Окружность вписанная в тетраэдр

Сфера, вписанная в пирамиду
Окружность вписанная в тетраэдрБиссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
Окружность вписанная в тетраэдрСфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
Окружность вписанная в тетраэдрРадиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду
Окружность вписанная в тетраэдрСфера, вписанная в треугольную пирамиду. Формула для радиуса вписанной сферы

Окружность вписанная в тетраэдр

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Видео:Вычисление радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамидуСкачать

Вычисление радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA1A2 . An основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A1A2 . An , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA1A2 и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A1A2 . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA1A2 и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

Окружность вписанная в тетраэдр(1)

Видео:Как достроить равногранный тетраэдр и найти радиус описанной сферыСкачать

Как достроить равногранный тетраэдр и найти радиус описанной сферы

Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

Окружность вписанная в тетраэдр(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

из формулы (3) получаем соотношение

Окружность вписанная в тетраэдр

Ответ. Окружность вписанная в тетраэдр

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Окружность вписанная в тетраэдр

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Окружность вписанная в тетраэдр

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Окружность вписанная в тетраэдр

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Окружность вписанная в тетраэдр

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

Окружность вписанная в тетраэдр

Окружность вписанная в тетраэдр

где символом Sполн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Окружность вписанная в тетраэдр

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

Окружность вписанная в тетраэдр

где символами Vпир и Sполн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Тетраэдр.

Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Окружность вписанная в тетраэдрОкружность вписанная в тетраэдр

Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Видео:Решение C2 - сфера, вписанная в пирамиду. Подготовка к ЕГЭ по математике 2014Скачать

Решение C2 - сфера, вписанная в пирамиду. Подготовка к ЕГЭ по математике 2014

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Видео:Тетраэдр. 10 класс.Скачать

Тетраэдр. 10 класс.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

  • есть сфера, которая касается каждого ребра,
  • суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
  • окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
  • каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
  • перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

Окружность вписанная в тетраэдр

где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Окружность вписанная в тетраэдр

где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Окружность вписанная в тетраэдр

Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;

h — высота, опущенная на основание;

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Окружность вписанная в тетраэдр

Видео:ЕГЭ по математике - Шар в пирамидеСкачать

ЕГЭ по математике - Шар в пирамиде

Свойства

Зная радиус сферы, вписанной в тетраэдр, нужно сначала найти ребро тетраэдра, а также можно без хитрых преобразований рассчитать сразу радиус сферы, описанной около тетраэдра. a=2√6 r_1 R_1=3r_1

Зная ребро тетраэдра через радиус вписанной сферы, можно рассчитать периметр тетраэдра, равный длине всех шести его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра, состоящей из четырех таких граней. P=12√6 r_1 S_1=6√3 〖r_1〗^2 S_(п.п.)=4S_1=24√3 〖r_1〗^2

Кроме радиусов вписанной и описанной около тетраэдра сфер, у него есть также радиусы вписанной и описанной окружностей около грани, являющейся основанием, которые можно вычислить через радиус вписанной сферы. r=√2 r_1 R=2√2 r_1

Высота и апофема тетраэдра располагаются под прямым углом к основанию с той лишь разницей, что высота падает в центр основания, являющийся по совместительству центром для вписанной и описанной окружностей основания, а апофема опускается по боковому ребру в центр стороны основания. h=4r_1 l=3√2 r_1

Чтобы вычислить объем тетраэдра через радиус сферы, вписанной в него, нужно возвести радиус в третью степень и умножить его на восемь корней из трех. V=8√3 〖r_1〗^3

📽️ Видео

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]Скачать

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]

ДВИ математика. КАРКАСНЫЙ ТЕТРАЭДР!Скачать

ДВИ математика. КАРКАСНЫЙ ТЕТРАЭДР!

10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать

10 класс, 12 урок, Тетраэдр

Сфера и шар. Сечение сферы. Вписанная и описанная сфераСкачать

Сфера и шар. Сечение сферы. Вписанная и описанная сфера

5.2. Многогранник, описанный вокруг сферы.Скачать

5.2. Многогранник, описанный вокруг сферы.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Шар, вписанный в пирамиду, или пирамида, описанная около шара.Скачать

Шар, вписанный в пирамиду, или пирамида, описанная около шара.

Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамиды

11 класс, 26 урок, Сфера, вписанная в коническую поверхностьСкачать

11 класс, 26 урок, Сфера, вписанная в коническую поверхность
Поделиться или сохранить к себе: