Ортогональные окружности. Углом между двумя кривыми
(в частности, между двумя окружностями) называется угол между
касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся
окружности называются ортогональными (друг другу), если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис. 5). Согласносвойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения.
Теорема 4. Окружность г, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии).
Доказательство. Если М — произвольная точка окружности г и прямая ОМ пересекает окружность г вторично в точке М‘, то по свойству секущих ОМ*ОМ’=ОТ 2 =R 2 , т.е. точки М и М’ взаимно инверсны относительно окружности щ (рис. 5). Следовательно, окружность г отображается на себя.
Теорема 5 (обратная). Если окружность г, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.
Доказательство. Соответственные точки М и М’ окружности г лежат на одном луче с началом О, причем одна из них вне, другая — внутри окружности щ инверсии (рис. 5). Поэтому окружность г пересекает окружность щ. Пусть Т — одна из точек их пересечения. Докажем, что ОТ — касательная к окружности г. Если бы прямая ОТ пересекала г еще в другой точке Т1, то по свойству секущих ОТ * ОТ1=R 2 . Но ОТ=R и поэтому ОТ1= R, т.е. точки Т и Т1 совпадают, прямая ОТ касается г в точке Т, окружности щ и г ортогональны.
Инверсия как симметрия относительно окружности. Инверсия относительно окружности имеет аналогию с осевой симметрией.
Теорема 6. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна при данной инверсии (следовательно, ортогональна окружности инверсии).
Доказательство. Если окружность г содержит точки А и А’, соответственные при инверсии относительно окружности щ, то центр О инверсии лежит вне отрезка АА’, т.е. вне окружности г (рис. 6). Пусть М — произвольная точка окружности г и прямая ОМ пересекает г вторично в точке М’. Тогда по свойству секущих ОМ * ОМ’ = OA * OA’ = R 2 .
Поэтому точки М и М’ взаимно инверсны, и окружность г отображается инверсией на себя.
Следствие. Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны.
Действительно, если А — одна из точек
пересечения окружностей б и в, каждая из которых ортогональна к окружности щ инверсии, то прямая
OA пересекает как окружность б, так и окружность в в образе А’ точки А (рис. 7).
Иначе говоря, образом точки А, не лежащей на окружности инверсии, служит вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку А и ортогональных к окружности инверсии.
Это свойство может быть положено в основу определения инверсии.
Возьмем теперь вместо окружности щ прямую щ как предельный случай окружности (окружность бесконечно большого радиуса). Центры окружностей б и в, ортогональных прямой щ, лежат на этой прямой. Предыдущее свойство инверсии (второе ее определение) приводит к тому, что точки А и А’ пересечения окружностей б и в симметричны относительно прямой щ (рис. 8).
Видео:Инверсия | Олимпиадная математикаСкачать
Метод инверсии
Инверсия дает возможность сводить решение некоторых сложных задач на построение к решению задач более простых. Но чтобы приступить к решению таких задач, нужно прежде всего научиться инвертировать точки, прямые и окружности. В связи с этим предлагаем изучить решения следующих задач.
Задача 6.42. Инверсия задана окружностью инверсии О(г) (рис. 6.45). Построить точку М’, инверсную точку М.
Анализ. По определению инверсии искомая точка М’ принадлежит лучу ОМ и удалена от центра инверсии на расстояние ОМ’ = г 2 : ОМ. Следовательно, отрезок ОМ’ можно найти построением как четвертый пропорциональный к отрезкам г, г и ОМ (если М * О) (читатель в параграфе 6.10 найдет описание построения отрезка как четвертого про- порцианального).
Следует рассмотреть несколько случаев.
Случай 1. Точка М находится вне окружности инверсии О (г) (см. рис. 6.45).
Построение и исследование (в решении данной задачи эти две части удобно совместить).
- 1. Соединяем отрезком прямой точку М с центром инверсии.
- 2. Строим касательную из точки М к окружности инверсии.
- 3. Из полученной точки касания Г опускаем перпендикуляр ТК на ОМ.
- 4. Отмечаем точку М’ — точку пересечения ТК и ОМ.
М’ — искомая точка.
Доказательство. Точка М’ е ОМ по построению; в ДОГМ угол ОТМ прямой; по известному свойству перпендикуляра ТМ’ к гипотенузе ОМ находим
Следовательно, по определению инверсии точка М’ — искомая. Случай 2. Точка М находится внутри окружности инверсии О(г), но не совпадает с центром инверсии (рис. 6.46).
Построение и исследование. 1. Соединяем отрезком прямой точку М с центром инверсии.
2. Через точку М проводим перпендикуляр МР к ОМ.
- 3. Отмечаем точку Г — точку пересечения МР и окружности О (г).
- 4. Строим в точке Г касательную t к окружности инверсии.
- 5. Отмечаем точку пересечения: М’ — точка пересечения t и ОМ; М’ — искомая точка.
Доказательство. Треугольник ОТМ’ — прямоугольный, ГМ ± ОМ’. ОМ г
Следовательно,-=-, т.е. ОМ’ ? ОМ = г 2 .
Случай 3. Точка М принадлежит окружности инверсии О(г) (рис. 6.47).
Если точка М принадлежит окружности инверсии, то ОМ = г.
По определению инверсии ОМ • ОМ’ = г 2 , отсюда ом’ = г, т.е. точка М’ принадлежит окружности инверсии. Так как согласно определению инверсии точка М’ должна принадлежать лучу ОМ, то отсюда следует, что точка М’ в этом случае будет совпадать с точкой М.
Случай 4. Точка М совпадает с центром инверсии О. В этом случае
ОМ = 0. Из соотношения ОМ’= — следует, что задача не будет иметь решения: нельзя построить точку, инверсную центру инверсии О. Замечание. Если точка М находится внутри окружности, то ОМ 2
Из соотношения ОМ’--следует, что при этом ОМ’ > г, т.е., как мы уже убедились, точка М’ будет находиться вне окружности инверсии. Если точка М будет приближаться к центру инверсии (ОМ будет при этом уменьшаться), то точка М’ будет удаляться от центра окружности инверсии (так как будет увеличиваться ОМ’), и наоборот.
Задача 6.43. Инверсия задана окружностью инверсии О(г) (рис. 6.48). Построить фигуру, инверсную данной прямой KL.
Анализ. Способ построения искомой фигуры вытекает из следующих теорем.
- 1. При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.
- 2. При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя.
Построение и исследование. Случай 1. Прямая KL не имеет общих точек с окружностью инверсии.
- 1. Из центра инверсии О опускаем перпендикуляр ОВ на прямую KL.
- 2. Отмечаем точку Л — точка персечения ОВ и KL.
- 3. Строим точку Л’, инверсную точке Л (см. задачу 6.42).
- 4. Строим на отрезке ОА’ как на диаметре окружность.
Окружность О, |дОА’j — искомая.
Случай 2. Прямая KL касается окружности инверсии.
Случай 3. Прямая KL пересекает окружность инверсии, но не проходит через центр инверсии.
Случай 4. Прямая KL проходит через центр инверсии О.
В случаях 2—4 предлагаем данную задачу решить самостоятельно.
Задача 6.44. Инверсия задана окружностью инверсии О (г). Инвертировать данную окружность O^rj) (термин употребляется в литературе в смысле отыскания фигуры, инверсной данной).
Анализ. Способ решения данной задачи вытекает из следующих теорем.
- 1. Окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в этой инверсии в окружность, так же не проходящую через центр инверсии.
- 2. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую, не проходящую через центр инверсии; эта
по прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и окружности инверсии.
Случай 1. Данная окружность ОДгД находится вне окружности инверсии и не имеет с ней общих точек (рис. 6.49).
- 1. Строим прямую 00:.
- 2. Отмечаем точки Л и В пересечения прямой ООх и данной окружности Oj (/*>).
- 3. Строим точки А’ и В’, инверсные точкам А и В.
- 4. Строим на отрезке А’В’ как на диаметре окружность 02^A’B’J, которая является искомой.
Остальные возможные случаи расположения данной окружности ОДгД относительно окружности инверсии О (г) и соответствующие решения задачи предлагаем рассмотреть самостоятельно. Не забудьте рассмотреть случай, когда данная окружность Оа (гг) ортогонально пересекает окружность инверсии О (г).
Перейдем к решению задач методом инверсии.
Задача 6.45. Построить окружность, проходящую через две данные точки А и В и касающуюся данной прямой I.
Анализ. Для решения этой задачи, очевидно, достаточно найти точку касания искомой окружности и данной прямой.
Пусть окружность S (рис. 6.50) — искомая. Произведем преобразование инверсии, приняв за центр инверсии одну из данных точек, например В, а радиус окружности инверсии возьмем равным АВ.
При этой инверсии прямая I перейдет в окружность L, проходящую через центр В инверсии, а окружность S — в некоторую прямую т, проходящую через точку А (точка А переходит в себя при инверсии) и касающуюся окружности L в точке Сь в которую переходит при инверсии точка С.
Построения. Проведя из точки А касательную т к окружности L, получим точку касания Cv Прямая ВСХ пересекает данную прямую I в искомой точке С.
Доказательство правильности построения непосредственно вытекает из приведенного анализа.
Исследование. В зависимости от расположения точки А и окружности L задача может иметь два, одно или ни одного решения.
Задача 6.46. Построить окружность, касательную к данной окружности а и проходящую через две данные точки А и В, находящиеся вне данной окружности.
С тем чтобы выделить идею решения этой задачи, мы опишем и выполним лишь построение. В данном случае построение производится методом инверсии, и, применяя этот метод, мы покажем, каким образом задачи на построение сводятся к более простым задачам.
Пусть а — данная окружность (рис. 6.51), А и В — данные точки. [1] [2]
- 3. Проводим из точки В’ касательные прямые х <и х2 к окружности а’.
- 4. Инвертируем построенные прямые лг< и х’2 относительно окружности со. Эти прямые не проходят через центр инверсии А; тогда по известному свойству инверсии они преобразуются соответственно в окружности х[ и х2; при этом каждая из этих окружностей будет проходить через точку В и касаться окружности а, так как каждая из прямых х< и х’2 проходит через точку В’ и касается окружности а’. Окружности х< и х’2 — искомые.
Таким образом, с помощью инверсии данную задачу мы свели к задаче на построение касательной к окружности из данной точки.
Видео:#7str. Как использовать инверсию?Скачать
Касающиеся окружности при инверсии
Познакомимся еще с одним геометрическим преобразованием, называемым инверсией , или преобразованием посредством обратных радиусов, или симметрией относительно окружности. Первый термин короче (поэтому в наш «век скоростей» употребляется чаще), но второй и третий точнее характеризуют предмет, к которому относится: слово инверсия чрезвычайно многозначно, в том числе и в математике; например, инверсией иногда называется центральная симметрия в пространстве – см. урок «Перемещения». Буквальный перевод с латыни слова inversio – «обращение»: все значения слова «инверсия» связаны с каким-то переворачиванием или «выворачиванием наизнанку» прежнего порядка вещей (например, центральная симметрия в пространстве относительно начала координат меняет значения всех координат на противоположные, и сверх того – в отличие от центральной симметрии на плоскости – нарушает ориентацию).
Инверсией относительно окружности с центром и радиусом называется преобразование, которое каждой точке ставит в соответствие точку , лежащую на луче и удаленную от на расстояние : отсюда и название «преобразование посредством обратных радиусов»: радиусы – расстояния от точки до точек и обратны друг другу. Легко видеть, что при инверсии точки, лежащие вне окружности, переходят внутрь нее, а точки, лежащие внутри – наружу; поэтому, собственно, преобразование и называется инверсией. Точки окружности при инверсии преобразуются сами в себя. Инверсия относительно одной и той же окружности, примененная два раза, возвращает точку в прежнее положение: таким образом, обратным к инверсии преобразованием является та же самая инверсия.