Отношение высоты правильного треугольника к радиусу описанной окружности

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

• BD – высота, опущенная на сторону AC;
• BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
• BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
• BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Высота равностороннего треугольника — свойства, формулы и примеры нахождения

Формулы, используемые для этого, несложны. Вывод выражений основан на свойствах треугольника, при этом точка пересечения высот считается замечательной и даже имеет своё название — ортоцентр.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Общие сведения

Три отрезка, не принадлежащие одной прямой, каждый из которых соединяется с другими в двух точках, образуют геометрическую фигуру — треугольник. Прямые линии — это стороны, а точки их соприкосновения вершины. Один из отрезков, обычно который проходит параллельно горизонтальной плоскости, называют основанием.

В зависимости от размера внутренних углов замкнутой фигуры, треугольники разделяют на следующие виды:

• остроугольные — все углы тела не превышают 90 градусов;
• тупоугольные — один из разворотов имеет тупую форму;
• прямоугольные — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

По числу равных сторон треугольные фигуры разделяют на разносторонние, равнобедренные, равносторонние. Последние часто называют правильными, так как все стороны у такого объекта равны друг другу. Кроме этого, из особенностей равносторонней фигуры можно отметить, что центры вписанной и описанной окружности совпадают, а каждый из углов равен 60 градусам. Сумма всех углов треугольника равняется 180 градусам.

В любой трёхугольной фигуре можно построить так называемые 3 замечательные линии: медиана, биссектриса и высота.

В правильном треугольнике эти 3 отрезка совпадают, то есть линия, опущенная из вершины к противолежащей стороне, одновременно являясь медианой, биссектрисой и высотой, образует прямой угол с основанием. При этом она делит его пополам. Фактически высота играет роль катета.

Получается, что в середине фигуры можно построить 3 отрезка, которые и будут высотами. Две из них будут опущены на боковые грани, а одна на основание. Точка пересечения перпендикулярных линий называется ортоцентром. Она располагается внутри геометрического тела и совпадает с центром вписанной окружности.

Для трёхугольного тела существует 2 теоремы. Одна из них утверждает, что противолежащие боковые стороны имеют одинаковую длину, а вторая, что если 2 угла невырожденного треугольника равны, то грани, противоположные им, также равны.

Интересно то, что эти правила справедливы как для абсолютной, так и сферической геометрии.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

Свойства равносторонней фигуры

При решении задач, связанных с нахождением высоты в равностороннем треугольнике, часто приходится использовать его свойства. Зная их, найти нужные параметры будет несложно. Тем более что все они связаны с главной особенностью фигуры — равенством его всех сторон.

Равностороннее тело с тремя углами обладает следующими особенностями:

• в нём все углы одинаковые и равны 60 градусов;
• середина пересечения отрезков, совпадающих с высотой, биссектрисой и медианой, является центром геометрического тела;
• радиус описанной окружности превышает радиус вписанной в 2 раза;
• в равностороннем треугольнике длины всех элементов выражаются через длину стороны.

Эти свойства очевидны. Если начертить треугольник с равными сторонами и вписать его в окружность, за центр можно принять точку O, при этом радиус описанного круга будет OK. Тогда линия, проведённая из неё к вершине, будет радиусом. Пусть конечная точка будет B. Но так как место пересечения является общим и для высот и медиан, из свойства последних можно сделать вывод, что в точке линия делится в отношении 2 к 1. Отсчёт следует вести с вершины треугольника. Значит: OB = 2 * OK.

Из основных формул, которые используются при вычислениях, в первую очередь нужно запомнить:

• радиус описанной окружности: R = (a * √3) / 3;‎
• диаметр вписанного круга: r = (a * √3) / 6;
• медиана: h = (a * √3) / 2;
• площадь: s = (a2 * √3) / 4;
• периметр: p = 3 * a.

Если рассмотреть треугольник ABC с проведённой высотой BN, можно утверждать, что грань АВ = ВС = АС = AN /2 = NC /2. Так как фигура ABN является копией BNC в зеркальном отражении, разделённые углы у вершины будут одинаковыми, а и их разворот составлять 30 градусов. Из этого следует, что угол A равен 60 градусам, значит, отрезок BN = AB * sin 60 0 = (AB * √3) / 2.

Зная длину медианы (высоты), вычислить другие параметры треугольника не составит труда. Например, периметр, P = 2 √3 * h; площадь — S = (h * 2) / √3.

При этом замечательным свойством является ещё и то, что ортоцентр одновременно будет в фигуре и центром тяжести (центроидом), поэтому точка пересечения высот и делит отрезок в отношении 2 к 1.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Формула высоты

В равностороннем треугольнике длина стороны равна произведению удвоенной высоты и квадратного корня из трёх. Эту формулу легко доказать, используя теорему Пифагора. Так как высота одновременно является и биссектрисой, она, проведённая на противоположное основание, разделяет треугольник на 2 симметричные фигуры. Исходя из того, что отрезок — это перпендикуляр, полученные геометрические тела будут прямоугольными.

Гипотенуза будет являться гранью основного тела, одним из катетов — проведённая линия, а вторым — половина основания. Последнее утверждение правдиво, так как в равносторонней фигуре все стороны равны. Соответственно, используя теорему Пифагора: c 2 = b 2 + a 2 , для рассматриваемого случая можно записать следующую формулу: a 2 = h 2 + a 2 / 2 2 , где: a — грань. После математических преобразований выражение примет вид: a = (2 * h) / √‎3. Отсюда уже можно вывести формулу для нахождения длины: h = (a * √‎3) / 2.

Аналогичное определение можно получить, используя для доказательства формулу Герона. Отрезок, являющийся высотой, можно найти из выражения: h = (2 * √‎p * (p — a) * (p — b) * (p — a)) / b. В равенстве p является периметром и находится как сумма всех сторон: p = (a + b + a). Так как одна из граней делится пополам, формулу можно привести к виду: p = (a + b + a) / 2 = a + b / 2.

После подстановки полученного выражения в формулу Герона, оно примет вид: h = 2 * √((a + b/2) * (b/2) * (a -b/2) * (b/2)) / b. Используя формулу сокращённого умножения: разность квадратов, равенство можно привести к виду: (a + b / 2) * (a — b / 2) = a 2 — (b / 2) 2 .

Для упрощения выражения под корень можно внести двойку и знаменатель b. Таким образом, формула примет вид: h = √(2 2 * (a 2 — (b/2) 2 * (b/2) 2 ) * b 2 ). Выполнив ряд сокращений, равенство можно будет представить: h = √(a 2 — (b 2 /4)). Из-за того, что стороны в трёхугольной фигуре совпадают, окончательный вариант можно записать: h = (a√3) / 2. Что и следовало доказать.

Высоту можно определить, и зная радиус вписанной окружности. Её можно найти по формуле: r = (a √ 3) / 6. Если выражение переписать как r = (1 / 3) * ((a √3) / 2), возможно увидеть, что второй множитель как раз и есть высота. Соответственно, r = (1/3) * h. Отсюда: h = 3 * r. Это довольно простая формула, которая часто используется при геометрических вычислениях, поэтому её тоже нужно запомнить.

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Решение примеров

Самостоятельное решение задач позволяет закрепить теоретические знания и запомнить формулы. Существуют определённые типы примеров, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный материал. Вот некоторые из них, рассчитанные на учеников восьмых классов средней школы:

1. Определить высоту равносторонней фигуры, если её грань равняется 6 см. Решение задачи нужно строить следующим образом. У такого треугольника все стороны равны. Так как высота является медианой, она делит противоположную сторону вершины, из которой опущена, на 2 равные части. Треугольник можно обозначить ABC, а искомый перпендикуляр BH. Образованное геометрическое тело является прямоугольным. Причём, согласно условию, у него известна гипотенуза и катет. Оставшийся катет, который и является высотой, легко найти по теореме Пифагора: BH 2 + 3 2 = 6 2 . Отсюда: BH 2 = 25. Высота рассматриваемой фигуры будет равна 5 см.
2. Сторона правильного треугольного тела равна √3. Узнать, чему будет равен радиус описанной окружности. Эту задачу можно решить, воспользовавшись свойством высоты в равностороннем треугольнике: точка пересечения медиан делит их в отношении 2 :1. Для наглядности можно нарисовать треугольник c вершинами ABC и высоту AK, а точку пересечения обозначить буквой O. Линия AO будет искомым радиусом окружности и составлять 2/3 от всей высоты AK. Длина отрезка равна: AK = √ (AB2 — AK2). Отсюда: R = (2 * √ (AB2 — AK2)) / 3 = (2 * √ (√ 32 — (3/2)2)) / 3 = 1. Задача решена.

Проверить правильность решения можно, используя онлайн-калькуляторы. Это интернет-сервисы, которые позволяют своим пользователям в автоматическом режиме вычислять различные математические примеры. Свои услуги они предоставляют бесплатно, от пользователя требуется только установленный веб-обозреватель и подключение к сети.

Важно ещё, что калькуляторы не только выдают быстро правильный ответ, но и показывают пошаговое решение. Это очень удобно, когда необходимо определить, на каком этапе была допущена ошибка.

Кроме этого, на своих страницах такого рода сервисы содержат краткий теоретический материал и даже примеры заданий. Так что калькуляторы будут полезны и на стадии обучения.

🔍 Видео

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр ОСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

Задача 6 №27892 ЕГЭ по математике. Урок 126Скачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать