Параллельные прямые и секущая в трапеции

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

На рисунке 66 изображена трапеция Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как Параллельные прямые и секущая в трапециито Параллельные прямые и секущая в трапеции(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично Параллельные прямые и секущая в трапеции

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Поскольку Параллельные прямые и секущая в трапециито Параллельные прямые и секущая в трапецииАналогично Параллельные прямые и секущая в трапецииСледовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 Параллельные прямые и секущая в трапеции— высота трапеции Параллельные прямые и секущая в трапеции

Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапецииОчевидно, что Параллельные прямые и секущая в трапеции Параллельные прямые и секущая в трапецииявляется меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции Параллельные прямые и секущая в трапецииПроведем высоты трапеции Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапециииз вершин ее тупых углов Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции(рис. 70). Получили прямоугольник Параллельные прямые и секущая в трапецииПоэтому Параллельные прямые и секущая в трапеции

Параллельные прямые и секущая в трапеции

2) Параллельные прямые и секущая в трапеции(по катету и гипотенузе). Поэтому Параллельные прямые и секущая в трапеции

3) Также Параллельные прямые и секущая в трапецииНо Параллельные прямые и секущая в трапециипоэтому Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапецииСледовательно, Параллельные прямые и секущая в трапеции

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. Параллельные прямые и секущая в трапеции(как углы при основании равнобокой трапеции), Параллельные прямые и секущая в трапеции— общая сторона треугольников Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапецииПоэтому Параллельные прямые и секущая в трапеции(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Параллельные прямые и секущая в трапеции

Пример:

Параллельные прямые и секущая в трапеции— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции Параллельные прямые и секущая в трапециис основаниями Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции(рис. 71). Докажите, что Параллельные прямые и секущая в трапеции

Доказательство:

Параллельные прямые и секущая в трапеции(доказано выше). Поэтому Параллельные прямые и секущая в трапецииПо признаку равнобедренного треугольника Параллельные прямые и секущая в трапеции— равнобедренный. Поэтому Параллельные прямые и секущая в трапецииПоскольку Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапециито Параллельные прямые и секущая в трапеции(так как Параллельные прямые и секущая в трапеции).

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в Параллельные прямые и секущая в трапецииуглы при большем основании Параллельные прямые и секущая в трапецииравны (рис. 70), то есть Параллельные прямые и секущая в трапецииПроведем высоты Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапецииони равны.

2) Тогда Параллельные прямые и секущая в трапеции(по катету и противолежащему углу). Следовательно, Параллельные прямые и секущая в трапецииТаким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.

Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые и секущая в трапеции— данная трапеция, Параллельные прямые и секущая в трапеции— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что Параллельные прямые и секущая в трапеции Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции

Параллельные прямые и секущая в трапеции

1) Проведем луч Параллельные прямые и секущая в трапециидо его пересечения с лучом Параллельные прямые и секущая в трапецииПусть Параллельные прямые и секущая в трапеции— точка их пересечения. Тогда Параллельные прямые и секущая в трапеции(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапециии секущей Параллельные прямые и секущая в трапеции(как вертикальные), Параллельные прямые и секущая в трапеции(по условию). Следовательно, Параллельные прямые и секущая в трапеции(по стороне и двум прилежащим углам), откуда Параллельные прямые и секущая в трапеции Параллельные прямые и секущая в трапеции(как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку Параллельные прямые и секущая в трапециито Параллельные прямые и секущая в трапеции— средняя линия треугольника Параллельные прямые и секущая в трапецииТогда, по свойству средней линии треугольника, Параллельные прямые и секущая в трапецииа значит, Параллельные прямые и секущая в трапецииНо так как Параллельные прямые и секущая в трапециито Параллельные прямые и секущая в трапеции

3) Кроме того, Параллельные прямые и секущая в трапеции

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые и секущая в трапеции— средняя линия трапеции Параллельные прямые и секущая в трапеции— точка пересечения Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции— точка пересечения Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции(рис. 110). Пусть Параллельные прямые и секущая в трапецииДокажем, что Параллельные прямые и секущая в трапеции

Параллельные прямые и секущая в трапеции

1) Так как Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапециито, по теореме Фалеса, Параллельные прямые и секущая в трапеции-середина Параллельные прямые и секущая в трапеции— середина Параллельные прямые и секущая в трапецииПоэтому Параллельные прямые и секущая в трапеции— средняя линия треугольника Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапеции— средняя линия треугольника Параллельные прямые и секущая в трапеции

Тогда Параллельные прямые и секущая в трапеции

2) Параллельные прямые и секущая в трапеции— средняя линия трапеции, поэтому Параллельные прямые и секущая в трапеции

3) Параллельные прямые и секущая в трапеции

Пример:

В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.

Решение:

Пусть Параллельные прямые и секущая в трапеции— данная трапеция, Параллельные прямые и секущая в трапеции— ее средняя линия, Параллельные прямые и секущая в трапеции(рис. 111).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

1) Обозначим Параллельные прямые и секущая в трапецииТогда

Параллельные прямые и секущая в трапеции

2) Параллельные прямые и секущая в трапеции(по условию). Параллельные прямые и секущая в трапеции(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапециии секущей Параллельные прямые и секущая в трапецииПоэтому Параллельные прямые и секущая в трапецииСледовательно, Параллельные прямые и секущая в трапеции— равнобедренный, у которого Параллельные прямые и секущая в трапеции(по признаку равнобедренного треугольника). Но Параллельные прямые и секущая в трапеции(по условию), значит, Параллельные прямые и секущая в трапеции

3) Учитывая, что Параллельные прямые и секущая в трапецииполучим уравнение: Параллельные прямые и секущая в трапецииоткуда Параллельные прямые и секущая в трапеции

4) Тогда Параллельные прямые и секущая в трапеции

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

3. Треугольники Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Параллельные прямые и секущая в трапеции

Отношение площадей этих треугольников есть Параллельные прямые и секущая в трапеции.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

4. Треугольники Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Параллельные прямые и секущая в трапециии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапеции, то Параллельные прямые и секущая в трапеции

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Площадь

Параллельные прямые и секущая в трапецииили Параллельные прямые и секущая в трапециигде Параллельные прямые и секущая в трапеции– средняя линия

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Трапеция. Определение, виды, свойства

Видео:СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .Скачать

СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .

Определения

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.

Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапеции

На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

Параллельные прямые и секущая в трапеции

На рисунке Рис.4 ( small MN ) является средней линией трапеции ( small ABCD, ) причем ( small AM=MD,;; BN=NC. )

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).

Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).

Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапеции

Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что ( small MN || AB, ) ( small MN=frac12 (AB+CD). )

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то

Углы 1 и 2 вертикальные , следовательно

( small angle 1=angle 2. )(2)

Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).

( small angle 3=angle 4. )(3)

Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда ( small MN || AP ) ( или ( small MN || AB )) и ( small MN =frac 12 AP ). Но ( small AP=AB +BP=AB+CD ). Тогда ( small MN =frac 12 (AB+CD).)Параллельные прямые и секущая в трапеции

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда ( small angle A+ angle D=180°.) Параллельные прямые и секущая в трапеции

Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:

Параллельные прямые и секущая в трапеции

MP − является средней линией треугольника ADC, так как Параллельные прямые и секущая в трапеции, Параллельные прямые и секущая в трапеции. Тогда

Параллельные прямые и секущая в трапеции(4)

QN − является средней линией треугольника BCD, так как Параллельные прямые и секущая в трапеции, Параллельные прямые и секущая в трапецииТогда

Параллельные прямые и секущая в трапеции(5)

Из Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапецииследует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).

Аналогично, из Параллельные прямые и секущая в трапециии Параллельные прямые и секущая в трапецииследует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.

Далее, учитывая (4) и (5), получим:

Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапеции.
Параллельные прямые и секущая в трапеции.

Далее, учитывая свойство 1, получим:

Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапеции,
Параллельные прямые и секущая в трапеции.Параллельные прямые и секущая в трапеции

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда ( small angle A=angle B. ) Докажем, далее, что ( small angle ADC=angle DCB. ) ( small angle A +angle ADC=180° ) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично ( small angle B +angle DCB=180°. ) Учитывая, что ( small angle A=angle B ), получим ( small angle ADC=angle DCB. ) Параллельные прямые и секущая в трапеции

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, ( small angle ADC=angle DCB. ) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.Параллельные прямые и секущая в трапеции

Параллельные прямые и секущая в трапеции

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Параллельные прямые и секущая в трапецииПараллельные прямые и секущая в трапеции

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

🎬 Видео

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

Всё о трапеции за 60 секундСкачать

Всё о трапеции за 60 секунд

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+Скачать

Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+

Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,

Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равныСкачать

Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равны
Поделиться или сохранить к себе: