Вписанные четырехугольники и их свойства |
Теорема Птолемея |
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
(1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Видео:8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать
Окружность, вписанная в четырехугольник
Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d ) |
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, ) | (1) |
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. ) | (2) |
Из равенств (1) и (2), следует:
( small AB+CD=AD+BC. ) |
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. ) | (3) |
Но по условию данной теоремы:
( small AB+CD=AD+BC. ) | (4) |
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 ) |
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 ) |
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1) |
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.
Видео:Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.
📽️ Видео
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать
Окружность, описанная около четырёхугольникаСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯСкачать
вписанный и описанный четырехугольникСкачать
2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать
Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать
Вписанная и описанная окружность в четырехугольник.Скачать
Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Вписанные и описанные окружности в четырёхугольникиСкачать