Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.
а) Докажите, что AD = 4BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен
а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.
Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому
то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.
б) Заметим, что поэтому
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:
Значит,
Приведем другое решение пункта а)
Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке O, а BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y. Поскольку точки M, K, N и L — точки касания, и Опустим высоты BH и CQ:
тогда по теореме Пифагора Поскольку имеем откуда
Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать
Задача 16865 Окружность, вписанная в трапецию ABCD.
Условие
Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках М и N соответственно. Известно, что АМ=8МВ и DN=2CN.
а) Докажите, что AD=4BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен sqrt(6)
Решение
а)
Пусть ВМ=х, тогда АМ=8х
СN=y, тогда DN=2y
По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Поэтому
ВМ=ВК=x
СN=CK=y
AM=AP=8x
DN=DP=2y
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.
Биссектрисы АО и ВО делят углы А и В пополам, значит сумма острых углов треугольника АОВ равна 90 градусов.
Треугольник АОВ- прямоугольный.
Высота ОM прямоугольного треугольника АОВ есть среднее пропорциональное между отрезками АМ и ВМ.
ОM^2=AM*BM
OM=r
r^2=8x*x
r^2=8x^2
Аналогично, Δ СOD — прямоугольный и
ON^2=CN*ND
r^2=y*2y
r^2=2y^2
AD=AP+DP=8x+2y=8x+2*2x=12x
BC=BK+CK=x+y=x+2x=3x/(sqrt(x^2+r^2
AD=12x=4*(3x)=4BC
б)
r=sqrt(6)
Обозначим
∠ МОВ= ∠ ВОК= альфа
∠ KOC= ∠ CON= бета
sin альфа =MB/BO=x/sqrt(x^2+r^2)
cos альфа =MO/BO=r/sqrt(x^2+r^2)
sin бета=CN/CO=y/sqrt(y^2+r^2)
cos бета =ON/CO=r/sqrt(y^2+r^2)
sin( альфа + бета )=
=sin альфа*cos бета +cos альфа *sin бета =
=r*(x+y)/(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))
Треугольник MON — равнобедренный,
МО=ОN=r
∠ MON=2*( альфа + бета )
Высота ОF делит основание MN пополам и сторону MN пополам.
MF=(1/2)MN=OM*sin( альфа + бета )=
MN=2*r*r*(x+y)//(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))
Так как у=2х и r^2=6 и r^2=8x^2; r^2=2y^2, то
MN=
=2*r^2*((r/sqrt(8))+(r/sqrt(2)))/(r*sqrt((1/8)+1)*r*sqrt((1/2)+1))=
=(2*r*3/(2sqrt(2)))/(sqrt(9/8)*sqrt(3/2))=4
О т в е т. MN=4
Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать
Окружность, вписанная в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, касается боковых сторон АВ и CD в точках F и Т соответственно. Докажите, что AF * FB = СТ * TD.
Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать
Ваш ответ
Видео:Окружность, вписанная в трапецию.A circle inscribed in a trapezoid.Скачать
решение вопроса
Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,029
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
🌟 Видео
Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,DСкачать
14.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать
ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Вписанная окружностьСкачать
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРАПЕЦИЮ VictorSh ЯГУБОВ РФСкачать
Вписанная и описанная трапеции. КлассикаСкачать
Геометрия В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит черезСкачать
ОГЭ Задание 24 Трапеция Вписанная окружностьСкачать
Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать