Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

Теорема синусов

Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Доказательство теоремы синусов
  2. Доказательство следствия из теоремы синусов
  3. Теорема о вписанном в окружность угле
  4. Примеры решения задач
  5. Запоминаем
  6. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  7. Типы треугольников
  8. По величине углов
  9. По числу равных сторон
  10. Вершины углы и стороны треугольника
  11. Свойства углов и сторон треугольника
  12. Теорема синусов
  13. Теорема косинусов
  14. Теорема о проекциях
  15. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  16. Медианы треугольника
  17. Свойства медиан треугольника:
  18. Формулы медиан треугольника
  19. Биссектрисы треугольника
  20. Свойства биссектрис треугольника:
  21. Формулы биссектрис треугольника
  22. Высоты треугольника
  23. Свойства высот треугольника
  24. Формулы высот треугольника
  25. Окружность вписанная в треугольник
  26. Свойства окружности вписанной в треугольник
  27. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  28. Окружность описанная вокруг треугольника
  29. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  30. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  31. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  32. Средняя линия треугольника
  33. Свойства средней линии треугольника
  34. Периметр треугольника
  35. Формулы площади треугольника
  36. Формула Герона
  37. Равенство треугольников
  38. Признаки равенства треугольников
  39. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  40. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  41. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  42. Подобие треугольников
  43. Признаки подобия треугольников
  44. Первый признак подобия треугольников
  45. Второй признак подобия треугольников
  46. Третий признак подобия треугольников
  47. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  48. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  49. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  50. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

Формула теоремы синусов:

Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

  • Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    bc sinα = ca sinβ
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Типы треугольников

    По величине углов

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    По числу равных сторон

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Вершины углы и стороны треугольника

    Свойства углов и сторон треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Сумма углов треугольника равна 180°:

    В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

    если α > β , тогда a > b

    если α = β , тогда a = b

    Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

    a + b > c
    b + c > a
    c + a > b

    Теорема синусов

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a=b=c= 2R
    sin αsin βsin γ

    Теорема косинусов

    Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

    b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

    c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

    Теорема о проекциях

    Для остроугольного треугольника:

    a = b cos γ + c cos β

    b = a cos γ + c cos α

    c = a cos β + b cos α

    Формулы для вычисления длин сторон треугольника

    Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

    Медианы треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Свойства медиан треугольника:

    В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

    mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

    mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

    Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

    Биссектрисы треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Свойства биссектрис треугольника:

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны:

    la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

    lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

    lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

    la = 2 bc cos α 2 b + c

    lb = 2 ac cos β 2 a + c

    lc = 2 ab cos γ 2 a + b

    Видео:Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

    Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

    Высоты треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Свойства высот треугольника

    Формулы высот треугольника

    ha = b sin γ = c sin β

    hb = c sin α = a sin γ

    hc = a sin β = b sin α

    Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Окружность вписанная в треугольник

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

    Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    R = S 2 sin α sin β sin γ

    R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

    Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

    Радиус описанной окружности трапеции

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Средняя линия треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

    MN || AC KN || AB KM || BC

    Видео:Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9классСкачать

    Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9класс

    Периметр треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

    Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Формулы площади треугольника

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Формула Герона

    S =a · b · с
    4R

    Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts

    Равенство треугольников

    Признаки равенства треугольников

    Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

    Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

    Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

    Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

    Подобие треугольников

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    ∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

    где k — коэффициент подобия

    Признаки подобия треугольников

    Первый признак подобия треугольников

    Второй признак подобия треугольников

    Третий признак подобия треугольников

    Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

    Добро пожаловать на OnlineMSchool.
    Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

    Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

    Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

    Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формулаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формулаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формулаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    что и требовалось доказать.

    Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

    Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

    Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    что и требовалось доказать.

    Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

    Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

    Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    a, b, c – стороны треугольника,
    S – площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    ФигураРисунокФормулаОбозначения
    Произвольный треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Равнобедренный треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Равносторонний треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Прямоугольный треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Произвольный треугольник
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Равнобедренный треугольник
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Равносторонний треугольник
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Прямоугольный треугольник
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула
    Произвольный треугольник
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула.

    Равнобедренный треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Равносторонний треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Прямоугольный треугольникОтношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула– полупериметр (рис. 6).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    с помощью формулы Герона получаем:

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    что и требовалось.

    Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    то, в случае равнобедренного треугольника, когда

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    что и требовалось.

    Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    то, в случае равностороннего треугольника, когда

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

    Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

    В силу теоремы 3 справедливы равенства

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности треугольника формула

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

    Поделиться или сохранить к себе: