Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

    Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

    Единичная числовая окружность на координатной плоскости

    п.1. Понятие тригонометрии

    Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
    Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

    Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

    Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
    1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
    2) использование тригонометрических функций в геометрии.

    п.2. Числовая окружность

    Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
    Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
    Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
    Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
    Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    п.3. Градусная и радианная мера угла

    Углы можно измерять в градусах или в радианах.
    Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
    Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

    В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
    Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
    Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
    Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
    30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
    (frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

    п.4. Свойства точки на числовой окружности

    Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
    При t=0, M(0)=A.
    При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
    AM=t. Точка M — искомая.
    При t Например:
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
    Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
    Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

    Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

    Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
    Отрезок
    $$ -frac lt t lt frac $$ Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Интервал
    $$ -frac leq t leq frac $$ Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Полуинтервал
    $$ -frac leq t ltfrac $$ Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    п.6. Примеры

    Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
    Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

    Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

    Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

    Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
    Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

    (fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
    (pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
    (fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
    (7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

    Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

    $$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Четыре базовых точки, через каждые 90°
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Две базовых точки, через каждые 180°
    $$ frac+frac $$$$ -frac $$
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Три базовых точки, через каждые 120°
    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2
    Пять базовых точек, через каждые 72°

    Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

    Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    В каких четвертях находится промежуток [ -3п ; 3п ] ? Разве это не одна точка?

    2 и 3 если я правильно понял задание. И это действительно одна точка. Но если развернуть на отрезок, и снова свернуть в окружность, то получим всю координатную плоскость

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    Отрезок на окружности от 3п до 3п 2

    Промежуток находится во всех четырех четвертях. Точка «-3п» и точка «3п» — совпадают.

    🔍 Видео

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежуткуСкачать

    Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежутку

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

    Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

    Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

    Как решать тригонометрические неравенства?

    Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6Скачать

    Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6

    N 36 Алгебра 11 класс Колягин ГДЗ Тригонометрические неравенства КосинусСкачать

    N 36 Алгебра 11 класс Колягин ГДЗ Тригонометрические неравенства Косинус

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

    Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔

    Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

    Вычисление значений тригонометрических функций

    ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минут

    ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12Скачать

    ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12
    Поделиться или сохранить к себе: