Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Треугольник вписанный в окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Содержание
  1. Определение
  2. Формулы
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник
  4. Радиус описанной окружности около треугольника
  5. Площадь треугольника
  6. Периметр треугольника
  7. Сторона треугольника
  8. Средняя линия треугольника
  9. Высота треугольника
  10. Свойства
  11. Доказательство
  12. Вписать окружность в остроугольный равносторонний треугольник
  13. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  14. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  15. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  16. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  17. Треугольник вписанный в окружность
  18. Определение
  19. Формулы
  20. Радиус вписанной окружности в треугольник
  21. Радиус описанной окружности около треугольника
  22. Площадь треугольника
  23. Периметр треугольника
  24. Сторона треугольника
  25. Средняя линия треугольника
  26. Высота треугольника
  27. Свойства
  28. Доказательство
  29. Окружность, вписанная в треугольник
  30. «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
  31. Описание презентации по отдельным слайдам:
  32. Краткое описание документа:
  33. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  34. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  35. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  36. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  37. Дистанционные курсы для педагогов
  38. Другие материалы
  39. Вам будут интересны эти курсы:
  40. Оставьте свой комментарий
  41. Автор материала
  42. Дистанционные курсы для педагогов
  43. Подарочные сертификаты
  44. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  45. 🔍 Видео

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Вписать окружность в остроугольный равносторонний треугольник

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружностьСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружностьФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружностьВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Равнобедренный треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Равносторонний треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Прямоугольный треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Произвольный треугольник
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Равнобедренный треугольник
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Равносторонний треугольник
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Прямоугольный треугольник
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность
Произвольный треугольник
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность.

Равнобедренный треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Равносторонний треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникОстроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Видео:Всякий равносторонний треугольник является остроугольным. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Всякий равносторонний треугольник является остроугольным. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность– полупериметр (рис. 6).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

с помощью формулы Герона получаем:

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Тема 8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружностиСкачать

Тема 8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Треугольник вписанный в окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Равносторонний треугольник вписан в окружность. Найти площадь меньшего сегмента.Скачать

Равносторонний треугольник вписан в окружность. Найти площадь меньшего сегмента.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Окружность, вписанная в треугольник

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Описание презентации по отдельным слайдам:

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Окружность, вписанная в треугольник

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Положение центра вписанной окружности

Краткое описание документа:

Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 316 человек из 68 регионов

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 487 841 материал в базе

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

  • 13.05.2015
  • 3537
  • 13.05.2015
  • 764
  • 13.05.2015
  • 601
  • 13.05.2015
  • 3372
  • 13.05.2015
  • 1210
  • 13.05.2015
  • 621
  • 13.05.2015
  • 701

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 13.05.2015 6249 —> —> —> —>
  • PPTX 227.7 кбайт —> —>
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сазонова Татьяна Фёдоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

  • На сайте: 7 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 30200
  • Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Регионы запустили работу по капремонту школ

Время чтения: 1 минута

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

УрФУ возглавил рейтинг медиаактивности вузов

Время чтения: 1 минута

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Более 800 вузов проведут прием через суперсервис

Время чтения: 1 минута

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Остроугольный равносторонний треугольник и вписать в него окружность

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

🔍 Видео

Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников
Поделиться или сохранить к себе: