Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).
(() (frac) (;2π)) — четвертая четверть
- Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?
- Про непостоянство четвертей:
- Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
- А теперь подробно о тригонометрическом круге:
- Радианная мера угла
- Переход от радианной меры к градусной
- Границы координатных четвертей
- Нестандартные углы и периодичность
- 📹 Видео
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?
Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .
Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.
Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.
Пример (ЕГЭ):
((0;-) (frac) ()) — четвертая четверть Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную. Видео:В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисункеТригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Вот что мы видим на этом рисунке: Видео:Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)Скачать А теперь подробно о тригонометрическом круге:Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций. Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки. Полный круг — градусов. Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Всё это легко увидеть на нашем рисунке. Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до : Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество: Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ). Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы. Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке. Легко заметить, что Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть: где — целое число. То же самое можно записать в радианах: Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению, Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать Радианная мера углаВ школьном курсе математики есть два определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Для решения задачи B11 нужен именно алгебраический подход. Чуть позже мы убедимся, что такие задачи решаются элементарно — буквально с помощью одной формулы. Но для начала научимся быстро (буквально на лету) определять координатную четверть, в которой расположен искомый угол. В этом нам помогут следующие правила. Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать Переход от радианной меры к градуснойВспомните: в 8—9 классах мы работали лишь с несколькими стандартными углами. А именно: 30°, 45° и 60°. В особо продвинутых случаях учителя рассказывали еще об углах 90° и 0°. Любые другие значения назывались «сложными», и возникновение таких углов, скорее всего, указывало на ошибку в решении. С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Здесь я не буду рассказывать, как устроена тригонометрическая окружность — все это подробно описано в любом учебнике по математике. Вместо этого предлагаю обсудить другой вопрос — более важный, но которому почему-то не уделяется достаточно внимания. Речь идет о переходе от радианной меры угла к градусной. Исторически так сложилось (и небезосновательно), что углы на тригонометрической окружности измеряют в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен У многих возникает вопрос: при чем здесь Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правило:
Обратите внимание: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать Но если мы хотим найти примерную длину придется считать: Разумеется, существует и обратное правило — переход от градусной меры угла к радианной. Однако нас это сейчас не интересует, поскольку в задачах B11 такой переход не встречается. Теперь взгляните на конкретные примеры:
Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: . Имеем:
Итак, вместо непонятного мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам. Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать Границы координатных четвертейТеперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Это будет ключом к решению задачи B11. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением , а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните:
Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используйте простую и понятную шкалу:
Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. И вы точно не забудете эти числа на ЕГЭ по математике, чего нельзя сказать про радианную меру. Если же память на числа плохая, могу посоветовать одну хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 180°; 270°; 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°. А теперь разберем конкретные примеры. Будем учиться искать координатные четверти быстро, поскольку от этого умения напрямую зависит решение задачи B11.
Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:
Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол. Видео:Период тригонометрических функций тангенс и котангенс в градусах В какой четверти находится угол поСкачать Нестандартные углы и периодичностьДо сих пор мы рассматривали Но что произойдет, если, например, А как насчет отрицательных углов? Такие углы редко встречаются на ЕГЭ по математике (по крайней мере, в части B), но лучше застраховать себя от подобных «неожиданностей», поэтому предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов. Итак, что если Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз). С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:
Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке И только затем выясняем координатную четверть. Получим:
Вот и все! Обратите внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол. Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать. В заключение хочу добавить, что если вы хорошо знаете математику и быстро ориентируетесь в радианных углах, то совсем необязательно переводить их в градусы. Однако большинство людей (и не только школьники) предпочитают именно градусную меру — знакомую еще со средней школы и, как следствие, более понятную. 📹 ВидеоВычисление значений тригонометрических функцийСкачать Синус косинус тангенс котангенс числа. В какой четверти находится угол поворота. Тригонометрия 8-11Скачать Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать Период тригонометрических функций в радианах с числом Пи. В какой четверти находится угол поворота.Скачать Период синуса и косинуса в градусах. В какой четверти находится угол поворота. 8-11 класс.Скачать 🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать Числовая окружностьСкачать Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать |