Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоСерединный перпендикуляр к отрезку
Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоОкружность описанная около треугольника
Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство
Площадь треугольникаВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство
Радиус описанной окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС.

Доказать: около Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Точка О равноудалена от вершин Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАDС, Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС, откуда следует Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАDС + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство(Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАDС + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАDС + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоАВС = 360 0 , тогда Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВСDвнешний угол Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоСFD, следовательно, Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВFD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВFD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD и Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоFDE = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство(Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF), следовательно, Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВСDВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВЕD, тогда Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСDВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство(Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВЕD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВЕD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD = 360 0 , тогда Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСDВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСDВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство180 0 . Но это противоречит условию Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBАD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство

По теореме о сумме углов треугольника в Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВСF: Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоС + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоF = 180 0 , откуда Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоС = 180 0 — ( Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоF). (2)

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВ = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF. (3)

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоF и Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВFD смежные, поэтому Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоF + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВFD = 180 0 , откуда Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоF = 180 0 — Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВFD = 180 0 — Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоС = 180 0 — (Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF + 180 0 — Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD) = 180 0 — Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF — 180 0 + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство(Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАDВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоЕF), следовательно, Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоСВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD.

Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоА = Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВЕD, тогда Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоА + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоСВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательство(Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВЕD + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоВАD). Но это противоречит условию Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоА + Вокруг любого треугольника можно описать только одну окружность доказательствоС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🌟 Видео

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Геометрия. Задачи на доказательство. ОГЭ № 25. Вебинар | МатематикаСкачать

Геометрия. Задачи на доказательство. ОГЭ № 25. Вебинар | Математика

Доказать, что точки лежат на одной окружностиСкачать

Доказать, что точки лежат на одной окружности

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.

110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника
Поделиться или сохранить к себе: