Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Видео:Окружность..Отношения между хордами 2.Скачать

Окружность..Отношения между хордами 2.

math4school.ru

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Окружность

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Основные определения

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R , который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE , который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC , проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α , называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β , называется угол, образованный двумя радиусами.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Хорды

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны:

Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Касательные и секущие

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Прямая ( a ), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку ( B ), называется касательной к этой окружности.

Прямая ( a ), которая перпендикулярна диаметру окружности ( АВ ) и проходит через его конец ( В ), является касательной к этой окружности.

Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны:

Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей.

Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами:

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Касание двух окружностей

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Для двух окружностей с центрами О 1 и О 2, и радиусами R и r :

  • при внешнем касании: О 1 О 2 = R + r ;
  • при внутреннем касании: О 1 О 2 = Rr .

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Углы в окружности

Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’.

Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов.

Если радианная мера угла равна α , то угол содержит (180· α )/ π градусов.

Если градусная мера угла составляет п ° , то круговая – πп /180 радиан.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла:

Угловая величина дуги обладает следующими свойствами:

  • Угловая величина дуги неотрицательна.
  • Равные дуги имеют равные угловые величины.
  • Если две дуги одной окружности (или равных окружностей) имеют равные угловые величины, то они равны.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ АВС = ½ ·∪ АС = ½ ·∠ АОС .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым:

∠ ACВ = ½ ·∪ АВ = ½ ·180°=90°.

Видео:Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Длина окружности и дуги

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π .

Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности:

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отношение длин дуг окружности равно отношению хордОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Отношение длин дуг окружности равно отношению хордСвойства хорд и дуг окружности
Отношение длин дуг окружности равно отношению хордТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Отношение длин дуг окружности равно отношению хордДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Отношение длин дуг окружности равно отношению хордТеорема о бабочке

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
КругОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
РадиусОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
ХордаОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
ДиаметрОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
КасательнаяОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
СекущаяОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Окружность
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хордСкачать

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хорд

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеОтношение длин дуг окружности равно отношению хордДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыОтношение длин дуг окружности равно отношению хордЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныОтношение длин дуг окружности равно отношению хордБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиОтношение длин дуг окружности равно отношению хордУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыОтношение длин дуг окружности равно отношению хордДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаОтношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Пересекающиеся хорды
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд
Пересекающиеся хорды
Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Тогда справедливо равенство

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Отношение длин дуг окружности равно отношению хорд

Дана окружность и две ее хорды, отношения которых к диаметру окружности соответственно равны a и b . Найти отношение длин меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Решение

Отношение длин дуг равно отношению их угловых величин. Поэтому достаточно определить угловые величины меньших дуг, стягиваемых хордами.

Пусть R – радиус окружности, AB – первая из рассматриваемых хорд и OC – высота равнобедренного треугольника с вершиной в центре окружности O . По условию . Ясно, что , т.е. Р AOB = 2 arcsin a и поэтому Р AOС = 2 arcsin a .
Аналогично найдем угловую величину меньшей дуги, стягиваемой второй хордой. Она будет равна 2 arcsin b . Откуда окончательно находим .

@ Большую роль в решении задач по теме “Окружность” играют вписанные углы.

Известно, что вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Так как на рисунке угол ADB является вписанным, поэтому . Ясно, что вписанный угол, опирающийся на диаметр (на дугу в 180° ), является обязательно прямым, а любые два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу, будут равными.
Пример 6.7.3. (КубГУ, матем., 1986 г.)

В окружности проведены хорды AB и AC , причем AB = 2 см, AC = 1 см, Р CAB = 120 ° . Найти длину той хорды окружности, которая делит Р CAB пополам. Решение

Пусть AD – хорда, делящая угол CAB пополам и x – ее длина. Дуги CMD и BND (см. рисунок) равны по 120 ° , т.к. опирающиеся на них вписанные углы CAD и BAD равны по 60 ° . Поэтому хорды CD и BD , стягивающие равные дуги, тоже равны. Положим CD = BD = y . По теореме косинусов для треугольников ACD и ABD имеем и , т.е. и . Вычитая из первого равенства второе, находим 0 = — 3 + x и x = 3 .
Ответ: 3 см.

@ Во многих задачах, связанных с окружностью, необходимо уметь находить угол между хордой и касательной. Известно, что угол между хордой и касательной к окружности, проведенной в один из концов хорды, равен половине угловой величины дуги, заключенной между сторонами этого угла. В частности, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на указанную дугу.

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне CB , причем AB = 12 , AC = 15 и AD = 10 . Найти сторону BC , если известно, что окружность, описанная около треугольника ADC , касается прямой AB . Решение

Ясно, что A – точка касания окружности и прямой AB . Имеем . И так как Р B – общий в треугольниках BAD и BCA , то эти треугольники по третьему признаку подобны, а значит из пропорции , учитывая AB = 12 , AC = 15 и AD = 10 , находим .
Ответ: 18 см.

@ Очень полезным в рассматриваемой теме является умение определять углы между хордами и между секущими к окружности.

На первом рисунке угол g между хордами AC и BD является внешним для треугольника DMC, а значит, равен сумме не смежных с ним углов MDC и MCD.

Так как и , то окончательно получаем .

На втором рисунке угол g между секущими AB и AC равен разности внешнего угла BMC треугольника AMB и угла ABM, и поэтому , т.е. .

Пусть AB и CD – непересекающиеся хорды данной окружности, причем AB является стороной квадрата, а CD – стороной правильного шестиугольника, вписанных в окружность.
Найти острый угол между прямыми AC и BD . Решение

Меньшие дуги, стягиваемые хордами AB и CD , соответственно равны 90° и 60° .
Выделим четыре возможных случая расположения точек A, B, C , D на окружности: 1) В этом случае Р AMB равен полусумме угловых величин меньших дуг AB и CD (угол между хордами), т.е. .

2) В этом случае Р AMB равен полуразности угловых величин меньших дуг AB и CD (угол между секущими), т.е. .

3) В этом случае Р AMB равен полусумме угловых величин меньшей дуги CD и большей дуги AB , т.е. , а значит острый угол между хордами AC и BD равен 180° — 165° = 15° .

4) В этом случае Р AMB равен полуразности угловых величин большей дуги AB и меньшей дуги CD , т.е. , а значит острый угол между прямыми AC и BD равен 180° — 105° = 75° .
Заметим, что, не ограничивая общности рассуждений, мы рассмотрели все случаи.

Ответ: 15° или 75° .

@ При решении задач на окружность удобно использовать равенство AM Ч MB = CM Ч MD, которое выполняется для любых хорд AB и CD с точкой их пересечения M. Это равенство непосредственно следует из подобия треугольников AMC и DMB. Причем, если точка M отстоит от центра окружности радиуса R на расстоянии, равном d , то имеет место соотношение .

Другое, но также часто используемое соотношение в конкурсных задачах, , где AB – отрезок касательной к окружности, BC – секущая к окружности, пересекающая окружность в точке D. Попробуйте доказать самостоятельно это соотношение, а также соотношение для всякой точки М, расположенной вне окружности радиуса R и отстоящей от центра этой окружности на расстоянии, равном d , проведя рассуждения, подобные рассуждениям при решении примера 6.6.4.

Хорды AB и CD данной окружности имеют длины соответственно 4 и 1. Прямые AB и CD пересекаются в точке М так, что AM= 2 . Найти max(CM, DM) . Решение


Сначала предположим, что прямые AB и CD пересекаются внутри окружности (рис. 1). Полагая CM = x и учитывая BM = AB — AM = 2 , имеем равенство AM Ч MB = CM Ч MD , т.е. 2 Ч 1 = x(2 — x) или . Но дискриминант этого уравнения равен — 4 , а значит, эта ситуация невозможна. Поэтому прямые AB и CD могут пересекаться только во внешней точке окружности (рис. 2).

Так как max(CM, DM) равен длине всего отрезка секущей независимо от обозначения концов меньшей хорды буквами C и D , то для определенности можем положить, что точка С лежит между точками М и D . Тогда max(CM, DM) = MD . Из точки М проведем касательную к окружности, которая касается окружности в точке К .

📹 Видео

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: