Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, ∠OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим а из равнобедренного треугольника OPQ находим ∠POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:
Далее CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, Откуда
следовательно
По формуле Герона находим: Значит,
Ответ :
Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко.
По условию тогда так как Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому а По свойству касательных и тогда
Из прямоугольного треугольника BQN найдем BQ:
Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника BQN найдем QT:
Найдем площадь треугольника BQP:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |
---|---|---|
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Видео:Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать Окружность, вписанная в треугольникЧто такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства? Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Общие точки окружности и треугольника называются точками касания. Запись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r». На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC. M, K, F- точки касания. Свойства вписанной в треугольник окружности. 1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. 2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания): 3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков. (как отрезки касательных, проведенные из одной точки). Видео:Окружность с центром O вписанная в прямоугольный треугольник ЕГЭСкачать Окружность, вписанная в треугольникВидео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Определение окружности, вписанной в треугольникОпределение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1). Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник. Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника. При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника. Видео:Геометрия Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Она касается гипотенузы АВСкачать Теорема об окружности, вписанной в треугольникТеорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность. Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC. Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность. Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают. 🌟 ВидеоОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать 8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать 🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать ЕГЭ Задание 16 Вписанная окружность Теорема косинусовСкачать Разбор Задачи №16 из Работы СтатГрад от 19 апреля 2019Скачать В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать 🔴 В угол C, равный 79°, вписана окружность ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать ОГЭ, геометрия, задачи повышенной сложности. Часть 3Скачать Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать Радиус описанной окружностиСкачать ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать ОГЭ Задание 26 Треугольник Вписанная окружность ПлощадьСкачать |