Как находить длину медианы треугольника

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Как находить длину медианы треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Как находить длину медианы треугольника

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Как находить длину медианы треугольника

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Как находить длину медианы треугольника

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Как находить длину медианы треугольника

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Как находить длину медианы треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Как находить длину медианы треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Все формулы медианы треугольника

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

Как находить длину медианы треугольника

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Как находить длину медианы треугольника

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Как находить длину медианы треугольника

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Как находить длину медианы треугольника

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Как находить длину медианы треугольника

Как находить длину медианы треугольника

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Как находить длину медианы треугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Как находить длину медианы треугольника

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Как находить длину медианы треугольника

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Как находить длину медианы треугольника

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Как находить длину медианы треугольника

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Как находить длину медианы треугольника

Как находить длину медианы треугольника

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Как находить длину медианы треугольника

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Как находить длину медианы треугольника

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Как находить длину медианы треугольникаплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

🌟 Видео

Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать

Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

длина медианы #SHORTSСкачать

длина медианы #SHORTS

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианыСкачать

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Задача про медиану треугольника и периметры. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про медиану треугольника и периметры. Геометрия 7 класс.

Формула медианы треугольникаСкачать

Формула медианы треугольника

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: