Ориентация векторов в плоскости (8 видео)

Ориентация плоскости и пространства

Базис (е_х,е₂) векторного пространства V₂ плоскости Е₂ называется правым, если кратчайший поровот от первого вектора е_х к вектору е₂ происходит против часовой стрелки.

Базис (е_1? е₂) векторного пространства И₂ плоскости Е₂ называется левым, если кратчайший поровот от первого вектора е_< к вектору е₂ происходит по часовой стрелке.

Все левые (правые) базисы составляют класс одноименных базисов.

Ориентацией векторного пространства называется класс одинаково ориентированных базисов. Выделяют один из классов и называют его положительным, а другой отрицательным. Обычно положительную ориентацию задают правым базисом (е₁₅ е₂), отрицательную — левым.

Векторное пространство V₂ называется ориентированным, если одна из ориентаций названа положительной, а другая — отрицательной.

Плоскость называется ориентированной, если ориентировано ее векторное пространство.

Замечание 1. Из приведенной теории следует, что для задания ориентации плоскости достаточно одно из направлений вращения назвать положительным, а другое — отрицательным. Обычно положительным считают то направление, которое противоположно направлению вращения часовой стрелки.

Замечание 2. Векторное пространство И₃ называется ориентированным, если одна из ориентаций названа положительной, а другая — отрицательной. Пространство называется ориентированным, если ориентировано его векторное пространство.

Обычно положительную ориентацию И₃ задают правой тройкой, отрицательную — левой тройкой.

Тройка (е_р е₂, е₃) называется правой (левой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от к е₂ происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке).

задающих базис задающих базис

Содержание

Векторное произведение векторов
Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
Тема 2. Лекция 6. Векторное пространство
🌟 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Векторное произведение векторов

Пусть ориентация векторного пространства К₃ задана правой тройкой (z, j, :

Векторным произведением неколлинеарных векторов а и b , взятых в данном порядке, назовем вектор с, длина и направление которого определяются следующим образом: а) длина вектора | с 1=1 а || b | sin (р численно равна площади параллелограмма ОАВС (см. рис. а), б) вектор с перпендикулярен а и b , а ± с, b ± с; в) векторы а, Ь, с образуют базис, одноименный с базисом і, j, к .

Векторное произведение кол линеарных векторов а и b считается равным 0. Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору. Обозначение: с=1 a, b l = axb .

Видео:§11 Ориентация векторов в пространствеСкачать

Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.

Определение. Пусть и – два ненулевых вектора. Отложим их из одной точки О: = , = . Тогда углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB, т.е. a =ÐAOB. Пишем a =Ð( , ).

Если речь идет о векторах на плоскости, то можем ввести понятие ориентированного угла между векторами. Если кратчайший поворот

от луча OA к лучу OB осуществляется против часовой стрелки, то считаем, что a > 0, а если по часовой – то a 0 . Таким образом, – p a £ p . Если a > 0, то пара векторов (, ) называется правой, а если a 0 – то левой.

В пространстве понятие ориентированного угла не имеет смысла. Если посмотреть на плоскость, в которой лежат лучи OA и OB с одной стороны, то увидим, что кратчайший поворот от OA к OB осуществляется в одном направлении, а если посмотреть на плоскость с другой стороны, то мы увидим тот же поворот в другом направлении.

Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора , , . Отложим их из одной точки О: = , = , = . Тройка векторов (, , ) называется правой, если кратчайший поворот от луча OA к лучу OB, если смотреть из точки C , выглядит как осуществляющийся против часовой стрелки. Соответственно, если этот поворот выглядит как осуществляющийся по часовой стрелке, то тройка векторов (, , ) называется левой. На рисунке изображена правая тройка векторов.

Проекция вектора на ось.

Пусть l – некоторая прямая в пространстве. Выберем точку OÎ l и единичный вектор ||l.Построим направленный отрезок = . Прямая l с отрезком называется осью. Иногда говорят, что ось – это прямая, на которой задано направление.

Определение. Пусть – произвольный вектор, а – произвольный направленный отрезок, который представляет . Опустим перпендикуляры AA₁ и BB₁ на прямую l. Пусть = . Тогда вектор

называется векторной проекцией вектора на ось l и обозначается p_l.

Мы имеем || . Поэтому согласно теореме 1 существует такое число p, что = p. Это число называется скалярной проекцией вектора на ось l . Поскольку –

единичный вектор, то p – это длина вектора , если , и p = – ||, если ¯. Будем обозначать скалярную проекцию так: P_l.

Зная скалярную проекцию вектора мы можем найти его векторную проекцию:

Необходимо еще доказать, что определения скалярной и векторной проекции корректны, т.е. не зависят от выбора направленного отрезка , который представляет вектор . Другими словами, если мы отложим вектор от другой точки, то его скалярная и векторная проекции не изменятся,– и это надо доказать.

Проведем через точки A и B плоскости a и b перпендикулярно l. Тогда ½p½=½P_l½ есть расстояние между a и b .Выберем другой направленный отрезок , представляющий и проведем через точки A¢, B ¢ плоскости a¢ и b¢ перпендикулярно l. Направленные отрезки и эквивалентны, а значит, они совмещаются параллельным переносом. При этом переносе плоскость a совместится с a¢, а плоскость b – с b¢. Значит, расстояние между a¢ и b¢ равно расстоянию между a и b, и оно равно ½p½. Поэтому ½p½ не зависит от выбора направленного отрезка. Направление векторной проекции также не изменится при переносе, поэтому и знак p не изменится. Итак, скалярная проекция не зависит от выбора направленного отрезка, представляющего . В силу равенства (*) p_l также не зависит от выбора направленного отрезка.

Теорема 2. Свойства проекции вектора на ось.

1.P_l =| | cosÐ(, );

Доказательство. 1. Поскольку определение проекции не зависит от выбора точки A ,из которой отложен вектор , мы можем отложить его из точки О. Обозначим j =Ð(, ).

1 случай: j £ p/2. Тогда из DOBB₁ получим, что

2 случай: j > p/2. Тогда из DOBB₁ получим, что

2. Для скалярных проекций:

1 случай: l > 0. Тогда l и Ð(, l ) = j. Значит,

= l| |cos j = lP_l .

Ð(, l ) = p – j и cosÐ(,l ) = – cos j,

3случай: l = 0. Тогда равенство очевидно.

Для векторных проекций с помощью равенства (*) получаем:

3.Доказательство для векторных проекций показано на чертеже, но только для случая векторов на плоскости. Рисунок для векторов в пространстве можно найти в учебнике [10].

Для скалярных проекций равенство вытекает из равенства для векторных проекций. Например, в случае, изображенном на втором рисунке,

|A₁C₁|= |A₁B₁|+(– |B₁C₁|).

Видео:Ориентация векторов в пространстве. Правая и левая тройки векторовСкачать

Тема 2. Лекция 6. Векторное пространство

Лекция 6. Векторное пространство.

1. Векторное линейное пространство.

2. Базис и размерность пространства.

3. Ориентация пространства.

4. Разложение вектора по базису.

5. Координаты вектора.

1. Векторное линейное пространство.

Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции : сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами, а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии : . Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т. д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .

Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V1 , множество компланарных векторов V2, множество векторов обычного (реального пространства) V3 .

Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.

Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.

Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.

Определение 2. Множество R элементов , в котором для лю-бых двух элементов и определена сум-ма и для любого элемента и любого действительного числа λ определено произведение называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам) :

1) сложение коммутативно, т. е. ;

2) сложение ассоциативно, т. е. ;

3) существует такой элемент (нулевой вектор), что для любого ;

4) для каждого вектора существует противопо-ложный вектор —, такой что ;

5) для любых векторов и и любого чис-ла λ имеет место равенство ;

6) для любых векторов и любых чисел λ и µ справедливо равенство ;

7) для любого и любых чисел λ и µ справедли-во ;

8) для любого .

Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :

1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.

2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.

3. Для каждого элемента выполняется равенство .

4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора выпол-няется равенство .

5. Из равенства следует одно из двух равенств:

6. Вектор является противоположным для любого вектора .

Существование противоположного вектора определяет возможность вве-дения для вектора рассматриваемого пространства операцию вычитания как операцию, обратную операции сложения.

Разностью векторов называется вектор , удовлетворяющий равенству .

Разность векторов обозначается так : .

Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.

2. Базис и размерность пространства.

Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.

Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .

Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке .

Базисом в обычном пространстве – три некомпланарных вектора, взя-тые в определенном порядке .

Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т. е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.

Итак, в соответствии с данными определениями :

1. Одномерным пространством V1 является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора .

2. Двумерным пространством V2 является плоскость, базис этого прост-ранства состоит из двух неколлинеарных векторов .

3. Обычное пространство является трехмерным пространством V3 , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов .

Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.

Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R n . Число n на-зывается размерностью пространства.

В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.

Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.

3. Ориентация пространства.

Пусть базисные векторы в пространстве V3 имеют общее начало и упорядочены, т. е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе век-торы упорядочены согласно индек-сации.

Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .

Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т. е. на два непересекающихся подмножества.

а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;

б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .

Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным, а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .

Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .

Согласно критерию наблюдателя базис называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот пер-вого вектора ко второму вектору осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).

Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)

Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства

Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.

По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов , которые должны быть упорядочены (рис.1.8).

Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.

Аналогично поступают и в случае пространства V2 (плоскости).

4. Разложение вектора по базису.

Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R3 .

Пусть — линейно независимые векторы (базис) пространства R3 а — произвольный вектор этого пространства.

Теорема. Любой вектор пространства R3 однозначно представим в виде линейной комбинации трех линейно независимых век-торов этого пространства, т. е.

(3)

Представление произвольного вектора в виде линейной комбинации ба-зисных векторов называется разложением этого вектора по базису.

Например, выражение означает, что вектор разложен по базису .

5. Координаты вектора.

5.1. Понятие о координатах вектора.

Из рассмотренного выше следует, что фиксированный базис позволяет сопоставить каждому вектору пространства R 3 упорядоченную тройку чисел (а пространству R 2 – плоскости, — упорядоченную двойку чисел), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по векторам базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи бази-са сопоставляется единственный вектор пространства, если составим линейную комбинацию (аналогично и для пространства R 2 и вообще R n ).

Определение. Если — базис и вектор , то числа называются координатами вектора в данном базисе.

Обозначение : или, в конкретном случае .

Вполне очевидно, что если в пространстве R выбрать другой базис, то тот же вектор будет иметь другие координаты.

5.2. Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть векторы и разложены по базису :

Известно, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, т. е. , где хотя бы одно из чисел λ1 или λ2 отличны от нуля.

Для определенности положим . Тогда

Откуда соотношение между координатами векторов (на основе аксиомы 5)

или их отношения

(7) Следовательно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат в данном базисе.