Параллельные прямые не пересекаются круги эйлера

Леонард Эйлер (1707-1783) – известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в математическом анализе, статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов.

Джон Венн (1834-1923) – английский философ и логик, соавтор диаграммы Эйлера-Венна.

Видео:Круги Эйлера. Решение задач на поиск информации в Интернет. ИнформатикаСкачать

Совместимые и несовместимые понятия

Под понятием в логике подразумевается форма мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов. Они обозначаются одним либо группой слов: «карта мира», «доминантовый квинтсептаккорд», «понедельник» и др.

В случае когда элементы объема одного понятия полностью или частично принадлежат объему другого, говорят о совместимых понятиях. Если же ни один элемент объема определенного понятия не принадлежит к объему другого, мы имеем место с несовместимыми понятиями.

В свою очередь, каждый из видов понятий имеет собственный набор возможных отношений. Для совместимых понятий это следующие:

• тождество (равнозначность) объемов;
• пересечение (частичное совпадение) объемов;
• подчинение (субординация).

• соподчинение (координация);
• противоположность (контрарность);
• противоречие (контрадикторность).

Схематически отношения между понятиями в логике принято обозначать при помощи кругов Эйлера-Венна.

Видео:Круги Эйлера. Логическая задача на множества. Иностранные языкиСкачать

Отношения равнозначности

В данном случае понятия подразумевают один и тот же предмет. Соответственно, объемы данных понятий полностью совпадают. Например:

А – Зигмунд Фрейд;

В – основоположник психоанализа.

В – равносторонний прямоугольник;

С – равноугольный ромб.

Для обозначения используются полностью совпадающие круги Эйлера.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Пересечение (частичное совпадение)

В данную категорию входят понятия, имеющие общие элементы, находящиеся в отношении перекрещивания. То есть объем одного из понятий частично входит в объем другого:

Как видно из данного примера, объемы понятий частично совпадают: определенная группа педагогов может оказаться меломанами, и наоборот – среди меломанов могут быть представители педагогической профессии. Аналогичное отношение будет в случае, когда в качестве понятия А выступает, например, «горожанин», а в качестве В – «автоводитель».

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Подчинение (субординация)

Схематически обозначаются как разные по масштабу круги Эйлера. Отношения между понятиями в данном случае характеризуются тем, что подчиненное понятие (меньшее по объему) полностью входит в состав подчиняющего (большего по объему). При этом подчиненное понятие не исчерпывает полностью подчиняющее.

Понятие В будет являться подчиненным по отношению к понятию А. Так как сосна относится к деревьям, то понятие А становится в данном примере подчиняющим, «поглощающим» объем понятия В.

Видео:Ералаш №8 "Аксиома"Скачать

Соподчинение (координация)

Отношение характеризует два и более понятия, исключающих друг друга, но принадлежащих при этом определенному общему родовому кругу. Например:

D – музыкальный инструмент.

Понятия А, В, С не являются пересекающимися по отношению друг к другу, тем не менее, все они относятся к категории музыкальных инструментов (понятие D).

Видео:Простое объяснения решения задач при помощи кругов ЭйлераСкачать

Противоположность (контрарность)

Противоположные отношения между понятиями подразумевают отнесенность данных понятий к одному и тому же роду. При этом одно из понятий обладает определенными свойствами (признаками), в то время как другое их отрицает, замещая противоположными по характеру. Таким образом, мы имеем дело с антонимами. Например:

Круг Эйлера при противоположных отношениях между понятиями разделяется на три сегмента, первый из которых соответствует понятию А, второй – понятию В, а третий – всем остальным возможным понятиям.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Противоречие (контрадикторность)

В данном случае оба понятия представляют собой виды одного и того же рода. Как и в предыдущем примере, одно из понятий указывает на определенные качества (признаки), в то время как другое их отрицает. Однако, в отличие от отношения противоположности, второе, противоположное понятие, не заменяет отрицаемые свойства другими, альтернативными. Например:

А – сложная задача;

В – несложная задача (не-А).

Выражая объем понятий подобного рода, круг Эйлера разделяется на две части – третьего, промежуточного звена в данном случае не существует. Таким образом, понятия также являются антонимами. При этом одно из них (А) становится положительным (утверждающим какой-либо признак), а второе (В или не-А) – отрицательным (отрицающим соответствующий признак): «белая бумага» – «не белая бумага», «отечественная история» – «зарубежная история» и т. д.

Таким образом, соотношение объемов понятий по отношению друг к другу является ключевой характеристикой, определяющей круги Эйлера.

Видео:14. Круги ЭйлераСкачать

Отношения между множествами

Также следует различать понятия элементов и множества, объем которых отображают круги Эйлера. Понятие множества заимствовано из математической науки и имеет достаточно широкое значение. Примеры в логике и математике отображают его как некую совокупность объектов. Сами же объекты являются элементами данного множества. «Множество есть многое, мыслимое как единое» (Георг Кантор, основатель теории множеств).

Обозначение множеств осуществляется заглавными буквами: А, В, С, D… и т. д., элементов множеств – строчными: а, b, с, d…и др. Примерами множества могут быть студенты, находящиеся в одной аудитории, книги, стоящие на определенной полке (или, например, все книги в какой-либо определенной библиотеке), страницы в ежедневнике, ягоды на лесной поляне и т. д.

В свою очередь, если определенное множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают знаком Ø. Например, множество точек пересечения параллельных прямых, множество решений уравнения х 2 = -5.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Решение задач

Для решения большого количества задач активно используются круги Эйлера. Примеры в логике наглядно демонстрируют связь логических операций с теорией множеств. При этом используются таблицы истинности понятий. Например, круг, обозначенный именем А, представляет собой область истинности. Таким образом, область вне круга будет представлять ложь. Чтобы определить область диаграммы для логической операции, следует заштриховать области, определяющие круг Эйлера, в которых ее значения для элементов А и В будут истинны.

Использование кругов Эйлера нашло широкое практическое применение в разных отраслях. Например, в ситуации с профессиональным выбором. Если субъект озабочен выбором будущей профессии, он может руководствоваться следующими критериями:

W – что я люблю делать?

D – что у меня получается?

P – чем я смогу хорошо зарабатывать?

Изобразим это в виде схемы: круги Эйлера (примеры в логике – отношение пересечения):

Результатом станут те профессии, которые окажутся на пересечении всех трех кругов.

Отдельное место круги Эйлера-Венна занимают в математике (теория множеств) при вычислении комбинаций и свойств. Круги Эйлера множества элементов заключены в изображении прямоугольника, обозначающего универсальное множество (U). Вместо кругов также могут использоваться другие замкнутые фигуры, но суть от этого не меняется. Фигуры пересекаются между собой, согласно условиям задачи (в наиболее общем случае). Также данные фигуры должны быть обозначены соответствующим образом. В качестве элементов рассматриваемых множеств могут выступать точки, расположенные внутри различных сегментов диаграммы. На ее основе можно заштриховать конкретные области, обозначив тем самым вновь образованные множества.

С данными множествами допустимо выполнение основных математических операций: сложение (сумма множеств элементов), вычитание (разность), умножение (произведение). Кроме того, благодаря диаграммам Эйлера-Венна можно проводить операции сравнения множеств по числу входящих в них элементов, не считая их.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Параллельные прямые не пересекаются круги эйлера

Видео:Круги Эйлера в реальной жизни. Математика на QWERTYСкачать

Параллельные прямые не пересекаются (Что такое суждение).

Суждение (высказывание) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается. Например: Все сосны являются деревьями, Некоторые люди – это спортсмены, Ни один кит – не рыба, Некоторые животные не являются хищниками. Рассмотрим несколько важных свойств суждения, которые в то же время отличают его от понятия.

1. Любое суждение состоит из понятий, связанных между собой. Например, если связать понятия карась и рыба, то могут получиться суждения Все караси являются рыбами, Некоторые рыбы являются карасями.

2. Любое суждение выражается в форме предложения (как мы помним, понятие выражается словом или словосочетанием). Однако не всякое предложение может выражать суждение. Как известно, предложения бывают повествовательными, вопросительными и восклицательными. В вопросительных и восклицательных предложениях ничего не утверждается и не отрицается, поэтому они не могут выражать собой суждение. Повествовательное предложение, наоборот, всегда что-либо утверждает или отрицает, в силу чего суждение выражается в форме повествовательного предложения.

Тем не менее есть такие вопросительные и восклицательные предложения, которые только по форме являются вопросами и восклицаниями, а по смыслу что-то утверждают или отрицают. Они называются риторическими. Например, известное высказывание И какой же русский не любит быстрой езды? представляет собой риторическое вопросительное предложение (риторический вопрос), так как в нем в форме вопроса утверждается, что всякий русский любит быструю езду. В подобном вопросе заключено суждение. То же самое можно сказать о риторических восклицаниях. Например, в высказывании Попробуй найти черную кошку в темной комнате, если ее там нет! в форме восклицательного предложения утверждается мысль о невозможности предложенного действия, в силу чего данное восклицание выражает собой суждение. Понятно, что не риторический, а настоящий вопрос (например: Как тебя зовут?) не выражает суждение, точно так же, как не выражает его настоящее, а не риторическое восклицание (например: Прощай, свободная стихия!).

Чтобы лучше уяснить, что такое суждение, рассмотрим несколько примеров.

• Неужели ты не знал, что Земля вращается вокруг Солнца? (Риторический вопрос – является суждением).

• Прощай, немытая Россия! (Восклицание – суждением не является).

• Кто написал философский трактат «Критика чистого разума»? (Вопрос – суждением не является).

• Логика появилась примерно в V в. до н. э. в Древней Греции. (Повествование – является суждением).

• Первый президент Америки. (Понятие – суждением не является).

• Разворачивайтесь в марше! (Восклицание – суждением не является).

• Мы все учились понемногу… (Повествование – является суждением).

• Попробуй-ка двигаться со скоростью света! (Риторическое восклицание – является суждением).

• Средняя школа № 469 г. Москвы. (Понятие – суждением не является).

• Как тебе только не стыдно? (Риторический вопрос – является суждением).

• Каким образом решается знаменитая задача о квадратуре круга? (Вопрос – суждением не является).

• Общая теория относительности А. Эйнштейна. (Понятие – суждением не является).

• Почему нельзя делить на ноль? (Вопрос – суждением не является).

• Бескрайние просторы Вселенной. (Понятие – суждением не является).

• Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. (Повествование – является суждением).

3. Любое суждение является истинным или ложным.

Если суждение соответствует действительности, оно истинное, а если не соответствует – ложное. Например, суждение Все розы – это цветы является истинным, а суждение Все мухи – это птицы – ложным. Надо отметить, что понятия, в отличие от суждений, не могут быть истинными или ложными. Невозможно, например, утверждать, что понятие школа – истинное, а понятие институт – ложное, понятие звезда – истинное, а понятие планета – ложное и т. п. Но разве понятия Змей Горыныч, Кощей Бессмертный, вечный двигатель не ложные? Нет, эти понятия являются нулевыми (пустыми), но не истинными и не ложными. Вспомним, понятие – это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект, и именно поэтому не может быть истинным или ложным. Истинность или ложность – это всегда характеристика какого-то высказывания, утверждения или отрицания, поэтому она применима только к суждениям, а не к понятиям.

4. Суждения бывают простыми и сложными. Сложные суждения состоят из простых, соединенных каким-либо союзом.

Как видим, суждение – это более сложная форма мышления по сравнению с понятием. Неудивительно поэтому, что суждение имеет определенную структуру, в которой можно выделить четыре части: субъект, предикат, связка и квантор.

Субъект (обозначается латинской буквой S) – это то, о чем идет речь в суждении. Например, в суждении Все учебники являются книгами речь идет об учебниках, поэтому субъектом данного суждения выступает понятие учебники.

Предикат (обозначается латинской буквой Р) – это то, что говорится о субъекте. Например, в том же суждении Все учебники являются книгами о субъекте (об учебниках) говорится, что они – книги, поэтому предикатом данного суждения выступает понятие книги.

Связка – это то, что соединяет субъект и предикат. В роли связки могут быть слова есть, является, это и т. п.

Квантор – это указатель на объем субъекта. В роли квантора могут быть слова все, некоторые, ни один и т. п.

Рассмотрим суждение Некоторые люди являются спортсменами. В нем субъектом выступает понятие люди, предикатом – понятие спортсмены, роль связки играет слово являются, а слово некоторые представляет собой квантор. Если в каком-то суждении отсутствует связка или квантор, то они все равно подразумеваются. Например, в суждении Тигры – это хищники квантор отсутствует, но он подразумевается – это слово все. С помощью условных обозначений субъекта и предиката можно отбросить содержание суждения и оставить только его логическую форму. Например, если у суждения Все прямоугольники – это геометрические фигуры отбросить содержание и оставить форму то получится: Все S есть Р. Логическая форма суждения Некоторые животные не являются млекопитающими есть Некоторые S не есть Р.

Субъект и предикат любого суждения всегда представляют собой какие-либо понятия, которые, как мы уже знаем, могут находиться в различных отношениях между собой. Между субъектом и предикатом суждения могут быть следующие логические отношения: равнозначности, пересечения, подчинения и несовместимости.

Отношение равнозначности предполагает, что субъект и предикат представляют собой равнозначные понятия. В суждении Все квадраты – это равносторонние прямоугольники субъект квадраты и предикат равносторонние прямоугольники находятся в отношении равнозначности, потому что квадрат – это обязательно равносторонний прямоугольник, а равносторонний прямоугольник – это обязательно квадрат (рис. 17).

Отношения равнозначности субъекта и предиката иллюстрируют примеры ниже:

Антарктида представляет собой ледовый материк (равнозначность).

Д. И. Менделеев – создатель Периодической системы химических элементов (равнозначность).

Отношение пересечения показывает, что субъект и предикат суждения являются пересекающимися понятиями. В суждении Некоторые писатели – это американцы субъект писатели и предикат американцы находятся в отношении пересечения (так как писатель может быть американцем и может им не быть, и американец может быть писателем, но также может им не быть) (рис. 18).

Отношением пересечения связаны субъект и предикат следующих суждений:

Некоторые русские писатели – это всемирно известные люди.

Некоторые грибы – несъедобные объекты.

Некоторые ученые – древние греки.

При отношении подчинения субъект и предикат суждения соотносятся как видовое и родовое понятия. В суждении Все тигры – это хищники субъект тигры и предикат хищники находятся в отношении подчинения, потому что тигр – это обязательно хищник, но хищник не обязательно тигр. Так же в суждении Некоторые хищники являются тиграми субъект хищники и предикат тигры находятся в отношении подчинения, будучи родовым и видовым понятиями.

Отношение подчинения хорошо иллюстрируют следующие суждения:

• Все бактерии являются живыми организмами.

• Солнце – это одна из звезд.

• Не все спортсмены являются олимпийскими чемпионами.

Отметим, в случае подчинения между субъектом и предикатом суждения возможны два варианта отношений: объем субъекта полностью включается в объем предиката (рис. 19), или наоборот (рис. 20).

Отношение несовместимости означает, что субъект и предикат суждения являются несовместимыми (соподчиненными) понятиями. В суждении Все планеты не являются звездами субъект планеты и предикат звезды находятся в отношении несовместимости, так как ни одна планета не может быть звездой, и ни одна звезда не может быть планетой (рис. 21).

В приведенных ниже суждениях субъект и предикат находятся в отношении несовместимости:

Параллельные прямые не пересекаются (несовместимость).

Учебники не могут быть развлекательными книгами (несовместимость).

Чтобы установить, в каком отношении находятся субъект и предикат того или иного суждения, надо сначала установить, какое понятие данного суждения является субъектом, а какое предикатом. Для примера определим отношение между субъектом и предикатом в суждении Некоторые военнослужащие являются россиянами.

Сначала находим субъект суждения, – это понятие военнослужащие, затем устанавливаем его предикат, – это понятие россияне. Понятия военнослужащие и россияне находятся в отношении пересечения (военнослужащий может быть россиянином и может им не быть; и россиянин может как быть, так и не быть военнослужащим). Следовательно, в указанном суждении субъект и предикат пересекаются.

Точно так же в суждении Все планеты – это небесные тела субъект и предикат находятся в отношении подчинения, а в суждении Ни один кит не является рыбой субъект и предикат несовместимы.

Как правило, все суждения подразделяют на три вида:

Атрибутивные суждения (от лат. attributum – «неотъемлемый признак») – это суждения, в которых предикат представляет собой какой-либо существенный, неотъемлемый признак субъекта. Например, суждение Все воробьи – это птицы – атрибутивное, потому что его предикат является неотъемлемым признаком субъекта, ведь быть птицей – это главный признак воробья, его атрибут, без которого он не будет самим собой (если некий объект не птица, то он обязательно и не воробей).

Надо отметить, что в атрибутивном суждении не обязательно предикат является атрибутом субъекта, может быть и наоборот – субъект представляет собой атрибут предиката. Например, в суждении Некоторые птицы – это воробьи (как видим, по сравнению с вышеприведенным примером, субъект и предикат поменялись местами) субъект является неотъемлемым признаком (атрибутом) предиката. Однако эти суждения всегда можно формально изменить таким образом, что предикат станет атрибутом субъекта. Поэтому атрибутивными обычно называются те суждения, в которых предикат является атрибутом субъекта.

Экзистенциальные суждения (от лат. existentia – «существование») – это суждения, в которых предикат указывает на существование или несуществование субъекта. Например, суждение Вечных двигателей не бывает является экзистенциальным, так как его предикат не бывает свидетельствует о несуществовании субъекта (вернее – предмета, который обозначен субъектом).

Релятивные суждения (от лат. relativus – «относительный») – это суждения, в которых предикат выражает собой какое-то отношение к субъекту. Например, суждение Москва основана раньше Санкт-Петербурга является релятивным, потому что его предикат основана раньше Санкт-Петербурга указывает на временное (возрастное) отношение одного города и соответствующего понятия к другому городу и соответствующему понятию, представляющему собой субъект суждения.

В мышлении и языке большую часть составляют атрибутивные суждения. Они встречаются чаще, чем экзистенциальные и релятивные. Кроме того, последние, в принципе, можно представить как атрибутивные. Вернемся к экзистенциальному суждению Вечных двигателей не бывает. Его предикат (не быть или не существовать) вполне можно рассматривать как атрибут субъекта (вечные двигатели), ведь не существовать – это действительно неотъемлемый признак вечных двигателей, следовательно, данное суждение возможно расценивать как атрибутивное.

Теперь обратимся к релятивному суждению Москва основана раньше Санкт-Петербурга, предикат которого (быть основанным раньше Санкт-Петербурга) вполне можно рассматривать как атрибут субъекта (Москва), ведь быть старше Санкт-Петербурга (ранее основанным городом) – это действительно неотъемлемый признак Москвы. Таким образом, это суждение также возможно охарактеризовать как атрибутивное.

Видео:Множества и круги Эйлера для 8 задания на ОГЭ по информатике 2024 | УмскулСкачать

Все и некоторые, есть и не есть (Виды простых суждений).

Если в суждении присутствуют один субъект и один предикат, то оно является простым. Все простые суждения по объему субъекта и качеству связки делятся на четыре вида. Объем субъекта может быть общим (всё) и частным (некоторые), а связка может быть утвердительной (есть) и отрицательной (не есть).

На основе объема субъекта и качества связки можно выделить только четыре комбинации, которыми исчерпываются все виды простых суждений: все – есть, некоторые – есть, все – не есть, некоторые – не есть. Каждый из этих видов имеет свое название и условное обозначение.

Общеутвердительные суждения (обозначаются латинской буквой А) – это суждения с общим объемом субъекта и утвердительной связкой, т. е. одновременно общие и утвердительные: Все S есть Р. Например: Все школьники являются учащимися.

Частноутвердительные суждения (обозначаются латинской буквой I) – это суждения с частным объемом субъекта и утвердительной связкой, т. е. одновременно частные и утвердительные: Некоторые S есть Р. Например: Некоторые животные являются хищниками.

Общеотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой Е) – это суждения с общим объемом субъекта и отрицательной связкой, т. е. одновременно общие и отрицательные: Все S не есть Р (или Ни одно S не есть Р). Например: Все планеты не являются звездами, Ни одна планета не является звездой.

Частноотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой О) – это суждения с частным объемом субъекта и отрицательной связкой, т. е. одновременно частные и отрицательные: Некоторые S не есть Р. Например: Некоторые грибы не являются съедобными.

Далее следует ответить на вопрос, к каким суждениям – общим или частным – следует относить суждения с единичным объемом субъекта (т. е. те суждения, в которых субъект представляет собой единичное понятие), например: Солнце – это небесное тело, Москва основана в 1147 году, Антарктида – это один из материков Земли. Суждение является общим, если речь в нем идет обо всем объеме субъекта, и частным, если речь идет о части объема субъекта. В суждениях с единичным объемом субъекта речь идет обо всем объеме субъекта (в приведенных примерах – обо всем Солнце, обо всей Москве, обо всей Антарктиде). Таким образом, суждения, в которых субъект является единичным понятием, считаются общими (общеутвердительными или общеотрицательными). Так, три приведенных выше суждения – общеутвердительные, а суждение Известный итальянский ученый эпохи Возрождения Галилео Галилей не является автором теории электромагнитного поля – общеотрицательное.

В дальнейшем будем говорить о видах простых суждений, не употребляя их длинных названий, с помощью условных обозначений – латинских букв А, I, Е, О. Эти буквы, взятые из двух латинских слов: affirmo – «утверждать» и nego – «отрицать», были предложены в качестве обозначения видов простых суждений еще в Средние века.

Важно отметить, что в каждом из видов простых суждений субъект и предикат находятся в определенных отношениях. Так, общий объем субъекта и утвердительная связка суждений вида А приводят к тому, что в них субъект и предикат могут находиться в отношениях равнозначности или подчинения (других отношений между субъектом и предикатом в суждениях вида А быть не может). Например, в суждении Все квадраты (S) – это равносторонние прямоугольники (Р) субъект и предикат находятся в отношении равнозначности, а в суждении Все киты (S) – это млекопитающие животные (Р) – в отношении подчинения.

Частный объем субъекта и утвердительная связка суждений вида I обусловливают то, что в них субъект и предикат могут находиться в отношениях пересечения или подчинения (но не в других). Например, в суждении Некоторые спортсмены (S) – это негры (Р) субъект и предикат находятся в отношении пересечения, а в суждении Некоторые деревья (S) – это сосны (Р) – в отношении подчинения.

Общий объем субъекта и отрицательная связка суждений вида Е приводят к тому, что в них субъект и предикат находятся только в отношении несовместимости. Например, субъект и предикат несовместимы в суждениях Все киты (S) – это не рыбы (Р), Все планеты (S) не являются звездами (Р), Все треугольники (S) – это не квадраты (Р).

Частный объем субъекта и отрицательная связка суждений вида О обусловливают то, что в них субъект и предикат, так же как и в суждениях вида I, могут быть только в отношениях пересечения и подчинения. Например, в суждении Некоторые студенты (S) не являются спортсменами (Р) субъект и предикат находятся в отношении пересечения, а в суждении Некоторые геометрические фигуры (S) не являются треугольниками (Р) субъект и предикат находятся в отношении подчинения.

Видео:Круги ЭйлераСкачать

Обо всем или о части (Распределенность терминов в простых суждениях).

Терминами суждения называются его субъект и предикат.

Термин считается распределенным (развернутым, исчерпанным, взятым в полном объеме), если в суждении речь идет обо всех объектах, входящих в объем этого термина. Распределенный термин обозначается знаком «+», а на схемах Эйлера изображается полным кругом (кругом, который не содержит в себе другого круга и не пересекается с другим кругом) (рис. 22).

Термин считается нераспределенным (неразвернутым, неисчерпанным, взятым не в полном объеме), если в суждении речь идет не обо всех объектах, входящих в объем этого термина. Нераспределенный термин обозначается знаком «—», а на схемах Эйлера изображается неполным кругом (кругом, который содержит в себе другой круг (рис. 23а) или пересекается с другим кругом (рис. 23б).

Например, в суждении Все акулы (S) являются хищниками (Р) речь идет обо всех акулах, значит, субъект этого суждения распределен. Однако в данном суждении речь идет не обо всех хищниках, а только о части хищников (именно о тех, которые являются акулами), следовательно, предикат указанного суждения нераспределен. Изобразив отношения между субъектом и предикатом (которые находятся в отношении подчинения) рассмотренного суждения схемами Эйлера, увидим, что распределенному термину (субъекту акулы) соответствует полный круг, а нераспределенному (предикату хищники) – неполный (попадающий в него круг субъекта как бы вырезает из него какую-то часть) (рис. 24).

Распределенность терминов в простых суждениях может быть различной в зависимости от вида суждения и характера отношений между его субъектом и предикатом.

Проще всего устанавливать распределенность терминов в простых суждениях с помощью схем Эйлера. Достаточно уметь определять вид отношений между субъектом и предикатом в предложенном суждении и изображать их круговыми схемами. Далее еще проще – полный круг, как уже говорилось, соответствует распределенному термину, а неполный – нераспределенному. Например, требуется установить распределенность терминов в суждении Некоторые русские писатели – это всемирно известные люди. Сначала найдем в этом суждении субъект и предикат: русские писатели – субъект, всемирно известные люди – предикат. Теперь установим, в каком отношении они находятся. Русский писатель может как быть, так и не быть всемирно известным человеком, и всемирно известный человек может как быть, так и не быть русским писателем, следовательно, субъект и предикат указанного суждения находятся в отношении пересечения. Изобразим это отношение на схеме Эйлера, заштриховав ту часть, о которой идет речь в суждении (рис. 25).

И субъект, и предикат изображаются неполными кругами (у каждого из них как бы отрезана какая-то часть), следовательно, оба термина предложенного суждения нераспределены (S —, Р —).

Рассмотрим еще один пример. Надо установить распределенность терминов в суждении Некоторые люди – это спортсмены. Найдя в этом суждении субъект и предикат (люди – субъект, спортсмены – предикат) и установив отношение между ними (подчинение), изобразим его на схеме Эйлера, заштриховав ту часть, о которой идет речь в суждении (рис. 26).

Круг, обозначающий предикат, является полным, а круг, соответствующий субъекту, – неполным (круг предиката как бы вырезает из него какую-то часть). Таким образом, в данном суждении субъект нераспределен, а предикат распределен (S —, Р +).

Видео:Множества. Круги Эйлера. Математика 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзаменуСкачать

Все не рыбы не являются карасями (Способы преобразования простых суждений).

Существует три способа преобразования, т. е. изменения формы, простых суждений: обращение, превращение и противопоставление предикату.

Обращение – это преобразование простого суждения, при котором субъект и предикат меняются местами. Например, суждение Все акулы являются рыбами преобразуется путем обращения в суждение Некоторые рыбы являются акулами. Здесь может возникнуть вопрос, почему исходное суждение начинается с квантора все, а новое – с квантора некоторые! Этот вопрос на первый взгляд кажется странным, ведь нельзя же сказать Все рыбы являются акулами, следовательно, единственное, что остается, это Некоторые рыбы являются акулами. Однако в данном случае мы обратились к содержанию суждения и по смыслу поменяли квантор все на квантор некоторые; а логика, как уже говорилось, отвлекается от содержания мышления и занимается только его формой. Поэтому обращение суждения Все акулы являются рыбами можно выполнить формально, не обращаясь к его содержанию (смыслу). Для этого установим распределенность терминов в этом суждении с помощью круговой схемы. Термины суждения, т. е. субъект акулы и предикат рыбы, находятся в данном случае в отношении подчинения (рис. 27).

На круговой схеме видно, что субъект распределен (полный круг), а предикат нераспределен (неполный круг). Вспомним, что термин распределен, когда речь идет обо всех входящих в него предметах, и нераспределен, когда – не обо всех, и автоматически мысленно поставим перед термином акулы квантор все, а перед термином рыбы – квантор некоторые. Делая обращение указанного суждения, т. е. меняя местами его субъект и предикат и начиная новое суждение с термина рыбы, мы опять же автоматически снабжаем его квантором некоторые, не задумываясь о содержании исходного и нового суждений, и получаем безошибочный вариант: Некоторые рыбы являются акулами.

Возможно, все это покажется чрезмерным усложнением элементарной операции, однако далее мы увидим,

Обратим внимание на то, что в рассмотренном выше примере исходное суждение было вида А, а новое – вида I, т. е. операция обращения привела к смене вида простого суждения. При этом, конечно же, поменялась его форма, но не поменялось содержание, ведь в суждениях Все акулы являются рыбами и Некоторые рыбы являются акулами речь идет об одном и том же. Суждение вида А обращается или само в себя, или в суждение вида I. Суждение вида I обращается или само в себя, или в суждение вида А. Суждение вида Е всегда обращается само в себя, а суждение вида О обращению не поддается.

Второй способ преобразования простых суждений, называемый превращением, заключается в том, что у суждения меняется связка: положительная на отрицательную, или наоборот. При этом предикат суждения заменяется противоречащим понятием (т. е. перед предикатом ставится частица НЕ). Например, то же самое суждение, которое мы рассматривали в качестве примера для обращения Все акулы являются рыбами, преобразуется путем превращения в суждение Все акулы не являются не рыбами. Это суждение может показаться странным, ведь обычно так не говорят, хотя на самом деле перед нами более короткая формулировка той мысли, что ни одна акула не может быть таким существом, которое не является рыбой, или что множество всех акул исключается из множества всех существ, которые не являются рыбами. Субъект акулы и предикат не рыбы суждения, получившегося в результате превращения, находятся в отношении несовместимости (рис. 28).

Приведенный пример превращения демонстрирует важную логическую закономерность: любое утверждение равно двойному отрицанию, и наоборот. Как видим, исходное суждение вида А в результате превращения стало суждением вида Е. В отличие от обращения превращение не зависит от характера отношений между субъектом и предикатом простого суждения. Поэтому суждение вида А всегда превращается в суждение вида Е, а суждение вида Е – в суждение вида А. Суждение вида I всегда превращается в суждение вида О, а суждение вида О – в суждение вида I.

Третий способ преобразования простых суждений – противопоставление предикату – состоит в том, что сначала суждение подвергается превращению, а потом обращению. Например, чтобы путем противопоставления предикату преобразовать суждение Все акулы являются рыбами, надо сначала подвергнуть его превращению. Получится: Все акулы не являются не рыбами. Теперь надо совершить обращение с получившимся суждением, т. е. поменять местами его субъект акулы и предикат не рыбы. Чтобы не ошибиться, вновь прибегнем к установлению распределенности терминов с помощью круговой схемы (субъект и предикат в этом суждении находятся в отношении несовместимости) (рис. 29).

На круговой схеме видно, что и субъект, и предикат распределены (и тому, и другому термину соответствует полный круг), следовательно, мы должны сопроводить как субъект, так и предикат квантором все. После этого совершим обращение с суждением Все акулы не являются не рыбами. Получится: Все не рыбы не являются акулами. Суждение звучит непривычно, однако это – более короткая формулировка той мысли, что если какое-то существо не является рыбой, то оно никак не может быть акулой, или что все существа, которые не являются рыбами, автоматически не могут быть и акулами в том числе.

Все три операции преобразования простых суждений проще всего совершать с помощью круговых схем. Для этого надо изобразить кругами Эйлера три термина: субъект, предикат и понятие, противоречащее предикату (не-предикат). Потом следует установить их распределенность, и из получившейся схемы будут вытекать четыре суждения – одно исходное и три результата преобразований. Главное – помнить, что распределенный термин соответствует квантору все, а нераспределенный – квантору некоторые; что соприкасающиеся на схеме Эйлера круги соответствуют связке является, а несоприкасающиеся – связке не является. Например, требуется совершить три операции преобразования с суждением Все учебники являются книгами. Изобразим субъект учебники, предикат книги и не-предикат не книги круговой схемой и установим распределенность этих терминов (рис. 30).

Получившуюся круговую схему можно прочитать четырьмя способами:

• Все учебники являются книгами (исходное суждение).

• Некоторые книги являются учебниками (обращение).

• Все учебники не являются не книгами (превращение).

• Все не книги не являются учебниками (противопоставление предикату).

Рассмотрим еще один пример. Надо преобразовать тремя способами суждение Все планеты не являются звездами. Изобразим кругами Эйлера субъект планеты, предикат звезды и не-предикат не звезды. Обратите внимание на то, что понятия планеты и не звезды находятся в отношении подчинения: планета – это обязательно не звезда, но небесное тело, которое не является звездой, – это не обязательно планета. Установим распределенность этих терминов (рис. 31).

Получившуюся круговую схему можно прочитать четырьмя разными способами:

• Все планеты не являются звездами (исходное суждение).

• Все звезды не являются планетами (обращение).

• Все планеты являются не звездами (превращение).

• Некоторые не звезды являются планетами (противопоставление предикату).

Видео:круги ЭйлераСкачать

Логический квадрат (Отношения между суждениями).

Простые суждения делятся на сравнимые и несравнимые.

Сравнимые (идентичные по материалу) суждения имеют одинаковые субъекты и предикаты, но могут отличаться кванторами и связками. Например, суждения Все школьники изучают математику, Некоторые школьники не изучают математику являются сравнимыми, так как у них совпадают субъекты и предикаты, а кванторы и связки различаются.

Несравнимые суждения имеют разные субъекты и предикаты. Например, суждения: Все школьники изучают математику, Некоторые спортсмены – это олимпийские чемпионы являются несравнимыми, так как субъекты и предикаты у них не совпадают.

Сравнимые суждения бывают, как и понятия, совместимыми и несовместимыми и могут находиться в различных отношениях между собой.

Совместимыми называются суждения, которые могут быть одновременно истинными. Например, суждения Некоторые люди – это спортсмены, Некоторые люди – это не спортсмены являются одновременно истинными и представляют собой совместимые суждения.

Несовместимыми называются суждения, которые не могут быть одновременно истинными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого. Например, суждения Все школьники изучают математику, Некоторые школьники не изучают математику не могут быть одновременно истинными и являются несовместимыми (истинность первого суждения с неизбежностью приводит к ложности второго).

Совместимые суждения могут находиться в отношениях равнозначности, подчинения или частичного совпадения.

Равнозначность – это отношение между двумя суждениями, у которых и субъекты, и предикаты, и связки, и кванторы совпадают. Например, суждения Москва является древним городом, Столица России является древним городом находятся в отношении равнозначности.

Подчинение – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении вида и рода. Например, суждения Все растения являются живыми организмами, Все цветы (некоторые растения) являются живыми организмами находятся в отношении подчинения.

Частичное совпадение – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения Некоторые грибы являются съедобными и Некоторые грибы не являются съедобными находятся в отношении частичного совпадения. Необходимо отметить, что в этом отношении находятся только частные суждения – частноутвердительные (I) и частноотрицательные (О).

Несовместимые суждения могут находиться в отношениях противоположности или противоречия.

Противоположность – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения Все люди являются правдивыми и Все люди не являются правдивыми находятся в отношении противоположности. В этом отношении могут быть только общие суждения – общеутвердительные (Д) и общеотрицательные (Е).

Важным признаком противоположных суждений является то, что они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Вернемся к приведенным выше суждениям и убедимся в этом: неправда, что все люди являются правдивыми, но также неправда, что все люди не являются правдивыми. Противоположные суждения могут быть одновременно ложными, потому что между ними, обозначающими какие-то крайние варианты, всегда есть третий, средний, промежуточный вариант. Если этот средний вариант будет истинным, то два крайних окажутся ложными. Между противоположными (крайними) суждениями Все люди являются правдивыми и Все люди не являются правдивыми есть третий, средний вариант Некоторые люди являются правдивыми, а некоторые не являются таковыми, который, будучи истинным суждением, обусловливает одновременную ложность двух крайних противоположных суждений.

Противоречие – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты совпадают, связки различны, а субъекты отличаются своими объемами, т. е. находятся в отношении подчинения (вида и рода). Например, суждения Все люди являются правдивыми и Некоторые люди не являются правдивыми находятся в отношении противоречия.

Важным признаком противоречащих суждений, в отличие от противоположных, является то, что между ними не может быть третьего, среднего, промежуточного варианта. В силу этого два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот, ложность одного обусловливает истинность другого. К противоположным и противоречащим суждениям мы еще вернемся, когда речь пойдет о логических законах противоречия и исключенного третьего.

Рассмотренные отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата (рис. 32), который был разработан еще средневековыми логиками.

Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида А и вида I, а также суждения вида Е и вида О находятся в отношении подчинения. Суждения вида А и вида Е находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида О – частичного совпадения. Суждения вида А и вида О, а также суждения вида Е и вида I находятся в отношении противоречия.

Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т. е. равнозначность – это отношение между суждениями А и А, I и I, Е и Е, О и О.

Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения Все люди изучали логику и Некоторые люди не изучали логику. Видя, что первое суждение является общеутвердительным (А), а второе частноотрицательным (О), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – это противоречие.

Суждения Все люди изучали логику (А) и Некоторые люди изучали логику (I) находятся в отношении подчинения, а суждения Все люди изучали логику (А) и Все люди не изучали логику (Е) находятся в отношении противоположности.

Как уже говорилось, важным свойством суждений (в отличие от понятий) является то, что они могут быть истинными или ложными. Что касается сравнимых суждений, то истинностные значения каждого из них определенным образом связаны с истинностными значениями остальных. Так, если суждение вида А является истинным или ложным, то три других (I, Е, О), сравнимых с ним суждения (имеющих сходные с ним субъекты и предикаты), в зависимости от этого (от истинности или ложности суждения вида А) тоже являются истинными или ложными.

Например, если суждение вида А: Все тигры – это хищники – истинно, то суждение вида I. Некоторые тигры – это хищники – также истинно (если все тигры – хищники, то и часть из них, т. е. некоторые тигры, – это тоже хищники); суждение вида Е Все тигры – это не хищники – ложно, и суждение вида О: Некоторые тигры – это не хищники – также является ложным. Таким образом, в данном случае из истинности суждения вида А вытекает истинность суждения вида I и ложность суждений вида Е и вида О (разумеется, речь идет о сравнимых суждениях, т. е. имеющих одинаковые субъекты и предикаты).

Видео:Урок 51. Круги Эйлера. Решение задач с помощью кругов Эйлера (6 класс)Скачать

Чем дальше в лес, тем больше дров (Виды сложных суждений).

В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения соединяются в сложные, выделяется пять видов сложных суждений: конъюнктивные, дизъюнктивные, импликативные, эквивалентные и отрицательные суждения.

Конъюнктивное суждение (конъюнкция) – это сложное суждение с соединительным союзом И, который обозначается в логике условным знаком «∧». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а ∧ b (читается «а и b»), где а и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Сверкнула молния, и загремел гром является конъюнкцией (соединением) двух простых суждений: Сверкнула молния и Загремел гром. Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: Сверкнула молния, и загремел гром, и пошел дождь (а ∧ b ∧ с).

Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом ИЛИ. Вспомним, что, говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, мы отмечали неоднозначность этого союза – он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида: нестрогая и строгая дизъюнкция соответственно.

Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом ИЛИ в его нестрогом (неисключающем) значении, который обозначается знаком «∨». С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ∨ b (читается «а или b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Он изучает английский, или он изучает немецкий является нестрогой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: Он изучает английский и Он изучает немецкий. Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой.

Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом ИЛИ в его строгом (исключающем) значении, который обозначается знаком «∨_». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а ∨_ b (читается «или а, или b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе является строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: Он учится в 9 классе, Он учится в 11 классе. Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9, и в 11 классе (если он учится в 9 классе, то точно не учится в 11 классе, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой.

Как нестрогая, так и строгая дизъюнкции могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: Он изучает английский, или он изучает немецкий, или он изучает французский (a ∨ b ∨ с); Он учится в 9 классе, или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (a ∨_ b ∨_ c).

Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом ЕСЛИ…ТО, который обозначается знаком «=>». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а => в (читается «если а, то b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если вещество является металлом, то оно электропроводно представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: Вещество является металлом и Вещество электропроводно. В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если вещество – металл, то оно обязательно электропроводно), однако из второго не вытекает первое (если вещество электропроводно, то это вовсе не означает, что оно является металлом).

Первая часть импликации называется основанием, а вторая – следствием; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: а => b, можно прочитать так: «если а, то обязательно b, но если b, то не обязательно а».

Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом ЕСЛИ…ТО не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается знаком « », с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а b (читается «если а, то b, и если b, то а»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если число является четным, то оно делится без остатка на 2 представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: Число является четным и Число делится без остатка на 2. Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число четное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно четное.

Понятно, что в эквиваленции (в отличие от импликации) не может быть ни основания, ни следствия, так как две ее части являются равнозначными суждениями.

Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом НЕВЕРНО, ЧТО, который обозначается знаком «¬». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: ¬ а (читается «неверно, что а»), где а – это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос: где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b? В записи ¬ а, уже присутствуют два простых суждения: а – это какое-то утверждение, а знак «¬» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое отрицательное. Пример отрицательного суждения: Неверно, что все мухи являются птицами.

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение Уж полночь близится, а Германна все нет является конъюнкцией, потому что в нем союз А употребляется в роли соединительного союза И. Сложное суждение Посеешь ветер, пожнешь бурю, в котором вообще нет союза, является импликацией, так как два простых суждения в нем связаны условным союзом ЕСЛИ…ТО.

Приведем еще несколько примеров сложных суждений с различными союзами естественного языка, которые выступают в роли нескольких рассмотренных нами логических союзов.

Живое существо является человеком только тогда, когда оно обладает мышлением (эквиваленция).

• Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны (нестрогая дизъюнкция).

• Вчера он получил двойку не только по математике, но еще и по русскому (конъюнкция).

• Проводник нагревается, когда через него проходит электрический ток (импликация).

• Окружающий нас мир либо познаваем, либо нет (строгая дизъюнкция).

• Либо же он совершенно бездарен, либо же полный лентяй (нестрогая дизъюнкция).

• Когда человек льстит, он лжет (импликация).

• Вода превращается в лед лишь при температуре от нуля градусов по Цельсию и ниже (эквиваленция).

Две прямые, лежащие в одной плоскости, не имеют общих точек только тогда, когда они параллельны (эквиваленция).

Вместо того, чтобы пойти в школу, он пошел гулять (конъюнкция).

Английский язык можно изучать либо в школе, либо на курсах, либо с репетитором, либо самостоятельно (нестрогая дизъюнкция).

То ли в мире действует всеобщая закономерность, то ли всеобщая случайность (строгая дизъюнкция).

Он не готовился к занятиям или систематически прогуливал их (нестрогая дизъюнкция).

Чем дальше в лес, тем больше дров (импликация).

Деревья качаются, потому что дует ветер (импликация).

Хотя на море разыгрался шторм, корабль неуклонно двигался своим курсом (конъюнкция).

• Глаза боятся, а руки делают (конъюнкция).

• Бели с утра шел дождь, то к полудню прояснилось (конъюнкция).

• Кончил дело, гуляй смело (импликация).

• Треугольник является равносторонним только тогда, когда все его углы равны (эквиваленция).

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Ниже приведена таблица истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений. Таких наборов всего четыре:

• Оба простых суждения истинные;

• Первое суждение истинное, а второе ложное;

• Первое суждение ложное, а второе истинное;

• Оба суждения ложные.

Как видим, конъюнкция (а ∧ b) истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения, входящих в нее. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной.

Нестрогая дизъюнкция (a ∨ b), наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения. Строгая дизъюнкция (а ∨_ b) истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны.

Импликация (а => b) ложна только в одном случае, – когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна.

Эквиваленция (а b) истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или же когда они оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна.

Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение (а) истинно, его отрицание (¬ а) ложно; когда утверждение (а) ложно, его отрицание (¬ а) истинно.

Видео:Решение задач с помощью кругов ЭйлераСкачать

Есть ли жизнь на Марсе? (Виды и правила вопросов).

Вопрос весьма близок к суждению. Это проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос. Поэтому вопрос – это логическая форма (конструкция), которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.

Вопросы делятся на исследовательские и информационные.

Исследовательские вопросы направлены на получение нового знания. Это вопросы, на которые пока нет ответов, например: Как родилась Вселенная?

Информационные вопросы имеют своей целью приобретение (передачу от одного лица другому) уже имеющихся знаний (информации), например: Какова температура плавления свинца?

Вопросы также делятся на категориальные и пропозициональные.

Категориальные (восполняющие, специальные) вопросы включают в себя вопросительные слова кто, что, где, когда, почему, как и т. п., указывающие направление поиска ответов и, соответственно, категорию объектов, свойств или явлений, в которой следует искать нужные ответы. Категориальным, например, является вопрос Кто создал Периодическую систему химических элементов?

Пропозициональные (уточняющие, общие) вопросы направлены на подтверждение или отрицание некоей уже имеющейся информации. В этих вопросах ответ как бы уже заложен в виде готового суждения, которое надо лишь подтвердить или отвергнуть. Вопрос Полезно ли изучение математики? является пропозициональным.

Понятно, что и исследовательские, и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными. Например: Как создать универсальное доказательство теоремы Ферма? – исследовательский категориальный вопрос; Есть ли во Вселенной планеты, населенные, как и Земля, разумными существами? – исследовательский пропозициональный вопрос; Когда появилась логика? – информационный категориальный вопрос; Верно ли, что число π – это отношение длины окружности к ее диаметру? – информационный пропозициональный вопрос.

Приведем еще несколько примеров вопросов.

• Когда был открыт закон Всемирного тяготения? (информационный категориальный вопрос).

• Смогут ли жители Земли расселиться на других планетах Солнечной системы? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• В каком году родился Наполеон? (информационный категориальный вопрос).

• Каково будущее человечества? (исследовательский категориальный вопрос).

• Возможно ли предотвратить третью мировую войну? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• Что такое тригонометрия? (информационный категориальный вопрос).

• Можно ли измерить расстояние от Земли до Луны? (информационный пропозициональный вопрос).

• Кто является создателем квантовой теории? (информационный категориальный вопрос).

• Чем отличаются естественные науки от гуманитарных? (информационный категориальный вопрос).

• Вел ли Древний Рим продолжительные завоевательные войны? (информационный пропозициональный вопрос).

• В чем смысл человеческой жизни? (исследовательский категориальный вопрос).

• Где находится самое высокое место земного шара? (информационный категориальный вопрос).

• Чему равна скорость света? (информационный категориальный вопрос).

• Что такое любовь? (исследовательский категориальный вопрос).

• Верно ли, что геоцентрическая картина мира появилась еще в древности? (информационный пропозициональный вопрос).

• Как зародилась жизнь во Вселенной? (исследовательский категориальный вопрос).

Достигнут ли люди когда-нибудь всеобщего процветания? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• Как доказывается теорема Пифагора? (информационный категориальный вопрос).

• Возможно ли полное преодоление социальной несправедливости? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• Кто считается создателем формальной логики? (информационный категориальный вопрос).

Любой вопрос имеет определенную структуру и состоит из двух частей. Первая часть представляет собой некую информацию (выраженную, как правило, каким-нибудь суждением), а вторая часть указывает на ее недостаточность и необходимость ее дополнения каким-либо ответом. Первая часть, называется основной (базисной) (ее также иногда называют предпосылкой вопроса), а вторая часть – искомой. Например, в информационном категориальном вопросе Когда была создана теория электромагнитного поля? основная часть – это утвердительное суждение Была создана теория электромагнитного поля, а искомая часть, представленная вопросительным словом когда, указывает на недостаточность информации, содержащейся в базисной части вопроса, и требует ее дополнения, которое следует искать в области (категории) временных явлений.

В исследовательском пропозициональном вопросе Возможны ли полеты землян в другие галактики? основная часть представлена суждением Возможны полеты землян в другие галактики, а искомая часть, выраженная частицей ли, указывает на необходимость подтверждения или отрицания этого суждения. В данном случае искомая часть вопроса свидетельствует не об отсутствии какой-то информации, содержащейся в его базисной части, а об отсутствии знания о ее истинности или ложности и требует это знание получить.

Наиболее важное логическое требование к постановке вопроса заключается в том, чтобы его базисная часть была истинным суждением. В этом случае вопрос считается логически корректным. Если же основная часть вопроса представляет собой ложное суждение, то вопрос следует признать логически некорректным (подобные вопросы не требуют ответа и подлежат отвержению).

Например, вопрос Когда было предпринято первое кругосветное путешествие? является логически корректным, поскольку его основная часть выражена истинным суждением В истории человечества имело место первое кругосветное путешествие. Вопрос В каком году знаменитый английский ученый Исаак Ньютон закончил работу над общей теорией относительности? логически некорректен, так как его основная часть представлена ложным суждением Автором общей теории относительности является знаменитый английский ученый Исаак Ньютон.

Итак, основная (базисная) часть вопроса должна быть истинной и не должна быть ложной. Однако существуют логически корректные вопросы, основные части которых являются ложными суждениями. Например, вопросы Возможно ли создание вечного двигателя? Есть ли разумная жизнь на Марсе? Изобретут ли машину времени? несомненно, следует признать логически корректными, несмотря на то, что их базисные части представляют собой ложные суждения: Возможно создание вечного двигателя, Есть разумная жизнь на Марсе, Изобретут машину времени. Дело в том, что искомые части этих вопросов направлены на выяснение истинностных значений их базисных частей, т. е. требуется выяснить, истинными или ложными являются суждения Возможно создание вечного двигателя, Есть разумная жизнь на Марсе, Изобретут машину времени. В этом случае вопросы логически корректны. Если бы искомые части рассматриваемых вопросов не были направлены на выяснение истинности их основных частей, а имели бы своей целью нечто иное, эти вопросы являлись бы логически некорректными, например: Где был создан первый вечный двигатель? Когда появилась разумная жизнь на Марсе? Сколько будет стоить путешествие на машине времени?

Таким образом, главное правило постановки вопроса следует расширить и уточнить: основная (базисная) часть корректного вопроса должна быть истинным суждением. Если же она является ложным суждением, то его искомая часть должна быть направлена на выяснение истинностного значения основной части; в противном случае вопрос будет логически некорректным.

Нетрудно догадаться, что требование для основной части быть истинной, по преимуществу, относится к категориальным вопросам, а требование того, чтобы искомая часть была выяснением истинности основной части, относится к пропозициональным вопросам.

Надо отметить, что корректные категориальные и пропозициональные вопросы сходны между собой в том, что на них всегда можно дать истинный ответ (как, впрочем, и ложный). Например, на категориальный вопрос Когда закончилась Первая мировая война? можно дать как истинный ответ (В 1918 году), так и ложный (В 1916 году). На пропозициональный вопрос Вращается ли Земля вокруг Солнца? также можно дать как истинный ответ (Да, вращается), так и ложный (Нет, не вращается). Отметим, что оба приведенных вопроса логически корректны.

Итак, принципиальная возможность получения истинных ответов есть основной признак корректных вопросов. Если же получить истинные ответы на некие вопросы принципиально невозможно, то они являются некорректными.

Например, нельзя получить истинный ответ на пропозициональный вопрос Закончится ли когда-нибудь Первая мировая война? так же, как невозможно получить его на категориальный вопрос С какой скоростью вращается Солнце вокруг неподвижной Земли? Любые ответы на эти вопросы необходимо будет признать неудовлетворительными, а сами вопросы – логически некорректными, подлежащими отвержению.

Видео:Круги Эйлера. Урок 2.Скачать

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Классы: 5 , 6 , 7

Ключевые слова: круги Эйлера

Пояснительная записка

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение простым и наглядным.

В данной разработке приведены примеры решения задач с помощью кругов Эйлера. Это не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Они помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

С данным способом решения задач учащихся можно познакомить как на уроках, так и на кружковых занятиях.

Главной целью этой работы является помощь учителям математики для подготовки учащихся к олимпиадам, а также к экзаменам.

Основные понятия

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т.д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников.

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

2.1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек — фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

1. 15 — 6 = 9 — человек, которые смотрели только «Обитаемый остров»,

2. 11- 6 = 5 — человек, которые смотрели только «Стиляги».

Ответ: 5 человек.

2.2. Задача про библиотеки

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной.

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

1) 20+ 25 — 35 = 10 (человек) — являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2) 35 — 20 = 15 (человек) — не являются читателями районной библиотеки,

3) 35 — 25 = 10 (человек) — не являются читателями школьной библиотеки,

4) 35- 20 = 10 (человек) — являются читателями только районной библиотеки,

5) 35- 20 = 15 (человек) — являются читателями только школьной библиотеки.

Очевидно, что вопросы 2 и 5, а также 3 и 4 — равнозначны и ответы на них совпадают.

Ответ: 10 человек; 15 человек; 10 человек; 10 человек; 15 человек.

2.3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги — Гермиона, то 11 — 4 — 2 = 5 — книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 — 7 — 2 — 5 — 4 = 8 — книг прочитал только Рон.

Ответ: 8 книг.

2.4. Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Чертим три круга, таким образом:

Из условия знаем, что трем ученикам нравиться и «Белоснежка и семь гномов», и «Волк и теленок», шестерым — «Белоснежка и семь гномов» и «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма.

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу, т.е. 5 — 3 = 2 — ученика выбрали «Волк и теленок» и «Губка Боб Квадратные Штаны».

1) 21 — 3 — 1 — 6 = 11 — учеников выбрали только «Белоснежка и семь гномов»,

2) 13 — 3 — 1 — 2 = 7 — учеников выбрали — «Волк и теленок»,

3) 38 — (11 + 3 + 1 + 2 + 6 + 7) = 8 — ребят выбрали «Губка Боб Квадратные Штаны».

4) 8 + 2 + 1 + 6 = 17 — человек выбрали мультик «Губка Боб Квадратные Штаны».

Ответ: 17 учеников.

2.5. Задача про Крейсер и Линкор

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Найдено страниц, тыс.

Крейсер и Линкор

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? (Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.)

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи.

1) 4800 + 4500 — 7000 = 2300 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер и Линкор,

2) 4800 — 2300 = 2500 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер,

3) 4500 — 2300 = 2200 (тыс. страниц) — найдено по запросу Линкор.

Ответ: 2300 тыс. страниц.

2.6. Задача про блондинок

Каждый ученик класса — либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, но одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика — блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Изобразим с помощью кругов Эйлера данные из задачи:

1) 12 — 1 = 11 (учеников) — девочек блондинок,

2) 12 — 1 = 11 (учеников) — блондины и любят математику,

3) 6 — 1 = 5 (учеников) — девочек, которые любят математику,

4) 20 — 11 — 1 — 5 = 3 (ученика) — девочки,

5) 24 — 11 — 1 — 11 = 1 (ученик) — блондин,

6) 17- 5 — 1 — 11 = 0 (учеников) — любят математику,

7) 3 + 1 + 0 + 5 + 11 + 11 + 1 = 32 (ученика) — всего в классе.

Ответ: 32 ученика.

2.7. Задача про кружки

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

1) 10 — 3 = 7 (ребят) — посещают драмкружок и хор,

2) 6 — 3 = 3 (ребят) — поют в хоре и занимаются спортом,

3) 8 — 3 = 5 (ребят) — занимаются спортом и посещают драмкружок,

4) 27 — 7 — 3 — 5 = 12 (ребят) — посещают драмкружок,

5) 32 — 7 3 — 3 = 19 (ребят) — поют в хоре,

6) 22 — 5 — 3 — 3 = 11 (ребят) — увлекаются спортом,

7) 70 — (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) — не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задачи для самостоятельного решения

1. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 — фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

6. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 — черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 — яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 — умных и 9 — добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по истории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и истории — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

9. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 — в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Франции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Список использованных источников

1. Баженов И.И, Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков: учеб. пособие / Сыктывкар: Сыктывкарский университет, 2006.

2. Марков И.С. Новые олимпиады по математике — Ростов н/Д: Феникс, 2005.

🎬 Видео

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать