Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, но не принадлежит прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Говорят, что прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпересекаются в точке М.
Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Это можно записать так: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— знак принадлежности точки прямой, «Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойперпендикулярны (рис. 12), то пишут Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb.
  2. Если Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 90°, то а Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойАВ и b Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb.
  3. Если Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОFА = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2). Из равенства этих треугольников следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойЗ = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4 и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой5 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой6.
  6. Так как Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой5 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой6 следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой6 = 90°. Получаем, что а Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойFF1 и b Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойFF1, а аОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой
2) Заметим, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойAOF = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойl + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180° и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180° следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойF и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3. Кроме того, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAF. Действительно, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4 и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойFAC равны как соответственные углы, a Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойFAC = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180° (рис. 97, а).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3= 180°.

4) Из равенств Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой= Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 = 180° следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAF + Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Так как Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = 90°, то и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = 90°, а, значит, сОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпараллельны, то есть Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, лучи АВ и КМ.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(рис. 161).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, перпендикулярную прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи строят другую перпендикулярную прямую Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, затем — третью прямую Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи т. д. Поскольку прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойперпендикулярны одной прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, то из указанной теоремы следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, параллельной прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойтретьей прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой5,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой8,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой6,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой7,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой5,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой8 — соответственные углы;
  • Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой6,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой5 — внутренние односторонние углы;
  • Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой7,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— данные прямые, АВ — секущая, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 (рис. 166).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи продлим его до пересечения с прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 по условию, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBMK =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойANM =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBKM = 90°. Тогда прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 (рис. 167).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи секущей Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойl +Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180° (рис. 168).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи секущей Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойAOB = Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAO=Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAK = 26°, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAC = 2 •Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойADK +Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1=Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2. Так как Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой||Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Реальная геометрия

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпроходит через точку М и параллельна прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой||Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(рис. 187).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой||Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Доказательство:

Предположим, что прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, параллельные третьей прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой||Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой4. Доказать, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Так как Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, которая параллельна прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, которые параллельны прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, АВ — секущая,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2.

Доказательство:

Предположим, чтоОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, параллельные прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— секущая,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 — соответственные (рис. 196).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать:Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— секущая,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 иОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказать:Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойl +Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 +Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 = 180°. По свойству параллельных прямыхОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойl =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3 как накрест лежащие. Следовательно,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойl +Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, т. е.Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 = 90°. Согласно следствию Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, т. е.Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 = 90°.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойАОВ =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойABD =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойADB =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойпараллельны, то пишут: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(рис. 211).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой3. Значит,Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой1 =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой2.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи АВОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, то расстояние между прямыми Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, А Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, С Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, АВОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, CDОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойCAD =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойравны (см. рис. 285). Прямая Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, проходящая через точку А параллельно прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, которая параллельна прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойбудет перпендикуляром и к прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAD +Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, параллельную прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой|| Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойравноудалены от прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойна расстояние Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, то есть расстояние от точки М до прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойравно Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Но через точку К проходит единственная прямая Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, параллельная Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Значит, точка М принадлежит прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Таким образом, все точки прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойравноудалены от прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Прямая Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой— параллельны.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Отрезок, луч, прямаяСкачать

Отрезок, луч, прямая

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойОтрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Отрезок и его обозначенияСкачать

Отрезок и его обозначения

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(Рис.8).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Докажем, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Тогда Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(Рис.11).

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Тогда из Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойследует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Из Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойи Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямойследует, что Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Формулировка определения параллельных прямых.
  • Изображение параллельных прямых различными методами.
  • Как распознать на чертежах параллельные прямые?
  • Нахождение на рисунке пары накрест лежащих односторонних углов.

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные отрезки – два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Параллельные лучи – два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что на плоскости бывают пересекающиеся и непересекающиеся прямые, вы знаете, как их строить на чертеже. Теперь давайте рассмотрим прямые, которые называются параллельными, и научимся их строить различными способами.

Для начала дадим определение параллельным прямым.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.

Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные прямой c. Ранее мы выяснили, что такие прямые не пересекаются, следовательно, прямые а и b параллельны.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Очень часто рассматриваются не только параллельные прямые, но и параллельные отрезки.

Дадим им определение.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и b.

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Как видно из рисунка, при пересечении прямых а и b секущей c образуются 8 углов. Пронумеруем полученные углы.

Оказывается, некоторые пары образованных углов имеют свои названия.

Так, например, углы 3 и 5, 4 и 6 ‑ называются накрест лежащие углы.

Углы 4 и 5 или 3 и 6 ‑ называются односторонними углами.

А пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 ‑ называются соответственными углами.

Как же можно построить параллельные прямые?

Для построения параллельных прямых существует несколько способов построения с помощью различных чертёжных инструментов. Рассмотрим построение параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки.

Построим прямую b, проходящую через точку M и параллельную данной прямой а.

Приложим чертёжный угольник к прямой а, к нему приложим линейку. Теперь передвинем угольник вдоль линейки так, чтобы точка M оказалась на стороне угольника, остается провести прямую b. Прямые а и b будут параллельны, на основе признаков параллельности двух прямых, которые будут изучены позднее.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Материал для углублённого изучения темы

Другие способы построения параллельных прямых.

Рассмотрим ещё два способа построения параллельных прямых с помощью чертёжных инструментов.

В чертёжной практике очень часто используется способ построения параллельных прямых с помощью рейсшины.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

При выполнении столярных работ, для разметки параллельных прямых используется ещё один инструмент – малка, который представляет собой две планки, скреплённые шарниром.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

При нанесении параллельных рисок можно использовать рейсмус, который представляет собой деревянную заготовку с двумя регулируемыми брусками, на концах который прикреплены для нанесения рисок иглы или гвозди.

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 40º меньше другого. Найдите меньший угол, если известно, что сумма односторонних углов равна 180°.

Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен х + 40. Т. к. сумма односторонних углов по условию равна 180°, составим уравнение.

х = 70° – градусная мера меньшего угла.

№ 2. Через параллельные прямые а и m проведены секущие АК и КР так, как показано на рисунке. КО = ВК = АК, при этом АК = КР = 9 см, отрезок ВО =АР, АР = 6 см. На сколько сантиметров периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР?

Отрезок и прямая называются параллельными если отрезок лежит на прямой

Решение: найдём периметр ∆АКР.

Р∆АКР = АК + КР + АР = 9 + 9 + 6 = 24 см

Найдём периметр ∆КВО. Для этого вычислим длины сторон треугольника КВО, исходя из условия задачи.

КО = ВК =АК = 9 = 6 см.

Р∆КВО = ВК + КО + ВО = 6 + 6 + 4 = 16 см

Вычислим, на сколько периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР.

🎥 Видео

Математика 1 класс (Урок№10 - Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч. Ломаная линия.)Скачать

Математика 1 класс (Урок№10 - Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч. Ломаная линия.)

Точка, прямая и отрезок. 2 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 2 часть. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№1 - Прямая и отрезок.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№1 - Прямая и отрезок.)

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Математика 5 класс (Урок№21 - Прямая, луч, отрезок.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№21 - Прямая, луч, отрезок.)

Геометрия 7. Урок 2 - определения. Луч и отрезок.Скачать

Геометрия 7. Урок 2 - определения. Луч и отрезок.

Точки и прямые. Отрезок и его длина - геометрия 7 классСкачать

Точки и прямые. Отрезок и его длина - геометрия 7 класс

Математика 1 класс Точка, прямая линия, луч, кривая и отрезокСкачать

Математика 1 класс Точка, прямая линия, луч, кривая и отрезок

7 класс, 1 урок, Точки, прямые, отрезкиСкачать

7 класс, 1 урок, Точки, прямые, отрезки

ПРЯМАЯ и ОТРЕЗОК длина 7 класс геометрия урок 1 АтанасянСкачать

ПРЯМАЯ и ОТРЕЗОК длина 7 класс геометрия урок 1 Атанасян

Математика 5 класс. Отрезок. Длина отрезка. Сравнение отрезков. Единицы измеренияСкачать

Математика 5 класс. Отрезок. Длина отрезка.  Сравнение отрезков.  Единицы измерения

ЧТО ТАКОЕ ОТРЕЗОК?Скачать

ЧТО ТАКОЕ ОТРЕЗОК?

Параллельные прямые и отрезкиСкачать

Параллельные прямые и отрезки

Прямая и отрезок Объяснение материалаСкачать

Прямая и отрезок  Объяснение материала

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.
Поделиться или сохранить к себе: