Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, ∠OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим 
а из равнобедренного треугольника OPQ находим ∠POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:
Далее CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, 
Откуда
следовательно 
По формуле Герона находим: 
Значит, 
Ответ : 
Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко.
По условию 
тогда 
так как 
Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому 
а 
По свойству касательных 
и 
тогда 
Из прямоугольного треугольника BQN найдем BQ:
Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника BQN найдем QT:
Найдем площадь треугольника BQP:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |
|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Окружность, вписанная в треугольникЧто такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства? Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Общие точки окружности и треугольника называются точками касания. На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC. M, K, F- точки касания. Свойства вписанной в треугольник окружности.
1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):
3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.
(как отрезки касательных, проведенные из одной точки). Окружность, вписанная в треугольникОпределение окружности, вписанной в треугольникОпределение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).
Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник. Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника. При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника. Теорема об окружности, вписанной в треугольникТеорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC. Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность. Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают. |
Запись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».
