Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.
а) Докажите, что MK = NL.
б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.
В решении задачи будем использовать подобие треугольников и теорему Фалеса.
а) Треугольники AMK и ABC подобны по 2 углам (∠ A — общий, ∠AMK = ∠ABC, как соответственные при параллельных прямых). Тогда 
По теореме Фалеса получаем 
откуда
(последнее равенство следует из подобия треугольников BDC и LDN по двум углам). Следовательно, 
откуда MK = NL. Что и требовалось доказать.
б) Обозначим MK = NL x, KL = 3x. Из треугольников ABC и AMK:
Из подобных треугольников ACD и KCN (опять же по 2-м углам):
Обозначим 
и выпишем полученную систему двух уравнений:
Окончательно 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Содержание Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапецииОтрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, делится этой точкой пополам.
Доказать: O — середина FK. 1-й способ доказательства Рассмотрим треугольники AOD и COB. ∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей AC). Значит, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Обозначим AD=a, BC=b, тогда
Рассмотрим треугольники ABC и FBO. ∠BAD=∠BFO (как внутренние накрест лежащие при AD||FK и секущей AB). Значит, треугольники ABC и FBO подобны (по двум углам).
Аналогично, треугольники ACD и ОСК подобны и
Следовательно, FO=OK, то есть точка O — середина отрезка FK. Что и требовалось доказать. В ходе доказательства выразили длины FO и OK через длины оснований. Отсюда можно получить формулу для нахождения длины FK. Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равна частному от деления удвоенного произведения длин оснований на сумму оснований:
Средним гармоническим нескольких положительных чисел называют число, обратное среднему арифметическому чисел, обратных данным. Для чисел x1, x2,…, xn среднее гармоническое
Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований. 2-й способ доказательства
Тогда в треугольнике, две вершины которого — концы большего основания трапеции, а третья — точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции, отрезок, соединяющий точку пересечения продолжения боковых сторон трапеции с серединой большего основания — медиана. А значит, она пополам делит отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям. Please wait.We are checking your browser. mathvox.ruWhy do I have to complete a CAPTCHA?Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property. What can I do to prevent this in the future?If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware. If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices. Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store. Cloudflare Ray ID: 6c76dcf3c8bb3a83 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare |
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,
