешь знаменатель на ноль и получаешь бесконечность — то есть при делении чего-либо на 0 ты в ответе получишь бесконечность. И вот ты приходишь в ВУЗ на пару по МатАну, там, проходя пределы, ты вожделеешь, когда препод начнет вещать о делении на ноль, но вот он говорит, что все нихуя не так и на ноль делить все-таки нельзя, а можно лишь делить на бесконечно малую, получая при этом бесконечно большую, но не бесконечность. И на этом моменте ты можешь уже посмеиваться над пажилой средней шкилой, которая смеется над более младшими, что те не шарят, как работает эта жизнь.
Эта долгая поучительная предыстория была не зря. Даже я помню, как мы пытались доказать нашей учительнице по математике и что делить на ноль можно, и что параллельные линии пересекаются. Просто у молодого и неокрепшего ума происходит разрыв шаблона, когда ему говорят, что параллельные линии не пересекаются. Дальше они с этой идеей растут и взрослеют, от них этот вытер узнают другие люди и в итоге сейчас можно встретить дохуищу людей, которые с пеной у рта будут доказывать, что параллельные линии пересекаются, несмотря на то, что определение параллельности прямых линий гласит, что они не пересекаются.
На самом деле, это мы сейчас знаем, что параллельные линии не пересекаются, а вот в 19 веке люди просто не могли принять этот факт. Изначально он был описан в «Началах» Евклида и был 5 аксиомой, которая гласила: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». У этого пункта есть другая страничка, которая называется постулатом Прошла (в Древней Греции разграничивали понятия «постулат» и «аксиома»), который гласит, что через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и причем только одну. Это звучит полегче, но от Евклидовой формулировке у меня до сих пор не стоит. Есть множество мнений на этот счет, почему Евклид так сложно написал этот пункт: начиная с того, что какой-то дебик до него смог ошибочно доказать это как теорему, заканчивая тем, что Евклид понимал, что это звучит как хуйня и таким образом он пытался показать, что он не уверен, как эта поебота должна работать. Это просекли люди в 19 веке и попытались либо исключить этот пункт, либо придумать, где это работать не будет.
Самым первым таким поцом, который смог не просто создать Абсолютную геометрию (геометрия без 5 аксиомы, но с непересекающимися параллельными прямыми), а создать абсолютно новую геометрию — Николай Иванович Лобачевский, который сформулировал одноименную геометрию. Не буду ее полностью сейчас разбирать, просто напомню, что эта геометрия (в частном и простом случае) на псеводосфере. Псевдосфера выглядит как воронка или как модель, которой изображается черная дыра. В этой геометрии параллельные прямые (именно прямые, те прямые, которые прямые в евклидовом геометрии, но об этом потом) пересекаются, и при том, они обязательно пересекутся. Однако в геометрии Лобачевского есть свои прямые, которые в нашем пространстве будут нихуя не прямыми, а дугами. Вот эти дуги и будут являться «прямыми», на которые можно переносить свойства прямых из евклидовом геометрии. Только вот есть одно различие: через одну точку можно провести бесконечное количество прямых, параллельных другой прямой (важное замечание: просто параллельные прямые стремятся к нашей прямой, но не пересекают ее). Хотя есть индивиды, которые, сука, будут доказывать, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются, а тебе надо учить матчасть, хотя прямые из евклидовом геометрии будут являться кривыми в другой геометрии. Существует также ультрапараллельные прямые, которые не просто не пересекают нашу прямую (и даже не стремятся к нашей прямой, как параллельные прямые), а расходятся с ней. Есть второй случай, когда мы берем две «Лобачевские прямые» (готов поспорить, что у них есть какое-то название, но я не ебу; мне они представляются как две эквидистанты), которые в геометрии Лобачевского будут наконец-то прямыми в полном смысле этого слова и которые будут единственно параллельны друг другу.
Другим случаем может быть геометрия Римана, сформулированная Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом. Эта геометрия является геометрией на эллипсоиде (есть отдельная геометрия, которая называется геометрией на сфере, которая совпадает с геометрией Римана в частном случае). Там прямые, параллельные в Евклидовой геометрии, могут преспокойно пересекаться и даже больше — они, как и в геометрии Лобачевского, обязательно пересекутся. Вот только опять же это нихуя не прямые в Романовой геометрии. Что в геометрии Лобачевского параллельные и ультрапараллельные прямые не очень похожи на прямые, так и геометрии Римана пересекающиеся «прямые» на самом деле нихуя не прямые. Дело в том, что в этой геометрии роль прямых на себя берут круги (хотя правильнее было бы говорить окружности, но почему-то их называют кругами). Два круга будут параллельны друг другу тогда, когда они не пересекаются (а не тогда, когда у них совпадают центры), то есть через точку, не лежащей на данном круге можно провести бесконечное количество кругов, параллельных данному. А так как эти круги выполняют роль прямых в геометрии Римана, то это означает, что параллельные прямые ни в геометрии Римана, ни в Евклидовой геометрии, ни в геометрии Лобачевского не пересекаются.
На самом деле, довольно глупо было бы получить какой-то другой ответ, так как по определению параллельность — это отношение каких-то объектов друг к другу таким образом, чтобы они друг с другом не пересекались, сколько бы мы эти объекты ни продолжали.
Спасибо за то, что вы с нами. С любовью, Рителлинг❤️
Спасибо за то, что вы с нами. С любовью, Рителлинг favorite
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?
Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.
Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.
Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.
Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:
«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.
При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!
(Распространенное утверждение «Лобачевский доказал, что параллельные прямые могут и пересекаться» — конечно, является вопиюще неправильным! Ведь это бы противоречило их определению!)
Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!
Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.
Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.
Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.
Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!
Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.
Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.
Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»
«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»
💡 Видео
24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?Скачать
1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.Скачать
