Параллельные прямые пересекающие стороны угла отсекают от его сторон пропорциональные отрезки

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Видео:Теорема о пропорциональных отрезкахСкачать

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.

Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:

* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Пример задачи

Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.

Решение

Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.

Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.

Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Please wait.

Видео:8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезкиСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Геометрия 8. Урок 8 - Теорема Фалеса - теорияСкачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Пропорциональные отрезки. Теорема о пропорциональных отрезкахСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6c75d0022e643a65 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать

Теорема Фалеса

Одна из основополагающих теорем (теорема Фалеса) в геометрии говорит о том, что проведенные через концы одинаковых отрезков прямой параллельные линии отсекают на другой прямой тоже одинаковые по длине отрезки. Причем происходит это независимо от угла между прямыми. Это достаточно произвольная формулировка теоремы Фалеса, но достаточно емко описывающая ее суть. Разные учебники приводят разные формулировки, но суть остается неизменной.

Ключевые слова в теореме (при любой формулировке) — прямые, отрезки, равные, пропорциональные, параллельные. Это говорит о том, что теорема Фалеса касается только планиметрии, то есть изображения линий на плоскости. Она очень важна для картографии и навигации, широко используется в архитектуре и живописи, строительстве и проектировании.

Классической формулировки, единой в своем роде нет. Например, формулировку можно услышать в такой редакции:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.

А можно и в такой:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Если внимательно присмотреться, то можно увидеть, что одно утверждение не противоречит другому, а рисунки практически идентичны. Если продолжить прямые на первом рисунке по получим тот же угол.

Кроме прямых, которые проходят под углом, такая же картина происходит при пересечении параллельных прямых. Разница состоит в том, что на пересекающихся прямых отрезки АВ и А₁В₁ могут быть как одинаковыми, так и пропорциональными, в зависимости от угла наклона секущих. А для случая параллельных — только одинаковыми. Если обобщить два случая, то обобщенная теорема Фалеса звучит так: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Для иллюстрации можно воспользоваться рисунком 1.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Как пользоваться теоремой Фалеса на практике

Теорема Фалеса это не только теоретическое утверждение, доказанное методами математики, но и практический инструмент для построения различных фигур. Простейшая задача — разделить на равные части произвольный отрезок ВА. Пусть этих частей будет 7.

Для решения задачи нарисуем отрезок ВС, образующий с данным ВА угол. Как видим, отрезок ВС проходит вдоль клеток на бумаге, что позволяет выбрать на нем равные отрезки. В нашем случае, это:

BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC.

Начиная от крайних точек А и С проведем параллельные линии, пересекающие отрезок ВА. На нем тоже получиться семь равных отрезков: BR=RP=PN=NM=ML=LK=KA.

С таким же успехом мы можем разделить отрезок на 5, 6, 4 или любое другое количество равных частей. Суть метода состоит в том, что длину отрезка ВС мы заведомо выбираем такой, чтобы его можно было легко разделить на заданное количество частей. Например, длина отрезка ВА 37 см, а его нужно разделить на 5 частей. Выбираем длину отрезка ВС в 25 см, отмечаем точки и выполняем построение по теореме Фалеса.

Видео:Задание 26 Теорема о пропорциональных отрезкахСкачать

Обратная теорема Фалеса

Не менее широко используется и теорема, названная обратной. То есть, доказательства требует не равность или пропорциональность отрезков, а параллельность прямых. Формулируется обратная теорема Фалеса так:

Если две или более прямых (a, b, c) отсекают от двух других прямых (d, f) равные или пропорциональные отрезки, то они параллельные.

Утверждение справедливо, независимо от того, параллельные d, f или пересекаются.

Видео:Геометрия. 8 класс. Теорема Фалеса. Пропорциональные отрезки /06.10.2020/Скачать

Доказательство теоремы Фалеса

Математика, тем более, геометрия, наука точная. Каждое утверждение, кроме аксиом, требует доказательства. В геометрии под термином «теорема» подразумевается утверждение, которое доказано на базе ранее полученных знаний в виде аксиом и других теорем.

Теорема Фалеса с доказательством приведена в большинстве учебников. В отличие от теоремы Пифагора, доказательств у нее меньше, но все они четкие, понятные и аргументированные. Покажем одно из них.

Не будем повторять формулировок, продемонстрируем только ход мыслей и выполним необходимые построения:

Выберем точку В₂ и проведем прямую, параллельную стороне угла ОС. При этом отмечаем, что А₁А₃ || EF. Рассматривая четырехугольник

А₁FЕА₃ замечаем, что А₁F и ЕА₃ параллельны по определению, а А₁А₃ и FВ₃ параллельны по построению. Отсюда вытекает, что А₁ FЕА ₃ — параллелограм и А₁А₃ = EF.

Аналогичным образом доказываем равенство других сторон и получаем, что по равенству вертикальных и внутренних углов ∠B₁B₂F=∠B₃B₂E и ∠B₂FB₁=∠B₂EB₃ треугольники B₂B₁F и B₂B₃E равны, откуда вытекает, что B₁B₂=B₂B₃.

Именно это и требовалось доказать.

Видео:Пропорциональные отрезкиСкачать

Кто впервые доказал теорему о пропорциональных отрезках

По легенде, впервые на практике использовал теорему греческий философ Фалес Милетский. Он применил ее для измерения высоты пирамиды Хеопса, пользуясь падающей на песок тенью. Для сравнения длины отрезков использовалась воткнутая рядом палка.

Но доказательство теоремы, самое давнее из известных, зафиксированных в письменных источниках, дано в книге «Элементы» другого философа и математика — Эвклида. Тем не менее, утверждение получило имя Фалеса, под которым известно до сих пор.

📺 Видео

Теорема о пропорциональных отрезках. Теорема ФалесаСкачать

Теорема фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках - геометрия 8 классСкачать

№385. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательноСкачать

Теорема ФалесаСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Основная теорема о пропорциональностиСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Пропорциональные отрезкиСкачать