Ортоцентр треугольника через координаты вершин (6 видео)

Ортоцентр треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Содержание

Пример
Метод расчета ортоцентра треугольника
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра
Что такое высота
Свойства ортоцентра
Полезные факты
Задача Фаньяно
История изучения
Ортоцентр треугольника
📹 Видео

Пример

В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..

Метод расчета ортоцентра треугольника

Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).

Шаг 1

Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.

Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.

Шаг 2

Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.

Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
Наклон CF = -1/наклон AB = 2.

Шаг 3

После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21

Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)

2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45

Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)

3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12

Шаг 4

Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

внутри;
снаружи;
в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

H — ортоцентр в ABC;
О — центр описанной окружности.

Тогда:

окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Ортоцентр треугольника

Перпендикуляр, проведенный из любой вершины треугольника на противолежащую ей сторону, будет его высотой, а сторона — основанием. Если из каждой вершины треугольника провести высоту, то точка пересечения этих высот (с возможным их продлением) является ортоцентром треугольника, как правило, обозначается Н.

Высоту треугольника (h), опущенную на сторону а можно определить через сторону и угол: h_a = csinβ = bsinγ, где а — основание треугольника, b, с — стороны, β, γ — углы прилежащие к основанию.

Также длину высоты можно вычислить через радиус описанной окружности R и стороны (b, с) / h = (b · с) / 2R.

Исходя из вида треугольника ортоцентр может располагаться:

внутри треугольника (в случаях с остроугольными треугольниками);
за его пределами (в тупоугольных треугольниках, где один угол больше 90);
совпадать с вершиной прямого угла, если треугольник прямоугольный.

Ортоцентр треугольника и любая из его вершин будут ортоцентром треугольника, вершины которого находятся в остальных трех точках. Эти четыре точки считаются ортоцентрической системой точек. У окружностей, проведенных через 3 точки данной системы, радиусы равны.

Ортоцентр остроугольного тр-ка служит центром вписанной в его ортотреугольник окружности.

Центр описанной около треугольника окружности является ортоцентром треугольника, вершины которого расположены в серединах сторон данного тр-ка.

На прямой Эйлера располагается центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника.

Отрезок от вершины до ортоцентра (Н) в 2 раза больше отрезка от центра описанной окружности (О) до стороны, противоположной вершине.

Сумма квадратов отрезка от вершины до ортоцентра и стороны, расположенной против этой вершины, равняется учетверенному квадрату радиуса описанной окружности ® .

Пусть отрезок АН соединяет вершину А треугольника АВС с ортоцентром Н, а сторона а противолежит этой вершине, тогда: АН 2 + а 2 = 4 R 2 .

С помощью калькулятора можно быстро вычислить ортоцентр треугольника.