Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Окружность

Основные определения

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R , который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE , который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC , проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α , называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β , называется угол, образованный двумя радиусами.

Хорды

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны:

Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то

Касательные и секущие

Прямая ( a ), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку ( B ), называется касательной к этой окружности.

Прямая ( a ), которая перпендикулярна диаметру окружности ( АВ ) и проходит через его конец ( В ), является касательной к этой окружности.

Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания.

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны:

Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:

Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей.

Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности:

Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами:

Касание двух окружностей

Для двух окружностей с центрами О ₁ и О ₂, и радиусами R и r :

• при внешнем касании: О ₁ О ₂ = R + r ;
• при внутреннем касании: О ₁ О ₂ = R – r .

Углы в окружности

Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’.

Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов.

Если радианная мера угла равна α , то угол содержит (180· α )/ π градусов.

Если градусная мера угла составляет п ° , то круговая – πп /180 радиан.

Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла:

Угловая величина дуги обладает следующими свойствами:

• Угловая величина дуги неотрицательна.
• Равные дуги имеют равные угловые величины.
• Если две дуги одной окружности (или равных окружностей) имеют равные угловые величины, то они равны.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ АВС = ½ ·∪ АС = ½ ·∠ АОС .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым:

∠ ACВ = ½ ·∪ АВ = ½ ·180°=90°.

Длина окружности и дуги

Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π .

Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности:

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Дана окружность и две ее хорды, отношения которых к диаметру окружности соответственно равны a и b . Найти отношение длин меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Решение

Отношение длин дуг равно отношению их угловых величин. Поэтому достаточно определить угловые величины меньших дуг, стягиваемых хордами.

Пусть R – радиус окружности, AB – первая из рассматриваемых хорд и OC – высота равнобедренного треугольника с вершиной в центре окружности O . По условию . Ясно, что , т.е. Р AOB = 2 arcsin a и поэтому Р AOС = 2 arcsin a .

Аналогично найдем угловую величину меньшей дуги, стягиваемой второй хордой. Она будет равна 2 arcsin b . Откуда окончательно находим .

@ Большую роль в решении задач по теме “Окружность” играют вписанные углы.

Известно, что вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Так как на рисунке угол ADB является вписанным, поэтому . Ясно, что вписанный угол, опирающийся на диаметр (на дугу в 180° ), является обязательно прямым, а любые два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу, будут равными.

Пример 6.7.3. (КубГУ, матем., 1986 г.)

В окружности проведены хорды AB и AC , причем AB = 2 см, AC = 1 см, Р CAB = 120 ° . Найти длину той хорды окружности, которая делит Р CAB пополам. Решение

Пусть AD – хорда, делящая угол CAB пополам и x – ее длина. Дуги CMD и BND (см. рисунок) равны по 120 ° , т.к. опирающиеся на них вписанные углы CAD и BAD равны по 60 ° . Поэтому хорды CD и BD , стягивающие равные дуги, тоже равны. Положим CD = BD = y . По теореме косинусов для треугольников ACD и ABD имеем и , т.е. и . Вычитая из первого равенства второе, находим 0 = — 3 + x и x = 3 .

Ответ: 3 см.

@ Во многих задачах, связанных с окружностью, необходимо уметь находить угол между хордой и касательной. Известно, что угол между хордой и касательной к окружности, проведенной в один из концов хорды, равен половине угловой величины дуги, заключенной между сторонами этого угла. В частности, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на указанную дугу.

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне CB , причем AB = 12 , AC = 15 и AD = 10 . Найти сторону BC , если известно, что окружность, описанная около треугольника ADC , касается прямой AB . Решение

Ясно, что A – точка касания окружности и прямой AB . Имеем . И так как Р B – общий в треугольниках BAD и BCA , то эти треугольники по третьему признаку подобны, а значит из пропорции , учитывая AB = 12 , AC = 15 и AD = 10 , находим .

Ответ: 18 см.

@ Очень полезным в рассматриваемой теме является умение определять углы между хордами и между секущими к окружности.

На первом рисунке угол g между хордами AC и BD является внешним для треугольника DMC, а значит, равен сумме не смежных с ним углов MDC и MCD.

Так как и , то окончательно получаем .

На втором рисунке угол g между секущими AB и AC равен разности внешнего угла BMC треугольника AMB и угла ABM, и поэтому , т.е. .

Пусть AB и CD – непересекающиеся хорды данной окружности, причем AB является стороной квадрата, а CD – стороной правильного шестиугольника, вписанных в окружность.
Найти острый угол между прямыми AC и BD . Решение

Меньшие дуги, стягиваемые хордами AB и CD , соответственно равны 90° и 60° .
Выделим четыре возможных случая расположения точек A, B, C , D на окружности: 1) В этом случае Р AMB равен полусумме угловых величин меньших дуг AB и CD (угол между хордами), т.е. .

2) В этом случае Р AMB равен полуразности угловых величин меньших дуг AB и CD (угол между секущими), т.е. .

3) В этом случае Р AMB равен полусумме угловых величин меньшей дуги CD и большей дуги AB , т.е. , а значит острый угол между хордами AC и BD равен 180° — 165° = 15° .

4) В этом случае Р AMB равен полуразности угловых величин большей дуги AB и меньшей дуги CD , т.е. , а значит острый угол между прямыми AC и BD равен 180° — 105° = 75° .
Заметим, что, не ограничивая общности рассуждений, мы рассмотрели все случаи.

Ответ: 15° или 75° .

@ При решении задач на окружность удобно использовать равенство AM Ч MB = CM Ч MD, которое выполняется для любых хорд AB и CD с точкой их пересечения M. Это равенство непосредственно следует из подобия треугольников AMC и DMB. Причем, если точка M отстоит от центра окружности радиуса R на расстоянии, равном d , то имеет место соотношение . Другое, но также часто используемое соотношение в конкурсных задачах, , где AB – отрезок касательной к окружности, BC – секущая к окружности, пересекающая окружность в точке D. Попробуйте доказать самостоятельно это соотношение, а также соотношение для всякой точки М, расположенной вне окружности радиуса R и отстоящей от центра этой окружности на расстоянии, равном d , проведя рассуждения, подобные рассуждениям при решении примера 6.6.4.

Хорды AB и CD данной окружности имеют длины соответственно 4 и 1. Прямые AB и CD пересекаются в точке М так, что AM= 2 . Найти max(CM, DM) . Решение

Сначала предположим, что прямые AB и CD пересекаются внутри окружности (рис. 1). Полагая CM = x и учитывая BM = AB — AM = 2 , имеем равенство AM Ч MB = CM Ч MD , т.е. 2 Ч 1 = x(2 — x) или . Но дискриминант этого уравнения равен — 4 , а значит, эта ситуация невозможна. Поэтому прямые AB и CD могут пересекаться только во внешней точке окружности (рис. 2). Так как max(CM, DM) равен длине всего отрезка секущей независимо от обозначения концов меньшей хорды буквами C и D , то для определенности можем положить, что точка С лежит между точками М и D . Тогда max(CM, DM) = MD . Из точки М проведем касательную к окружности, которая касается окружности в точке К . 🎦 Видео Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать Длина окружности. 9 класс.Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности