Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Ц илиндр, получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

  • Цилиндр состоит из двух кругов и множества отрезков .
  • Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов.
  • Определения элементов цилиндра :

Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях

Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями его оснований.

Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).

Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники

Образующая цилиндра — это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.

Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра .

Радиус цилиндра – это радиус его основания.

Прямой цилиндр – это цилиндр, образующие которого перпендикулярны основанию.

Равновеликий цилиндр – цилиндр, у которого высота равна диаметру (показать равновеликий цилиндр: кнопкой со значком руки перевести модель обратно в интерактивный режим и изменить значение высоты и радиуса у предложенной модели так, чтобы ).

    Вывод формулы площади боковой поверхности.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C , где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания. Получим формулы для вычисления площадей боковой S б и полной S п поверхностей: S б = H · C = 2π RH , S п = S б + 2 S = 2π R ( R + H ).

Задача № 1. Вычислить площадь боковой и полной поверхности цилиндра, у которого радиус равен 3 см, а высота 5 см (число пи и ответ округлить до целых).

2. Высота цилиндра равна h , радиус основания R . Найти площадь сечения плоскостью, проведенной параллельно оси цилиндра на, расстоянии a от нее.

Домашнее задание: 522, 524, 526.

Р.S/ кому интересно попрбуйте пройти по ссылке и посмотреть электронный ресурс про цилиндр

для начала на странице установите у себя на ПК модуль ОМS и закачайте модуль. На выскочившей таблице кликните воспроизвести. А дальше по порядку просмотрите все странички.
ВСЕМ СПАСИБО.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Цилиндр. Площадь поверхностиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Цилиндр. Площадь поверхности

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Специально для учителей!

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)

Стереометрия. Страница 6

1 2 3 4 5 6 7 8Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"

1. Цилиндр

Цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (Рис.1).

Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими.

Так как основания совмещаются параллельным переносом, то они равны. И так как они лежат в параллельных плоскостях, то образующие цилиндра параллельны и равны.

Если образующие перпендикулярны основанию, то цилиндр называется прямым.

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. А высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№34 - Тела и поверхности вращения.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№34 - Тела и поверхности вращения.)

Сечение цилиндра плоскостями

Если взять сечение цилиндра плоскостью, проходящей по его оси, то получится прямоугольник. (Рис.1) Такое сечение называется осевым. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также представляет собой прямоугольник. Две его стороны — образующие цилиндра, а две другие стороны — параллельные хорды оснований.

Теорема. Плоскость сечения цилиндра, параллельная его плоскости основания, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. (Рис.1.1)

Пусть плоскость α — секущая плоскость, параллельная основанию. Подвергнем плоскость α движению в верх вдоль оси цилиндра. Параллельным переносом совместим плоскость α с плоскостью верхнего основания цилиндра. Таким образом сечение боковой поверхности совпадет с окружностью верхнего основания. Теорема доказана.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис. 1.1 Сечения цилиндра плоскостями.

Видео:№527. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г,Скачать

№527. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г,

2.Конус

Конусом называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости основания этого конуса — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания (Рис.2).

Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, проведенная из вершины конуса в центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Сечение конуса плоскостями

Сечение прямого конуса плоскостью, которая проходит через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса. Сечение, которое проходит через ось конуса, называется осевым.

Теорема. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг с центром на оси конуса.

Доказательство. Пусть α — плоскость, параллельная основанию (Рис 2.1). Плоскость α пересекает конус по кругу. Подвергнем сечение конуса гомотетии относительно вершины конуса. Т.е. совместим плоскость α с плоскостью основания конуса. Сечение конуса полностью совпадет с основанием. Следовательно сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис.2.1 Сечение конуса

Видео:Тела вращения. ЦилиндрСкачать

Тела вращения. Цилиндр

3. Вписанная и описанная призма

Призма, вписанная в цилиндр, называется призма, у которой плоскости основания совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые ребра являются образующими цилиндра.

Призма, описанная около цилиндра, называется призма, у которой плоскости оснований совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (Рис.3).

Если плоскость проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна осевому сечению, то она называется касательной плоскостью к цилиндру.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис. 3 Описанная и вписанная призма.

Видео:11 класс, 14 урок, Понятие цилиндраСкачать

11 класс, 14 урок, Понятие цилиндра

4.Вписанная и описанная пирамида

Пирамида, вписанная в конус, называется пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а многоугольник в основании вписан в окружность основания конуса.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а в многоугольник основания вписано основание окружности конуса.

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса (плоскость α) и перпендикулярная плоскости осевого сечения (плоскость β), проходящей через эту образующую (Рис.4).

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис. 4 Вписанная и описанная пирамида.

Видео:Решение задач на конусСкачать

Решение задач на конус

5. Шар

Шар это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. (Рис.5). Точка, от которой все остальные точки находятся на расстоянии не большем данного, называется центром шара.

Граница шара называется сферой. Совокупность всех точек сферы удалена от центра на расстояние, равное радиусу. Таким образом, любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой сферы, называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Видео:85КБ. Пересечение поверхностей цилиндра и полусферы. Определение видимости.Скачать

85КБ. Пересечение поверхностей цилиндра и полусферы. Определение видимости.

Сечение шара плоскостью

Если секущая плоскость проходит через центр шара, например плоскость α, то она называется диаметральной плоскостью. А сечение называется большим кругом (Рис.5.1).

Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то в сечении получится также круг. Сформулируем следующую теорему.

Теорема. Любое сечение шара представляет собой круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Пусть β — секущая плоскость. Проведем перпендикуляр из центра шара точки O на плоскость β. Обозначим основание перпендикуляра точкой O’.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис. 5.1 Сечение шара плоскостью.

Видео:11 класс, 27 урок, Сечения цилиндрической поверхностиСкачать

11 класс, 27 урок, Сечения цилиндрической поверхности

6. Симметрия шара

Теорема. Центр шара является его центром симметрии, а любая диаметральная плоскость является его плоскостью симметрии.

Доказательство. Пусть α — диаметральна плосксоть шара, а Y его произвольная точка (Рис.6). Построим точку Y’, симметричную точке Y относительно плоскости α. Так как отрезок YY’ перпендикулярен плоскости α и делится этой плоскостью пополам точкой пересечения А, то треугольники OYA и OY’A равны по двум сторонам и углу между ними, т.е. OY=OY’. Отрезки OY и OY’ принадлежат шару, так как OY = OY’ ≤ R.

Отложим отрезок OY» симметрично относительно центра шара точки О. Тогда OY = OY» ≤ R. Т.е. точка Y» также принадлежит шару. Следовательно точка О является точкой симметрии шара, а диаметральная плоскость — плоскостью симметрии.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис. 6 Симметрия шара.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

7. Пример 1

Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

Решение:

Пусть дан цилиндр высотой 3 м и радиусом 2 м (Рис.7). По теореме Пифагора найдем АС:

AС 2 = AD 2 + CD 2 = 4 2 + 3 2 = 25

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис.7 Задача. Радиус основания цилиндра 2 м.

Пример 2

Высота цилиндра 6 м, радиус основания 5 м. Концы отрезка DC’, длина которого 10 м, лежат на окружностях оснований. Найдите расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.

Решение:

Пусть дан цилиндр высотой 6 м с радиусом основания 5 м и отрезком DC’ = 10 м (Рис. 8). Проведем два перпендикуляра C’C и D’D. Так как эти перпендикуляры параллельны, то проведем через них плоскость α. Теперь проведем плоскость β через ось O’O, параллельную плоскости α.

Таким образом, получается, что через две скрещивающиеся прямые OO’ и DC’ проходят две параллельные плоскости α и β. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, в которых эти прямые лежат.

Отсюда следует, что длина перпендикуляра ОЕ и будет расстояние от отрезка DC’ до оси цилиндра OO’.

Найдем хорду DC из прямоугольного треугольника DC’C:

DС’ 2 = DC 2 + CC’ 2

DC 2 = 10 2 — 6 2 = 64, DC = 8 м.

Теперь из прямоугольного треугольника OED найдем ОЕ:

ОЕ 2 = OD 2 — DE 2 = 5 2 — 4 2 = 9

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис.8 Задача. Высота цилиндра 6 м.

Пример 3

Высота конуса 20 м, радиус основания 25 м. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12 м.

Решение:

Пусть дан конус высотой 20 м с радиусом основания 25 м. OF = 12 м (Рис. 9). Найдем синус угла OSF из прямоугольного треугольника OSF.

sin OSF = OF / SO = 12 / 20 = 3/5, следовательно, cos OSF = 4/5

Из прямоугольного треугольника OSC найдем SC:

cos OSC = SO / SC, SC = SO / cos OSC = 20/4/5 = 25 м

По теореме Пифагора найдем ОС:

ОC 2 = SC 2 — SO 2 = 25 2 — 20 2 = 225, OC = 15 м.

Из прямоугольного треугольника АОС найдем АC:

АC 2 = АО 2 — ОС 2 = 25 2 — 15 2 = 400, АC = 20 м.

Таким образм, площадь сечения равна:

SASB = AC * SC = 20 * 25 = 500 м 2 .

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис.9 Задача. Высота конуса 20 м.

Пример 4

Высота конуса 10 м. Радиус основания 6 м. На каком расстоянии от вершины необходимо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания.

Решение:

Пусть дан конус высотой 10 м и радиусом основания 6 м (Рис. 10). Обозначим площадь основания как Sб, а площадь сечения как Sм. Найдем площадь большего основания Sб:

Sб = π R 2 = π 6 2 = 36π м 2

Соответственно площадь малого основания Sм будет равна:

Sм = Sб / 2 = 36π / 2 = 18π м 2

Отсюда, радиус сечения СА равен Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рассмотрим треугольники BOS и CAS. Они подобны. Коэффициент подобия составляет k = CA / BO = Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра/ 6

Отсюда следует, что SA = k SO = 10 Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра/ 6 = 5 Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндрам

Таким образом, для того чтобы площадь сечения составляла половину площади основания, расстояние от вершины конуса до плоскости сечения должно составлять 5 Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндрам.

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис.10 Задача. Высота конуса 10 м.

Пример 5

Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м, образующая 10 м. Найдите площадь осевого сечения.

Решение:

Пусть дан усеченный конус. Образующая АС = 10 м и радиусы оснований СЕ = 4 м, АО = 12 м (Рис. 11). Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Отсюда следует, что площадь сечения можно найти как сумму площадей прямоугольника CFTP и двух равных треугольников АСР и TFB.

Найдем площадь двух треугольников АСР и TFB:

AP = AO — CE = 12 — 4 = 8 м

По теореме Пифагора найдем СР:

СР 2 = AC 2 — AР 2 = 10 2 — 8 2 = 36, CP = 6 м

SACP + STFP = 2 SACP = 2 * АР * СР / 2 = 2 * 8 * 6 / 2 = 48 м 2

Теперь найдем площадь прямоугольника SCFTP:

SCFTP = CF * CP = 2 CE * CP = 2 * 4 * 6 = 48 м 2

Таким образом, площадь сечения усеченного конуса составляет:

SАCFВ = SCFTP + 2 SACP = 48 + 48 = 96 м 2 .

Отрезки соединяющие соответствующие точки окружностей называются образующими цилиндра

Рис.11 Задача. Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м.

📹 Видео

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)

ЕГЭ БАЗА 16 номер Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14Скачать

ЕГЭ БАЗА 16 номер Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14

Выставление и поверка револьверной головки. Регулировка кулачков давления.Скачать

Выставление и поверка револьверной головки. Регулировка кулачков давления.

✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Задача про цилиндр  | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Тема 4. Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковойСкачать

Тема 4. Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой

11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндра

1. 10 кл. Цилиндр и конус. Точки на поверхности.Скачать

1. 10 кл. Цилиндр и конус. Точки на поверхности.

59. Понятие цилиндраСкачать

59. Понятие цилиндра
Поделиться или сохранить к себе: