Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

В решении задачи будем использовать подобие треугольников и теорему Фалеса.

а) Треугольники AMK и ABC подобны по 2 углам (∠ A — общий, ∠AMK = ∠ABC, как соответственные при параллельных прямых). Тогда Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезкиПо теореме Фалеса получаем Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезкиоткуда

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

(последнее равенство следует из подобия треугольников BDC и LDN по двум углам). Следовательно, Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезкиоткуда MK = NL. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим MK = NL x, KL = 3x. Из треугольников ABC и AMK:

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Из подобных треугольников ACD и KCN (опять же по 2-м углам):

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Обозначим Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезкии выпишем полученную систему двух уравнений:

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Окончательно Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Видео:№569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллеленСкачать

№569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, делится этой точкой пополам.

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезкиДано: ABCD — трапеция, AD||BC,

Доказать: O — середина FK.

1-й способ доказательства

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей AC).

Значит, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Обозначим AD=a, BC=b, тогда

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Рассмотрим треугольники ABC и FBO.

∠BAD=∠BFO (как внутренние накрест лежащие при AD||FK и секущей AB).

Значит, треугольники ABC и FBO подобны (по двум углам).

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Аналогично, треугольники ACD и ОСК подобны и

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Следовательно, FO=OK, то есть точка O — середина отрезка FK.

Что и требовалось доказать.

В ходе доказательства выразили длины FO и OK через длины оснований. Отсюда можно получить формулу для нахождения длины FK.

Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равна частному от деления удвоенного произведения длин оснований на сумму оснований:

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Средним гармоническим нескольких положительных чисел называют число, обратное среднему арифметическому чисел, обратных данным.

Для чисел x1, x2,…, xn среднее гармоническое

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Параллельно основаниям трапеции провели прямую которая пересекает ее диагонали докажите что отрезки

Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований.

2-й способ доказательства

  1. Доказать, что что медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника.
  2. Доказать замечательное свойство трапеции: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

Тогда в треугольнике, две вершины которого — концы большего основания трапеции, а третья — точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции, отрезок, соединяющий точку пересечения продолжения боковых сторон трапеции с серединой большего основания — медиана. А значит, она пополам делит отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям.

Видео:№386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции,Скачать

№386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции,

Please wait.

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Как найти отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям?Скачать

Как найти отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям?

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6c76dcf3c8bb3a83 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

📽️ Видео

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

№797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.Скачать

№797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Середины диагоналей трапеции. (Полуразность оснований)Скачать

Середины диагоналей трапеции. (Полуразность оснований)

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапецииСкачать

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые #математика #огэ #впрСкачать

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые #математика #огэ #впр

Геометрия Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то ее высота равнаСкачать

Геометрия Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то ее высота равна

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Геометрия Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CDСкачать

Геометрия Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Задача повышенной сложности из ОГЭ. Найти длину прямой, параллельной основаниям трапецииСкачать

Задача повышенной сложности из ОГЭ. Найти длину прямой, параллельной основаниям трапеции
Поделиться или сохранить к себе: