Отношение параллельных прямых равно отношению их проекций

§ 12. Параллельное проектирование и его свойства.

В начале учебника на плоскости изображены некоторые фигуры, расположенные в пространстве. Эти изображения строились с целью придать наглядность тому, о чём шла речь в соответствующей теореме или задаче.

Однако изображения пространственных фигур на плоскости строятся по определённым правилам и в школьном курсе геометрии обычно осуществляются с помощью метода параллельного проектирования, сущность которого состоит в следующем.

В пространстве выбирается произвольная плоскость π Плоскость проекций в начертательной геометрии чаще всего обозначают π . , которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения , и прямая l , пересекающая эту плоскость (рис. 71, а ).

Пусть M ′ — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую p , параллельную l . Точка M пересечения прямой p с плоскостью π называется параллельной проекцией точки M ′ на плоскость π в направлении прямой l . Если M ′ — точка плоскости π , то M совпадает с M ′ .

При этом часто пользуются обозначением: M = П ( M ′ ).

Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми ; они определяют направление проектирования. Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью .

Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом. Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или проекции точек фигуры, её определяющих. На рисунке 71, б треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A ′ B ′ C ′ на плоскость π в направлении прямой l .

Замечание. Наряду с параллельным проектированием рассматривается также центральное проектирование фигур на плоскость. В этом случае проектирующие прямые проходят через одну точку — центр проектирования , произвольно выбранную вне плоскости проекций (рис. 71, в ).

Параллельное и центральное проектирование можно наблюдать в реальном пространстве: тень, которую отбрасывает предмет в солнечный день, является параллельной проекцией этого предмета, так как солнечные лучи можно считать приближённо параллельными вследствие большого удаления Солнца от Земли. А изображение на экране кинотеатра фигуры, заснятой на киноплёнку, является центральной проекцией этой фигуры.

На рисунках 72, 73, 74 изображены в параллельной проекции соответственно квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. По этим рисункам можно сделать предположение, что ни величина угла, ни длина отрезка при параллельном проектировании, вообще говоря, не сохраняются.

Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектирования.

1. Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций (рис. 75).

В дальнейшем мы будем рассматривать проекции прямых, не параллельных проектирующим прямым.

2. Проекция прямой есть прямая. Действительно, все прямые, проектирующие точки данной прямой m ′ (рис. 76), принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекций по некоторой прямой m — параллельной проекции прямой m ′ .

Причём, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой (т. 6) (мы проводим прямые, параллельные прямой l ), то каждая точка прямой m ′ проектируется в единственную точку своей проекции — прямой m , и наоборот, каждая точка прямой m является проекцией единственной точки прямой m ′ .

Из доказательства этого свойства следует: три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой .

Также говорят, что три коллинеарные точки проектируются в три коллинеарные точки .

3. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Действительно, если прямые a ′ и b ′ лежат в одной проектирующей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую, а именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость пересекает плоскость проекций.

Пусть теперь прямые a ′ и b ′ параллельны (рис. 77) и не лежат в одной проектирующей плоскости.

Обозначим через α и β плоскости, образованные прямыми, проектирующими точки прямых соответственно a ′ и b ′ . Прямые a и b , по которым плоскости α и β пересекают плоскость проекции, не могут пересекаться, так как если бы эти прямые имели общую точку M , то и прямые a ′ и b ′ по свойству 2 имели бы общую точку M ′ , что невозможно в силу параллельности прямых a ′ и b ′ . А так как прямые a и b лежат в одной плоскости (плоскости проекций) и не имеют общей точки, то они параллельны, т. е. параллельными проекциями параллельных прямых, не лежащих в одной проектирующей плоскости, являются параллельные прямые.

Заметим, что плоскости α и β , проектирующие параллельные прямые a ′ и b ′ , не лежащие в одной проектирующей плоскости, параллельны (в п. 9.1 показано, что параллельные плоскости существуют; о свойствах параллельных плоскостей речь пойдёт в следующей главе).

4. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.

Если отрезки A ′ B ′ и B ′ C ′ лежат на одной прямой a ′ и проектируются на отрезки соответственно AB и BC прямой a (рис. 78), то по обобщённой теореме Фалеса в плоскости, определяемой прямыми a и a ′ , получаем A ′ B ′ : B ′ C ′ = AB : BC = m : n .

Пусть теперь отрезки A ′ B ′ и C ′ D ′ расположены соответственно на данных параллельных прямых a ′ и b ′ , не лежащих в одной проектирующей плоскости, и A ′ B ′ : C ′ D ′ = m : n ; AB и CD , a и b — соответственно их параллельные проекции на плоскость π (рис. 79).

Так как a ′ ‖ b ′ , то (по свойству 3) a ‖ b . Пусть E — такая точка прямой a , что четырёхугольник BCDE — параллелограмм. Тогда на прямой a ′ существует (единственная!) такая точка E ′ , что E ′ E ‖ DD ′ и A ′ B ′ : B ′ E ′ = AB : BE . А так как BC ‖ ED , то B ′ C ′ ‖ E ′ D ′ (по свойству 3), значит, B ′ C ′ D ′ E ′ — параллелограмм. Поэтому A ′ B ′ : C ′ D ′ = A ′ B ′ : B ′ E ′ = AB : BE = AB : CD , т. е. A ′ B ′ : C ′ D ′ = AB : CD = m : n .

Из этого свойства, очень важного для теории построений изображений пространственных фигур на плоскости, следует не менее важный вывод: если отрезок A ′ C ′ параллельно проектируется на отрезок AC и точка B ′ делит отрезок A ′ C ′ в отношении A ′ B ′ : B ′ C ′ = m : n , то точка B — проекция точки B ′ — делит отрезок AC в том же отношении m : n , т. е. AB : BC = A ′ B ′ : B ′ C ′ = m : n . В частности, середина отрезка A ′ C ′ параллельно проектируется в середину отрезка AC ( m : n = 1 : 1) (рис. 80).

Пусть M — внутренняя точка отрезка AB .

Определение. Число λ , равное отношению длин отрезков AM и MB , на которые точка M делит отрезок AB , называется простым отношением трёх точек A , B и M , лежащих на одной прямой, и обозначается ( AB ; M ), т. е. ( AB ; M ) = λ = AM : MB .

При этом точки A и B называются базисными , а точка M — делящей точкой.

Упорядоченность точек простого отношения необходима. Например, если AA 1 — медиана треугольника ABC , M — его центроид (точка пересечения медиан треугольника), то ( AA 1 ; M ) = AM : MA 1 = 2 : 1, но ( A 1 A ; M ) = A 1 M : MA = 1 : 2 (рис. 81). Поэтому, если AM ≠ MA 1 , то

( AA 1 ; M ) ≠ ( A 1 A ; M ).

Учитывая свойство 4 параллельного проектирования, можно сделать вывод: простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, при параллельном проектировании сохраняется . В этом случае также говорят, что простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, — инвариант параллельного проектирования .

Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном проектировании, называются аффинными свойствами этой фигуры. Например, свойства прямых быть параллельными — аффинное свойство этих прямых; инвариантность простого отношения трёх точек одной прямой — аффинное свойство таких точек.

Подробнее о параллельном проектировании и изображениях фигур на плоскости читайте в конце учебника.

Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекций, называется ортогональным.

Удобно пользоваться обозначением: M = П ( M ′ ).

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющимся ортогональным, длина проекции отрезка может быть меньше, больше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше, чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением: П ( AB ) = | AB |•cos ϕ , где ϕ — величина угла между прямой AB и плоскостью проекций α .

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Наберите в поисковой системе слова «Перпендикулярность прямой и плоскости», «Перпендикуляр и наклонная к плоскости», «Наклонная и её проекция на плоскость», «Теорема о трёх перпендикулярах». На изображениях куба, параллелепипеда найдите рёбра и диагонали, перпендикулярные граням и сечениям этих многогранников. Найдите видеоролики с лекциями опытных педагогов и геометров, в которых выражаются различные взгляды как на теорию, так и на решение задач по этим вопросам.

2. Наберите в поисковой системе слова «угол между наклонной и плоскостью». Поищите задачи ЕГЭ типа С-2, в которых используется нахождение угла между прямой и плоскостью, посмотрите, как они решаются, попробуйте решить их самостоятельно. Если вам удалось найти в Интернете тренинг по решению задач этой темы, то попытайтесь им воспользоваться. Однако решать такие задачи целесообразнее после изучения темы «Расстояния в пространстве». Скоро вы изучите эту тему.

3. Изображения фигур на плоскости и в живописи подчиняются определённым законам. Найдите в Интернете такие имена, как Филиппо Брунеллески (1377—1446), Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528). Вы увидите творчество этих великих художников. Однако существует направление, которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Представителем этого направления живописи является известный голландский художник Мауриц Эшер (1898—1972). Найдите статьи, посвящённые его творчеству, а главное, найдите сами репродукции картин, которые представляют большой интерес и с точки зрения геометрии.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Реферат по математике на тему «Параллельное проектирование»

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

тема: Параллельное проектирование

1 Определение и свойства параллельного проектирования

2 Примеры изображений пространственных фигур на плоскости

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРЕКТИРОВАНИЯ

4 Использование свойств параллельного проектирования в живописи

Исследование и применение свойств параллельного проектирования при изображении фигур на плоскости и при построении сечений многогранников.

Научиться быстро и точно производить различные построения

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.

Пусть p — некоторая плоскость, l — пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A‘. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p .

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A‘ на плоскость p . Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.
Пусть Ф — некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф’, которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф’ получена из фигуры Ф параллельным проектированием .
Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.

Мы не раз встречались с параллельным проектированием в жизни. Например, наша тень в солнечный день на ровном асфальте есть наша параллельная проекция ( солнечные лучи приближенно можно считать параллельными ввиду большой удалённости Солнца от Земли)

Параллельное проектирование позволяет получать наглядные изображения пространственных (трёхмерных) фигур на (двумерной) плоскости (рис. 4). Дело в том, что параллельное проектирование сохраняет ряд важных черт изображаемой фигуры. Перечислим основные свойства параллельного проектирования в предложении, что направление проектирования не параллельно рассматриваемым прямым и отрезкам (в противном случае их проекциями являются точки.

Задача в следующем: есть пространственная фигура, нужно изобразить ее на плоскости (на листе бумаги). Самым простым способом (но не единственным) является параллельное проектирование.

Его идея состоит в том, чтобы все точки фигуры переносить параллельно в одну сторону до тех пор, пока они не попадут на плоскость изображения (см. рис. 26). Пример параллельного проектирования – тень на стене от предмета, освещенного солнечными лучами (см. рис. 27).

Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекций, называется ортогональным .

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами .

1 Рассмотрим свойства параллельного проектирования .

1. Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций

2. Проекция прямой есть прямая. Действительно, все прямые, проектирующие точки данной прямой m ′ (рис. 76)

3. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую (рис. 77)

4. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков. рис. 78

Простейшим многоугольником является треугольник . Параллельной проекцией треугольника, как следует из свойств параллельного проектирования, является треугольник или отрезок. При этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проектирования, то, как мы выяснили, его проекцией будет треугольник, равный исходному. Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Рассмотрим теперь параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF с центром в точке O (рис. 7). Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB. Его проекцией может быть треугольник A’O’B’ на плоскости p (рис. 8), имеющий произвольную форму. Шестиугольник A’B’C’D’E’F’ и будет искомой проекцией правильного шестиугольника ABCDEF .

Выясним, какая фигура является параллельной проекцией окружности . Пусть F — окружность в пространстве, F’— ее проекция на плоскость p в направлении прямой l. Если прямая l параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный диаметру окружности.

Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого-нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом. Например, на рисунке 10 изображен эллипс, полученный из окружности сжатием в направлении диаметра CD в два раза.
2 Приведем примеры изображений пространственных фигур на плоскости .

При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или невыпуклого четырёхугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определённом выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида.

Например, фигуры, изображённые на экране, являются изображениями треугольной пирамиды при соответствующем выборе направления проектирования.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами (рис. 11)

При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами

Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед.

Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы.

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить её с вершинами многоугольника. Полученные отрезки будут изображать боковые рёбра пирамиды.

Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований.

Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через неё две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРЕКТИРОВАНИЯ .

Точки и находятся по одну сторону от плоскости . Точки и — их параллельные проекции на эту плоскость, причём . Постройте точку пересечения прямой с плоскостью . И найдите расстояние между серединой отрезка и её проекцией на плоскость , если и см.

. На диагонали параллелепипеда взята точка , а на прямой – точка так, что отрезки и параллельны. Найти их отношение.

. Дан треугольник АВС площадью S. Точки M и N – середины его сторон АС и АВ соответственно. Точки Р и Q делят сторону ВС на три равных отрезка так, что BP = PQ = QС. Найти площадь общей части четырёхугольника ANPQ и треугольника ВМС.

Площади треугольников с общим углом относятся друг к другу как произведения сторон, содержащих общий угол. 3) Пусть сторона треугольника А1В1С1 равна 6х, тогда N1B1=3x, а В1P1=2x В1E1- биссектриса треугольника N1B1P1. Как площади треугольников, одна из сторон которых лежит на одной прямой и имеющие общую высоту, проведенную к этой прямой. Откуда 4) Площади треугольников с общим углом относятся друг к другу как произведения сторон, содержащих общий угол. Т. Е

Найти площадь общей части четырёхугольника ANPQ и треугольника ВМС. Дано: ВP:PQ:QC=1:1:1, М-середина AC, N-середина AВ, Площадь = S, Найти площадь ЕPQ

Ответ: S EPQK = S/5.

Задача №4. (проектирование на прямую) На сторонах треугольника АВ и АС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно, а отрезки ВN и СМ пересекаются в точке К. Найти ВК: NK, если АN : NC = 2 : 3 и СK : KM = 5:2.

Ответ: ВК : КN = 5 : 2

4 Использование свойств параллельного проектирования в живописи

В живописи существует целое направление , которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М.Эшер (1898 – 1972) в гравюрах «Бельведер» (рис. 18), «Водопад» (рис. 19), «Поднимаясь и опускаясь» (рис. 20) изобразил невозможные объекты.

1 При параллельном проектировании отрезки параллельных прямых изображаются отрезками параллельных прямых или отрезками одной прямой,

2 В задачах на построение сечений не принято проводить исследования, хотя было бы очень полезно его провести

3 Проведя исследование построения сечения методом следов, я установил, что метод следов легко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечений многогранников,

4 Изучив параллельное проецирование, научились легко и быстро производить различные построения на плоскости. Эти навыки и умения помогли мне при изучении предметов школьного курса, таких как геометрия и черчение,

6 Литература
1. Бескин Н.М. Изображение пространственных фигур //Квант.2007. — № 12.
2. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций. – Минск: Народная асвета, 2005.
3. Костицын В.Н. Моделирование на уроках геометрии. – М.: Владос, 2003г.
4. Польский И.Г. Проекционный чертеж и построения на нем. – М.: Учпедгиз2007.
5. Четверухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз,2005г.
6. Четверухин Н.Ф. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. – М.: Учпедгиз,2008г

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Свойства параллельного проектирования

Свойство 1. Проекция прямой есть прямая, проекция отрезка — отрезок.

Свойство 2. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой.

Свойство 3. Длины проекций параллельных отрезков или отрезков лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам этих отрезков

Доказательство свойства №3. Пусть АВ и СD — отрезки не параллельные направлению проектирования l ; А`, B`, C`, D` — проекции точек А, В, С, D соответственно на плоскость а в направлении l . Если А` B` и C` D` — один и тот же отрезок, то АВ = СD и доказываемое утверждение очевидно. Пусть А` B` и C`D`различны. Рассмотрим сначала случай, когда проектируемые отрезки лежат на одной прямой (рис. 10). Тогда их проекции лежат на линии пересечения плоскости а и плоскости, проходящей через прямую АВ параллельно направлению проектирования l. Применяя известную теорему о пропорциональных отрезках, получим, что АВ :CD = A` B` : C` D`.

Теперь рассмотрим случай, когда отрезки АВ и СD параллельны, а их проекции различны (рис. 11). Возьмём на продолжении отрезка СD за точку С точку Е такую, что СЕ = АВ. Так как (СЕ) ll (AB), но четырёхугольник АВЕС — параллелограмм в плоскости, проходящей через прямые АВ и СD ( по признаку параллелограмма), следовательно, (АС) ll (BE). Пусть Е` — проекция точки Е на плоскость а в направлении l. По свойству №2 (A` C`) ll (B` E`) и (A` B`) ll (C` E`) ( так как (АС) ll (BE) и (АВ) ll (CE)), но (A`B`) ll (C`D`), значит, Е` принадлежит (C`D`) и, так как A`B`E`C` — параллелограмм, А`B` = C`E`. Итак равенство АВ : СD = A`B` : C`D` равносильно равенству СЕ : ЕD = A`B` : C`D`, тем самым мы свели рассматриваемый случай к разработанному выше.

Свойство 4. При параллельном проектировании сохраняется отношения площадей двух любых фигур, если направление проектирования не параллельно плоскостям фигур.

Свойство 5. Любой треугольник можно рассматривать как параллельную проекцию данного треугольника с точностью до подобия.

Доказательство свойства 5: Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости р Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости р. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость р в направлении прямой l.

📹 Видео

Проекция точки на плоскость, проекция прямой на плоскость. Параллельные прямые.Скачать

Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

Лекция 3. Прямая линияСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Лекция 2. Проецирование прямого угла.Скачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Математика это не ИсламСкачать

3. Прямая. Проекции прямой линииСкачать

Свойства проекцийСкачать

Геометрия. 7 класс. Параллельные прямые, их признаки и свойства /12.01.2021/Скачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Геометрия. 7 класс. Параллельные прямые, их признаки и свойства /14.01.2021/Скачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельное проектирование и его свойстваСкачать