Как найти вершину равнобедренного треугольника

Геометрия – это не только предмет в школе, по которому нужно получить отличную оценку. Это еще и знания, которые часто требуются в жизни. Например, при строительстве дома с высокой крышей необходимо рассчитать толщину бревен и их количество. Это несложно, если знать, как находить высоту в равнобедренном треугольнике. Архитектурные сооружения базируются на знании свойств геометрических фигур. Формы зданий зачастую визуально напоминают их. Египетские пирамиды, пакеты с молоком, художественная вышивка, северные росписи и даже пирожки – это все треугольники, окружающие человека. Как говорил Платон, весь мир базируется на треугольниках.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольник

Чтобы было понятнее, о чем далее пойдет речь, стоит немного вспомнить азы геометрии.

Треугольник является равнобедренным, если он имеет две равных стороны. Их всегда называют боковыми. Сторона, размеры которой отличаются, получила название основания.

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Основные понятия

Как и любая наука, геометрия имеет свои основные правила и понятия. Их достаточно много. Рассмотрим лишь те, без которых наша тема будет несколько непонятна.

Высота – это прямая линия, проведенная перпендикулярно к противоположной стороне.

Медиана – это отрезок, направленный из любой вершины треугольника исключительно к середине противоположной стороны.

Биссектриса угла – это луч, разделяющий угол пополам.

Биссектриса треугольника – это прямая, вернее, отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Очень важно запомнить, что биссектриса угла – это обязательно луч, а биссектриса треугольника – это часть такого луча.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Углы при основании

Теорема гласит, что углы, расположенные при основании любого равнобедренного треугольника, всегда равны. Доказать эту теорему очень просто. Рассмотрим изображенный равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. Из угла АВС необходимо провести биссектрису ВД. Теперь следует рассмотреть два полученных треугольника. По условию АВ=ВС, сторона ВД у треугольников общая, а углы АВД и СВД равны, ведь ВД – биссектриса. Вспомнив первый признак равенства, можно смело заключить, что рассматриваемые треугольники равны. А следовательно, равны все соответствующие углы. И, конечно, стороны, но к этому моменту вернемся позже.

Видео:№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.Скачать

Высота равнобедренного треугольника

Основная теорема, на которой базируется решение практически всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой. Чтобы понять её практический смысл (или суть), следует сделать вспомогательное пособие. Для этого необходимо вырезать из бумаги равнобедренный треугольник. Легче всего это сделать из обычного тетрадного листка в клеточку.

Согните полученный треугольник пополам, совместив боковые стороны. Что получилось? Два равных треугольника. Теперь следует проверить догадки. Разверните полученное оригами. Прочертите линию сгиба. При помощи транспортира проверьте угол между прочерченной линией и основанием треугольника. О чем говорит угол в 90 градусов? О том, что прочерченная линия – перпендикуляр. По определению – высота. Как находить высоту в равнобедренном треугольнике, мы разобрались. Теперь займемся углами при вершине. При помощи того же транспортира проверьте углы, образованные теперь уже высотой. Они равны. Значит, высота одновременно является и биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте отрезки, на которые разбивает высота основание. Они равны. Следовательно, высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой.

Видео:№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторонаСкачать

Доказательство теоремы

Наглядное пособие ярко демонстрирует истинность теоремы. Но геометрия – наука достаточно точная, поэтому требует доказательств.

Во время рассмотрения равенства углов при основании было доказано равенство треугольников. Напомним, ВД – биссектриса, а треугольники АВД и СВД равны. Вывод был таков: соответствующие стороны треугольника и, естественно, углы равны. Значит, АД = СД. Следовательно, ВД – медиана. Осталось доказать, что ВД является высотой. Исходя из равенства рассматриваемых треугольников, получается, что угол АДВ равен углу СДВ. Но эти два угла являются смежными, и, как известно, дают в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусам. Таким образом, ВД – это высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию. Что и требовалось доказать.

Видео:№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать

Основные признаки

• Чтобы успешно решать задачи, следует запомнить основные признаки равнобедренных треугольников. Они как бы обратны теоремам.
• Если в ходе решения задачи обнаруживается равенство двух углов, значит, вы имеете дело с равнобедренным треугольником.
• Если удалось доказать, что медиана является одновременно и высотой треугольника, смело заключайте – треугольник равнобедренный.
• Если биссектриса является и высотой, то, опираясь на основные признаки, треугольник относят к равнобедренным.
• И, конечно, если медиана выступает и в роли высоты, то такой треугольник — равнобедренный.

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

Формула высоты 1

Однако для большинства задач требуется найти арифметическую величину высоты. Именно поэтому рассмотрим, как находить высоту в равнобедренном треугольнике.

Вернемся к представленной выше фигуре АВС, у которой а – боковые стороны, в — основание. ВД – высота этого треугольника, она имеет обозначение h.

Что представляет собой треугольник АВД? Так как ВД – высота, то треугольник АВД – прямоугольный, катет которого необходимо найти. Воспользовавшись формулой Пифагора, получаем:

Определив из выражения ВД и подставив принятые ранее обозначения, получим:

Необходимо извлечь корень:

Если вынести из под знака корня ¼ , то формула будет иметь вид:

Так находится высота в равнобедренном треугольнике. Формула вытекает из теоремы Пифагора. Даже если забыть эту символическую запись, то, зная метод нахождения, всегда можно её вывести.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Формула высоты 2

Формула, описанная выше, является основной и чаще всего используется при решении большинства геометрических задач. Но она не единственная. Иногда в условии, вместо основания, дано значение угла. При таких данных как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Для решения подобных задач целесообразно использовать другую формулу:

где Н – высота, направленная к основанию,

а – боковая сторона,

α – угол при основании.

Если в задаче дано значение угла при вершине, то высота в равнобедренном треугольнике находится следующим образом:

где Н – высота, опущенная на основание,,

β – угол при вершине,

а – боковая сторона.

Видео:Вариант 28, № 4. Равнобедренный треугольник. Угол при вершинеСкачать

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Очень интересным свойством обладает треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Как и в предыдущих случаях, ВД – высота, направленная к основанию.

Углы при основании равны. Вычислить их большого труда не составит:

Таким образом, углы, находящиеся при основании, всегда по 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник АДВ. Он также является прямоугольным. Найдем угол АВД. Путем несложных вычислений получаем 45 градусов. А, следовательно, этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны АД и ВД являются боковыми сторонами и равны между собой.

Но сторона АД в то же время является половиной стороны АС. Получается, что высота в равнобедренном треугольнике равна половине основания, а если записать в виде формулы, то получим следующее выражение:

Следует не забывать, что данная формула является исключительно частным случаем, и может быть использована только для прямоугольных равнобедренных треугольников.

Видео:№932. Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисункеСкачать

Золотые треугольники

Очень интересным является золотой треугольник. В этой фигуре отношение боковой стороны к основанию равняется величине, названной числом Фидия. Угол, расположенный при вершине — 36 градусов, при основании – 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы золотого треугольника положены в основу множества бессмертных шедевров. Известная всем пятиконечная звезда построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника». Композиция «Джоконды» основана как раз на фигурах, которые создают собой правильный звездчатый пятиугольник.

Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, завораживает взгляд положенными в основу равнобедренными треугольниками.

Видео:№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.Скачать

Угол при вершине равнобедренного треугольника

Как найти угол при вершине равнобедренного треугольника?

Каким может быть угол при вершине равнобедренного треугольника?

Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при его основании равен α.

Дано: ∆ ABC,

∠A=∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Значит, α+∠B+α=180º, откуда ∠B=180º-2α.

1) Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 180º минус удвоенный угол при его основании.

2) Чем больше угол при основании равнобедренного треугольника, тем меньше угол при его вершине.

3) Если угол при основании α=45º, угол при вершине равнобедренного треугольника — прямой, так как

Если угол при основании больше 45º, угол при вершине — острый, так как

при α>45º произведение 2α>90º, откуда 180º-2α 90º.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.Скачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника #огэ #математика #shortsСкачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

📽️ Видео

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Вывод синуса двойного угла через площадь равнобедренного треугольника #егэ2024Скачать