Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезки стягивающие равные дуги окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Отрезки стягивающие равные дуги окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Отрезки стягивающие равные дуги окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Отрезки стягивающие равные дуги окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Отрезки стягивающие равные дуги окружностиТеорема о бабочке

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОтрезки стягивающие равные дуги окружности
КругОтрезки стягивающие равные дуги окружности
РадиусОтрезки стягивающие равные дуги окружности
ХордаОтрезки стягивающие равные дуги окружности
ДиаметрОтрезки стягивающие равные дуги окружности
КасательнаяОтрезки стягивающие равные дуги окружности
СекущаяОтрезки стягивающие равные дуги окружности
Окружность
Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеОтрезки стягивающие равные дуги окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыОтрезки стягивающие равные дуги окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныОтрезки стягивающие равные дуги окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиОтрезки стягивающие равные дуги окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыОтрезки стягивающие равные дуги окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиОтрезки стягивающие равные дуги окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыОтрезки стягивающие равные дуги окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиОтрезки стягивающие равные дуги окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиОтрезки стягивающие равные дуги окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаОтрезки стягивающие равные дуги окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Пересекающиеся хорды
Отрезки стягивающие равные дуги окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Отрезки стягивающие равные дуги окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Отрезки стягивающие равные дуги окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Отрезки стягивающие равные дуги окружности
Пересекающиеся хорды
Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Видео:Равные хорды, равные дугиСкачать

Равные хорды, равные дуги

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Тогда справедливо равенство

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Отрезки стягивающие равные дуги окружностиДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Отрезки стягивающие равные дуги окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Отрезки стягивающие равные дуги окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Отрезки стягивающие равные дуги окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Отрезки стягивающие равные дуги окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.

§ 71. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ХОРДАМИ И ДУГАМИ.

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стя гиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (черт. 314).

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (черт. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности— точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: Отрезки стягивающие равные дуги окружностиАВ = Отрезки стягивающие равные дуги окружностиСК.

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (черт. 315).

Отрезки стягивающие равные дуги окружности

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Доказательство. Передвинем по окружности дугу СК так, чтобы точка К совместилась с точкой А, тогда точка С займёт положение С’ на дуге АВ между точками A и В, дуга СК примет положение дуги АС’, а хорда СК примет положение хорды АС’. Проведём радиусы в точки A, В и С’. Опустим из центра О перпендикуляры ОЕ и ОD на хорды АВ и АС’. В треугольнике ОFE отрезок ОЕ — катет , а отрезок ОF — гипотенуза, поэтому OF > ОЕ, а потому и OD > OE.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора (§ 58) катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (черт. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Отрезки стягивающие равные дуги окружностиАВ Отрезки стягивающие равные дуги окружностиСК.

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, Отрезки стягивающие равные дуги окружностиАВ > Отрезки стягивающие равные дуги окружностиСК.

💥 Видео

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордамиСкачать

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Окружность. Урок №1Скачать

Окружность. Урок №1

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 классСкачать

Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 класс

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: