Остроугольный треугольник описанная окружность

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Остроугольный треугольник описанная окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
Остроугольный треугольник описанная окружностьОкружность описанная около треугольника
Остроугольный треугольник описанная окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Остроугольный треугольник описанная окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Остроугольный треугольник описанная окружность

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Остроугольный треугольник описанная окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Остроугольный треугольник описанная окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Остроугольный треугольник описанная окружность

Остроугольный треугольник описанная окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Остроугольный треугольник описанная окружность

Остроугольный треугольник описанная окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Остроугольный треугольник описанная окружность

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Остроугольный треугольник описанная окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Остроугольный треугольник описанная окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Остроугольный треугольник описанная окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОстроугольный треугольник описанная окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник описанная окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник описанная окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОстроугольный треугольник описанная окружность
Площадь треугольникаОстроугольный треугольник описанная окружность
Радиус описанной окружностиОстроугольный треугольник описанная окружность
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Остроугольный треугольник описанная окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаОстроугольный треугольник описанная окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник описанная окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник описанная окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник описанная окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовОстроугольный треугольник описанная окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Остроугольный треугольник описанная окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаОстроугольный треугольник описанная окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиОстроугольный треугольник описанная окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

Остроугольный треугольник описанная окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Остроугольный треугольник описанная окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Остроугольный треугольник описанная окружность

Остроугольный треугольник описанная окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Остроугольный треугольник описанная окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Остроугольный треугольник описанная окружность

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Остроугольный треугольник описанная окружность

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Остроугольный треугольник описанная окружность

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Остроугольный треугольник описанная окружность

ТЕМА УРОКА: Окружность, описанная около треугольника.

Видео:ОГЭ. Физика. Определение плотности твердого телаСкачать

ОГЭ. Физика. Определение плотности твердого тела

Содержание

Цели урока:

  • Углубить знания по теме «Описанная окружности в треугольниках»

Задачи урока:

  • Систематизировать знания по этой теме
  • Подготовиться к решению задач повышенной сложности.

План урока:

  1. Введение.
  2. Теоретическая часть.
  3. Для треугольника.
  4. Практическая часть.

Введение.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Теоретическая часть.

Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Для треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Остроугольный треугольник описанная окружностьОстроугольный треугольник описанная окружностьОстроугольный треугольник описанная окружность
ОстроугольныйТупоугольныйПрямоугольный

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:

Остроугольный треугольник описанная окружность

Остроугольный треугольник описанная окружность

Где:
a,b,c — стороны треугольника,
α — угол, лежащий против стороны a,
S — площадь треугольника.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Файл:T.gif Теорема. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OС как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника.

Рассмотрим подробнее этот случай.
Дано:

ΔABC, окр (О, ОА) — описана около ΔABC

т.О — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔABC

  1. ΔAОC — равнобедренный, т.к. ОА=ОС (как радиусы)
  2. ΔAОC — равнобедренный, перпендикуляр OD — медиана и высота, т.е. т.О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС
  3. Аналогично доказывается, что т.О лежит на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и ВС

Что и требовалось доказать.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Файл:T.gif Теорема. Теорема об окружности, описанной около треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность.

АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31).

Остроугольный треугольник описанная окружность

О — центр окружности, вписанной в АВС.

Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=OB=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Практическая часть.

Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O.

Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
Остроугольный треугольник описанная окружность

∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ∠ ACB = 75˚,
площадь ∆ BOC равна 16
Найти:

Радиус описанной окружности

Проведем медианы AF, CE, BH
∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный
ﮮ HBC = 90˚ — ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ — 75˚ = 15˚
BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚
ﮮ COB = 180˚ — (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ — (15˚ + 15˚) = 150˚

S = 1/2 ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника),

SBOC = 1/2 ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = 1/2 ∙ R ∙ R ∙ 1/2 = 1/4 ∙ R 2 ;

R 2 = 16 : 1/4 = 64;

Треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6.

Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Решение:
ﮮ MOP = 2 ﮮMBP
ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный
MP 2 = OM 2 + OP 2
MP 2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2
MP = Остроугольный треугольник описанная окружность
MK = KP = 0,5 ∙ MP
MK = KP = 0,5 ∙ Остроугольный треугольник описанная окружность= Остроугольный треугольник описанная окружность
MK ∙ KP = BK ∙ KC
Остроугольный треугольник описанная окружностьОстроугольный треугольник описанная окружность = BK ∙ 3
BK ∙ 3 = 9 ∙ 2
BK ∙ 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6

Остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

Остроугольный треугольник описанная окружность

Остроугольный треугольник описанная окружность

Интересный факт:

Софизм – это последовательность высказывания, рассуждений, построений, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неверный вывод. Задача обычно заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

Найдите ошибку в «доказательстве» того «странного» факта, что окружность имеет два центра.

Пусть даны две непараллельные прямые a и b. Из точек А и В этих прямых поставим перпендикуляры до пересечения в точке С. Через три точки А, В и С проведем окружность, пересекающую прямую а в точке М, а прямую b в точке N. По построению ∠MAC = ∠NBC = 900, значит, эти углы опираются на диаметры МС и NC построенной окружности. Середины этих диаметров – точки О1 и О2 – центры одной и той же окружности.

Ошибка в следующем:

∠MAC = ∠NBC = 900 (по построению). Эти углы являются вписанными и опирающимися на одну и туже дугу (в нашем случае, на полуокружность), поэтому точки О1 и О2 совпадают и лежат на отрезке DC (DC – биссектриса угла ADB).

  1. Сформулируйте определение окружности и круга?
  2. Что такое Софизмы?
  3. Какая разница между диаметром и радиусом?
  4. Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?

Список использованных источников:

  1. Урок на тему «Наглядная геометрия» Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
  2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
  3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
  4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

🔍 Видео

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУ

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Тема 8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружностиСкачать

Тема 8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

88 Центр описанной окружности треугольникаСкачать

88 Центр описанной окружности треугольника
Поделиться или сохранить к себе: