Архимедовы треугольники исследовательская работа (7 видео)

Исследовательская работа на тему: «Архимед и его открытия»

Исследовательская работа ученика 6 класса.

Содержание

Скачать:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Исследовательская работа «Архимедовы тела»
«Архимедовы и Платоновы тела, как основные формы шаров кусудамы».
Просмотр содержимого документа ««Архимедовы и Платоновы тела, как основные формы шаров кусудамы».»
🎥 Видео

Видео:ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
shtokgamer.pptx	2.26 МБ
shtokgamer.docx	423.87 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:Пифагоровы тройки 1. Египетский треугольникСкачать

Подписи к слайдам:

Подготовил ученик 6 «А» класса Штокгамер Арсений Дмитриевич руководитель Корыбко О льга Геннадиевна Архимед и его открытия

Изучить биографию Архимеда. Познакомиться с научными открытиями Архимеда. Рассказать о роли открытий Архимеда в науке. Составить список открытий, сделанных Архимедом и привести описание некоторых из них. Главная цель моей работы :

Изучить литературу о биографии Архимеда. Изучить открытия Архимеда. Показать роль открытий Архимеда в науке. Привести некоторые практические задачи. Перед собой я поставил следующие задачи :

Каждый знает историю о том, как Архимед открыл закон плавучести тел.

Известно, что: Архимед родился в Сиракузах, греческой колонии на острове Сицилия. Отцом Архимеда был математик и астроном Фидий. Отец привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии. Для обучения Архимед отправился в Александрию Египетскую — научный и культурный центр того времени Биография

В Александрии Архимед познакомился и подружился со знаменитыми учёными: астрономом Кононом, разносторонним учёным Эратосфеном, с которыми потом переписывался до конца жизни. В то время Александрия славилась своей библиотекой, в которой было собрано более 700 тыс. рукописей. Александрия

По окончании обучения Архимед вернулся на Сицилию. В Сиракузах он был окружён вниманием и не нуждался в средствах. Из-за давности лет жизнь Архимеда тесно переплелась с легендами о нём. « Архимедов винт » был изобретен ученым еще в юношеские годы и предназначался для орошения полей.

По свидетельствам Диодора Сицилийского, римские рабы в Испании осушали целые реки при помощи устройства, которое разработал Архимед во время визита в Египет. Это был так называемый «Архимедов винт» — мощный и одновременно очень простой винтовой насос.

Современники считали Архимеда чуть ли не полубогом, а его военные изобретения наводили ужас на римлян, ни с чем подобным ранее не сталкивавшимися. Архимед и его современники

Легенда рассказывает, что построенный Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею тяжёлый многопалубный корабль « Сиракузия » никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой он смог проделать эту работу одним движением руки. По легенде, Архимед заявил при этом: « Будь в моём распоряжении другая Земля, на которую можно было бы встать, я сдвинул бы с места нашу. »

Архимед развил идеи использования рычага. Так ученый создал в порту Сиракуз целый комплекс блочно-рычажных механизмов, которые значительно облегчили и ускорили процесс транспортировки тяжелых грузов.

Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 г. Осада

Архимед соорудил машины приспособленные к метанию снарядов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал издали, Архимед поражал его из дальнобойных камнеметальных орудий и повергал в трудное беспомощное положение.

Если же снаряды начинали летать поверх неприятеля, Архимед употреблял в дело меньшие машины, каждый раз сообразуясь с расстоянием, и наводил на римлян такой ужас, что они никак не решались идти на приступ или приблизиться к городу на судах.

Также архимед изобрел и применил механизмы, которые переворачивали вражеские корабли.

Существует также легенда, что Архимед приказал воинам наполировать до блеска щиты и направить отраженный от них солнечный свет на римские корабли, что привело к их возгоранию.

Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян существует в нескольких версиях: Смерть Архимеда

Рассказ Иоанна Цеца : в разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлян ина с криком: «Не тронь моих че ртежей!» Солдат останов ился и хладнокровно зарубил старика мечом.

По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе.

И какой ученый не мечтает хоть раз вскричать: «Эврика!» И знать, что тоже не зря прожил жизнь. Как Архимед, настоящий воин науки, который жил достойно и умер достойно — с палочкой для письма в руке.

Любое открытие — это переход через границу известного в сторону невозможного. Оно удел не только гениев, но и тружеников, мечтателей, людей с открытым сердцем.

Список открытий Архимеда

Определил центр тяжести плоских фигур, ввел понятие момента силы. Сделал расчет многоопорной балки («Книга опор»). Усовершенствовал винт, изобрел водоподъемные машины. Создал теорию рычага, описал простейшие механизмы. Интересовался вопросами гидростатики, в частности определил условия плавучести тел. Что сделал Архимед :

Исследовал оптику, описал свойства зеркал и отражений в них (труд «Катоптрика»). Определил угловые размеры Солнца, соотношения орбит планет, размеров Солнечной системы; Создал движущуюся модель небесной сферы; Определил число песчинок во Вселенной; изобрел принцип формирования больших чисел Доказал ряд математических теорем для определения площадей и объемов фигур.

Занимался проблемой квадратуры круга, дал точное значение числа пи и доказал, что оно одинаково для всех окружностей («Измерение круга», «О квадратуре параболы»). На основе его методики доказательств позднее были разработаны такие разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисления. Усовершенствовал различные портовые механизмы, изобрел военные машины.

На луне в честь Архимеда назван кратер. А вы знаете что?

Математические задачи, возникающие в жизни и в практической деятельности людей, в технике, и в науке, в том числе и в математике, весьма многочисленны и многообразны. Особенно большое внимание привлекали к себе в течение многих веков задачи, которые с давних времён известны как «знаменитые задачи древности ». Одной из таких задач является задача о трисекции угла. Задача о трисекции угла

Деление любого угла на три равные части называют трисекцией угла. Задача трисекции угла возникла в Древней Греции, примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. Можно построить треть прямого угла: поделив пополам угол правильного треугольника. А, проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30˚, получим угол величиной 15˚ — треть угла в 45˚. Есть и другие углы, для которых трисекция выполнима. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Историческая справка

Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 ° . Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN, откладываем на полупрямой AN произвольный отрезок AC , на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как ∠ CAB = 60 ° , то ∠ BAM = 30 ° . Построим биссектрису AD ∠ САВ , получаем искомое деление прямого ∠ MAN на три равных угла: ∠ NAD , ∠ DAB , ∠ BAM . Решение Пифогарейцев

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90 ° /2 n , n – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в . Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой.

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду AB окружности радиуса r на отрезок BC = r и провести через С диаметр FE , то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ . Действительно, на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем: ∠ AOE = ∠ OAB + ∠ ACO , ∠ OAB = ∠ ABO , ∠ ACO = ∠ BOC , ∠ OAB = 2 ∠ BOC значит, ∠ AOE = 3 ∠ BOC . Решение Архимеда

Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Прсвещение , 1982г Депман И. Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. — М.Просвещение,1989 Детская энциклопедия «Махаон» Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. — М.: Просвещение, 1995 Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика, 2-ое изд. – М: «Педагогика» -1989г Свечников А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. – М. :Просвещение, 1995 Шарыгин И.Ф., Л.Н. Ерганжиева . Налядная геометрия. 5 – 6 кл .: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. — М. : Дрофа, 2002 http :// ru . wikipedia . org / wiki / http :// www . google . ru Используемые ресурсы:

Видео:Египетский треугольник. Пифагоровы тройки.Скачать

Предварительный просмотр:

V школьная научно-исследовательская конференция учащихся

Архимед и его открытия

Автор: Штокгамер Арсений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 76», 6 «А» класс

Корыбко Ольга Геннадьевна,

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 76» г. Саратова

Введение
Биография Архимеда
Открытия Архимеда
Роль открытий Архимеда в науке
Список открытий
Заключение
Список источников и литературы

Моя работа называется «Архимед и его открытия». Главная цель моей работы узнать:

Изучить биографию Архимеда.
Познакомиться с научными открытиями Архимеда.
Рассказать о роли открытий Архимеда в науке.
Составить список открытий, сделанных Архимедом и привести описание некоторых из них.

Целью моей работы является изучение и исследование жизни Архимеда и его вклада в науку. Показать какую роль играют открытия Архимеда в жизни людей различных времен и народов. В этом учебном году у нас в школе появился новый предмет, который называется «Основы геометрии». На уроках мы узнали много для нас новых имен великих ученых. Поэтому у меня появился огромный интерес исследовать жизнь и деятельность Архимеда, его открытия, показать их роль в становлении науки.

Перед собой я поставил следующие задачи:

Изучить литературу о биографии Архимеда.
Изучить открытия Архимеда.
Показать роль открытий Архимеда в науке.
Привести некоторые практические задачи.

Б олее 20 веков и с каждым последующим веком все чаще творческое напряжение человеческой мысли завершается удовлетворенно – эмоциональным восклицанием «ЭВРИКА!» («НАШЕЛ!»). Нашел решение новой задачи, проблемы — ЭВРИКА! Придумал новый метод решения — ЭВРИКА! Сделал открытие — ЭВРИКА! По преданию это, ставшее крылатым, восклицание, знаменующее торжество разума, подарил человечеству величайший Архимед — самый знаменитый в плеяде самобытных математиков Древней Греции. Именно о нем английский математик XVII века Джон Валлис сказал: «Этот ученый обладал поразительной проницательностью. Он заложил первоосновы почти всех открытий, развитием которых гордится наш век».

Так какие же открытия сделал этот великий ученый?

Рассказы о жизни Архимеда содержатся у древних историков Полибия (II век до н.э.) и Тита Ливия (I век до н.э.), у писателей Цицерона (I век до н.э.), Плутарха (I-II в.в.) и других . Почти все они жили на много лет позже описываемых событий, и достоверность этих сведений оценить трудно.

Архимед родился в Сиракузах на острове Сицилия в 287 г. до Р.Х. Отец Архимеда, астроном и математик Фидий был одним из приближенных царя Сиракуз Гиерона. Фидий дал сыну хорошее образование, побуждая сына к творческому познанию астрономии, механики и математики. Позже тяга к углублению теоретических знаний привела его в Александрию (Египет) — тогдашний мировой научный центр. Здесь он познакомился со знаменитым астрономом Кононом и математиком Эратосфеном, усиленно работал в богатейшей библиотеке, изучал труды ученых Демокрита, Евдокса и других. «Начала» Евклида были настольной книгой Архимеда всю его жизнь. В Александрии первые его блестящие успехи были достигнуты в теоретической механике и ее практических применениях. Замечательным его изобретением была машина для поливки полей («винт-улитка»), имевшая и имеющая до сих пор большое хозяйственное значение в Египте, где дождей почти не бывает и где все сельское хозяйство основано на искусственном орошении. Архимед всегда так сильно увлекался наукой, что его приходилось силой отрывать от рабочего места покушать или насильственно уводить в баню, где он продолжал размышлять над геометрическими фигурами, которые он пальцем чертил на намыленном теле. Об этом ученом, его жизни и научной деятельности создано много легенд.

Одна из легенд рассказывает об открытии Архимедом выталкивающей силы. Царь Гиерон заказал мастеру корону из чистого золота. Когда заказ был выполнен, царь пожелал проверить, не подменил ли мастер часть данного ему золота серебром, и обратился к Архимеду, который в это время был советником царя. Архимед сразу не смог решить поставленную перед ним задачу. Он начал искать путь решения, не переставая думать об этом, даже когда занимался другими делами. Иначе не произошло бы то сказочное событие, которое легло в основу легенды.

Случилось оно, как говорят, в бане. Намылившись золой, Архимед решил погрузиться в ванну. Вода поднималась в ванне по мере того, как Архимед погружался в нее. Если он раньше не обращал на это внимания, то теперь это явление его заинтересовало; он привстал — уровень воды опустился, он снова сел — вода поднялась. «ЭВРИКА! Эврика! Я нашел!». Он выскочил из ванны и побежал за драгоценной короной.

Каждый знает историю о том, как Архимед открыл закон плавучести тел. Как он, занятый своими мыслями о способе вычисления объема сложного тела, залез в ванну, до краев наполненную водой.

Как вода полилась через край. И как Архимед, осененный увиденным, крича «Эврика!», что значит «Нашел!», побежал домой проверять открытие.

Если нас спросят, какое открытие Архимеда является самым важным, мы начнем перебирать — например, его знаменитое: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». Или сожжение римского флота зеркалами. Или определение числа «пи». Или основы для интегрального исчисления. Или винт. Но все равно будем не до конца правы. Все открытия и изобретения Архимеда важны для человечества. Потому что они дали мощный импульс для развития математики и физики, особенно ряда отраслей механики.

Но сам Архимед считал своим высшим достижением определение того, как соотносятся объемы цилиндра, шара и конуса, диаметры которых одинаковы, а высота равна диаметру. Это открытие помогло ему найти формулу для вычисления объемов и площадей поверхности данных тел. И он даже завещал выбить эти тела на своем надгробии.

Многие его работы не сохранились. Не сохранилось и жизнеописание, которое оставил Гераклит, хотя оно было известно еще в IV веке. Но и то, что дошло до нас, поражает своим объемом.

Все исследования Архимеда связаны между собой и опираются одно на другое. Создается впечатление, что работал он над ними одновременно. При этом применял разные методики доказательства и поиска.

Сначала — проверочные, потом, когда получал определенный результат, выводил более строгое доказательство, и очень часто новым методом. Похоже, не работал он, только когда спал. Даже пока его умащали, умудрялся на масле, нанесенном на тело, рисовать чертежи.

«Архимедов винт» был изобретен ученым еще в юношеские годы и предназначался для орошения полей.

Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников.

Легенда рассказывает, что построенный Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею тяжёлый многопалубный корабль «Сиракузия» никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой он смог проделать эту работу одним движением руки. По легенде, Архимед заявил при этом: «Будь в моём распоряжении другая Земля, на которую можно было бы встать, я сдвинул бы с места нашу»

Легенда рассказывает, что построенный Героном в подарок египетскому царю Птолемею тяжёлый многопалубный корабль «Сиракузия» никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой он смог проделать эту работу одним движением руки. По легенде, Архимед заявил при этом: «Будь в моём распоряжении другая Земля, на которую можно было бы встать, я сдвинул бы с места нашу»

Архимед соорудил машины, приспособленные к метанию снарядов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал издали, Архимед поражал его из дальнобойных камнеметальных орудий и повергал в трудное беспомощное положение

Также Архимед изобрел и применил механизмы, которые переворачивали вражеские корабли.

Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян существует в нескольких версиях:

Рассказ Иоанна Цеца : в разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлянина с криком: «Не тронь моих чертежей!» Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.

Рассказ Плутарха: «К Архимеду подошёл солдат и объявил, что его зовёт Марцелл. Но Архимед настойчиво просил его подождать одну минуту, чтобы задача, которой он занимался, не осталась нерешённой. Солдат, которому не было дела до его доказательства, рассердился и пронзил его своим мечом». Плутарх утверждает, что консул Марцелл был разгневан гибелью Архимеда, которого он якобы приказал не трогать.

Архимед сам отправился к Марцеллу, чтобы отнести ему свои приборы для измерения величины Солнца. По дороге его ноша привлекла внимание римских солдат. Они решили, что учёный несёт в ларце золото или драгоценности, и, недолго думая, перерезали ему горло.

Рассказ Диодора Сицилийского: «Делая набросок механической диаграммы, он склонился над ним. И когда римский солдат подошёл и стал тащить его в качестве пленника, он, целиком поглощённый своей диаграммой, не видя, кто перед ним, сказал: „Прочь с моей диаграммы!“

Затем, когда человек продолжил тащить его, он, повернувшись и узнав в нём римлянина, воскликнул: „Быстро, кто-нибудь, подайте одну из моих машин!“ Римлянин, испугавшись, убил слабого старика, того, чьи достижения являли собой чудо.

Как только Марцелл узнал об этом, он сильно огорчился и совместно с благородными гражданами и римлянами устроил великолепные похороны среди могил его предков. Что касается убийцы, то он, кажется, был обезглавлен».

Цицерон, бывший квестором на Сицилии в 75 году до н. э., пишет в «Тускуланских беседах», что ему в 75 году до н. э., спустя 137 лет после этих событий, удалось обнаружить полуразрушенную могилу Архимеда; на ней, как и завещал Архимед, было изображение шара, вписанного в цилиндр.

После себя Архимед не оставил учеников, поскольку не пожелал создавать своей школы и готовить приемников.

Некоторые вычисления Архимеда были повторены только спустя полторы тысячи лет Ньютоном и Лейбницем.

Изготовил первый в мире планетарий.

По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе.

Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре, астрономии, физике, и т.д.

Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы.

Одним из важнейших исследований Архимеда в области астрономии было вычисление расстояний между планетами. Эти расчеты дают возможность воссоздать облик «вселенной Архимеда». В ее середине находится Земля, вокруг нее обращаются Луна и Солнце. Орбиты трех ближайших планет Меркурия, Венеры и Марса — очерчены вокруг него. Радиусы планетных орбит кратны между собой и относятся как 1:2:4. По данным Архимеда, относительное (по сравнению с расстоянием от Земли до Солнца) значение радиуса орбиты Меркурия составляет 0,36 (в действительности 0,39, ошибка 8%), орбиты Венеры 0,72 (совпадает с действительным), Марса 1,44 (в действительности 1,52, ошибка 5%). Расчеты Архимеда, относящиеся к другим планетам, оказались неверными.

Интересной особенностью система мира Архимеда является пересечение орбит Сатурна и Юпитера с орбитой Марса. Это представление является неверным, но оно говорит о том, что Архимед представлял себе планеты как отдельные тела, летящие в пространстве.

Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Следующая кривая — циклоида — появилась только в XVII в. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2:3 .

Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга . Ученый вычислил отношение длины окружности к диаметру (число «пи») и нашел, что оно заключено между 3 10 / 71 и 3 1 / 7 . Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.

Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. В математике это был первый пример бесконечного ряда.

Задача о делении угла на три равные части возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей, разного рода украшений, многогранных колоннад, при строительстве, внутренней и внешней отделки храмов, надгробных памятников древние инженеры, художники встретились с необходимостью уметь делить окружность на три равные части, а это часто вызывало затруднения. Оригинальное и вместе с тем чрезвычайно простое решение задачи о трисекции угла дал Архимед

Роль открытий Архимеда в науке

Время Архимеда называют золотым веком греческой механики и науки — тогда были сделаны многие великие открытия. Со временем греческая культура пришла в упадок, и в начале нашей эры центр наук переместился в Азию, где были заботливо сохранены многие работы греческих ученых и философов.

И лишь к началу эпохи Возрождения все это богатство стало возвращаться в Европу. Работы Архимеда и других античных математиков вдохновляли многих, в том числе и Леонардо да Винчи, Ньютон, Лейбниц и многие другие ученые и философы просвещения также опирались на достижения Архимеда.

Леонардо да Винчи не только ссылался в своих работах на Архимеда, но и пытался воссоздать боевые машины, подъемные механизмы, винт, токарный станок. И, как положено гениям, шел дальше.

Многое, что сейчас считается само собой разумеющимся, было открыто тогда. Но какие уловки и хитрости, какая смелость для этого понадобились!

Чтобы посчитать количество песчинок во Вселенной, Архимеду требовалось знать ее размеры (пусть даже она ограничивается Солнечной системой) и размер Солнца, размеры орбит планет и размеры самих планет

Но как быть, если самое большое число — мириада (10 000), а песчинок явно больше? Это не остановило Архимеда. Нет больших чисел? Значит, их надо создать! И ведь создал! По похожему, но более простому принципу мы образуем большие числа и сейчас.

И еще одним результатом этой работы стала модель небесной сферы, которая приводилась в движение, по которой можно было наблюдать перемещение планет, Луны и Солнца, а также изменения фаз Луны, лунные и солнечные затмения. Эту модель после падения Сиракуз отвезли в Рим, и там, она находилась до IV века. Это лишь несколько хитростей, которых в его работах множество.

Список открытий Архимеда

Определил центр тяжести плоских фигур, ввел понятие момента силы.
Сделал расчет многоопорной балки («Книга опор»).
Усовершенствовал винт, изобрел водоподъемные машины.
Создал теорию рычага, описал простейшие механизмы.
Интересовался вопросами гидростатики, в частности определил условия плавучести тел. Исследовал оптику, описал свойства зеркал и отражений в них (труд «Катоптрика»).

Определил угловые размеры Солнца, соотношения орбит планет, размеров Солнечной системы.

Создал движущуюся модель небесной сферы.
Определил число песчинок во Вселенной; изобрел принцип формирования больших чисел (работа Доказал ряд математических теорем для определения площадей и объемов фигур («О спиралях», «О коноидах и сфероидах»).
Исследовал оптику, описал свойства зеркал и отражений в них (труд «Катоптрика»).

Определил угловые размеры Солнца, соотношения орбит планет, размеров Солнечной системы.
Создал движущуюся модель небесной сферы.

Определил число песчинок во Вселенной; изобрел принцип формирования больших чисел, доказал ряд математических теорем для определения площадей и объемов фигур («О спиралях», «О коноидах и сфероидах»).
На луне в честь Архимеда назвали кратер.

Задача о трисекции угла

Математические задачи, возникающие в жизни и в практической деятельности людей, в технике, и в науке, в том числе и в математике, весьма многочисленны и многообразны.

Особенно большое внимание привлекали к себе в течение многих веков задачи, которые с давних времён известны как «знаменитые задачи древности». Одной из таких задач является задача о трисекции угла.

Деление любого угла на три равные части называют трисекцией угла .

Задача трисекции угла возникла в Древней Греции, примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки.

Можно построить треть прямого угла: поделив пополам угол правильного треугольника. А, проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30˚, получим угол величиной 15˚ — третья часть угла в 45˚. Есть и другие углы, для которых трисекция выполнима. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки.

Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN, откладываем на полупрямой AN произвольный отрезок AC, на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как ∠ CAB = 60°, то ∠ BAM = 30°.

Построим биссектрису AD ∠ САВ , получаем искомое деление прямого ∠ MAN на три равных угла: ∠ NAD,

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой.

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду AB окружности радиуса r на отрезок BC = r и провести через С диаметр FE , то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно, на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем:

∠ AOE = ∠ OAB + ∠ ACO,

∠ OAB = ∠ ABO, ∠ ACO = ∠ BOC

значит, ∠ AOE = 3 ∠ BOC.

Работая над выбранной темой, нами было изучено много литературы, рассказывающей о жизни и деятельности Архимеда, его открытиях. Мы нашли в изученной литературе подтверждение тому, что Архимед – действительно великий ученый, который сделал много открытий не просто теоретических, а таких, которые использовались человеком еще в глубокой древности. Этот ученый достоин того, чтобы его имя знали все. Нами были проделаны некоторые опыты, которые оказались интересными, они подтверждают законы физики.

Такие люди, как Архимед, всегда были маяками. С них берут пример, у них учатся, ими вдохновляются.

Математика обязана этому знаменитому ученому своими драгоценнейшими открытиями и важнейшими истинами, образующими блестящую эру прогресса в древности. Биографы Архимеда не оставили нам сведений, под чьим руководством он занимался в детстве; но кто бы ни были его учителя, он их превзошел.

К великому несчастию для человечества, многие его открытия из области геометрии не дошли до нас, но и того, что составляет наше достояние, совершенно достаточно, чтобы предать его память заслуженному бессмертию. Арифметику Архимед обогатил своим трактатом, под названием «Псамит» (в котором он указывает способ для вычисления количества песчинок, могущих заключиться в объеме земного шара).

Труды Архимеда в астрономии, геометрии, механике велики и многочисленны, но в нем неистребимо жила страсть к изобретательству, к материальному воплощению найденных теоретических закономерностей. Архимед — редчайшее в науке сочетание высокого теоретика с виртуозом инженером. И сегодня нельзя без восхищения и удивления читать дошедшие до нас строки Плутарха, рассказывающие об осаде Сиракуз римским полководцем Марцеллом. Десятки сконструированных Архимедом катапульт всех «калибров» метали каменья в корабли захватчиков, на их головы неслись тучи копий и дротиков из метательных машин. Хитроумные журавлеподобные механизмы поднимали своими клювами людей и сбрасывали их с высоты. Были машины, способные даже корабли поднять над водой за нос, чтобы затем низвергнуть их в пучину. «Что ж, придется нам прекратить войну против геометра», — невесело шутил Марцелл. Архимед победил. Он совершил высочайший научный и гражданский подвиг, этот «Главный Конструктор» древних Сиракуз. И когда предательство открыло римлянам ворота в город, он погиб как солдат под мечом римского легионера.

«Архимед был настолько горд наукой… — писал Плутарх, — что именно о тех своих открытиях, благодаря которым он приобрел славу… он не оставил ни одного сочинения». Да, мы не знаем конструкций его боевых машин. Я подумал: может быть, там, в осажденных Сиракузах, в 212 году до нашей эры и родилась секретность, и пергаменты с чертежами Архимеда были первыми, на которых стоял гриф недоступности.

Факт остается фактом: Древний Рим так и не узнал всех секретов Архимедовых машин, и единственным трофеем Марцелла, украшением его дома стала знаменитая «сфера» Архимеда — сложнейшая модель небесных светил. Много лет спустя, глядя на нее, Марк Туллий Цицерон сказал»… этот сицилиец обладал гением, которого, казалось бы, человеческая природа не может достигнуть».

На своей могильной плите Архимед повелел выгравировать шар и цилиндр — символы его геометрических открытий. Могила заросла репейником, и место это было забыто очень скоро. Лишь через 137 лет после его смерти тот же Цицерон разыскал у Ахродийских ворот этот могильный камень, на котором песчинки, поднятые душным сирокко — ветром из Сахары, уже стерли часть знаков. А потом могила опять затерялась, теперь уже навсегда. Но осталось имя Архимеда.

Видео:Визуализация всех возможных пифагоровых троек [3Blue1Brown]Скачать

Исследовательская работа «Архимедовы тела»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

Выполнил: Григорьев Иван, Тимофей, ученик 5А класса

МБОУ «СОШ № 59» г.Барнаула

Захарова Людмила Владимировна,

МБОУ «СОШ № 59» г.Барнаула

Биография Архимеда………………………………. 3

Научная деятельность Архимеда………………….. 5

Архимедовы тела………………. 8

Полуправильные многогранники в архитектуре..……………11

Такая наука, как геометрия часто встречается в нашей жизни. Мы иногда даже не замечаем, сколько предметов похожих на геометрические фигуры, мы используем в повседневной жизни, в живописи, архитектуре. В начальной школе я встречался с правильными многогранниками, но на уроке математики я узнал, что существуют еще полуправильные многогранники. Я решил выяснить, что же они из себя представляют, а также попробовать найти их в нашем мире, более развитом и продвинутом.

Цель проекта: исследовать историю возникновения полуправильных многогранников.

— ответить на вопрос кто из математиков древности впервые исследовал полуправильные многогранники;

— что такое полуправильный многогранник, и где он встречается;

— сколько существует полуправильных многогранников.

Объект исследования: многогранники

Предмет исследования: полуправильные многогранники

— изучение литературы по данной теме ;

— обработка полученных данных.

Архимед – выдающийся древнегреческий математик, изобретатель и инженер, живший в III веке до н. э. Родился этот человек в 287 году до н. э. в городе Сиракузы на Сицилии. В то время это была колония Древней Греции и именовалась Великой Грецией. Она включала в себя территорию современной Южной Италии и Сицилию.

Дата рождения известна со слов византийского историка Иоанна Цеца. Жил он в Константинополе в XII веке. То есть почти через полторы тысячи лет после Архимеда. Он также написал, что знаменитый древнегреческий математик прожил 75 лет. Столь точная информация вызывает определённые сомнения, но проявим уважение к выдающимся умам древности и примем указанные даты и цифры за истину.

1. Биография Архимеда

Родился выдающийся житель Великой Греции в 287 году до н. э., а умер в 212 году до н. э. Его отцом был астроном по имени Фидий, о котором ничего не известно. Также предполагаются родственные узы с тираном Сиракуз Гиероном II. Наиболее подробную биографию Архимеда написал его друг Гераклид. Но данный труд был утерян, а поэтому подробности жизни математика и изобретателя остались неясными. Ничего не известно о его жене и детях, зато не вызывает сомнение учёба в Александрии, где находилась знаменитая Александрийская библиотека .

Там стремящийся к знаниям молодой человек наладил дружеские связи с математиком и астрономом Кононом Самосским и астрономом, математиком и филологом Эрастофеном из Кирен – это были известные учёные того времени. С ними у нашего героя завязалась крепкая дружба. Она продолжалась всю жизнь, а выражалась в переписке.

Именно в стенах Александрийской библиотеки Архимед ознакомился с работами таких известных геометров как Евдокс и Демокрит. Он также почерпнул много других полезных знаний и через несколько лет вернулся на родину в Сиракузы. Там он быстро зарекомендовал себя умным и одарённым человеком, и прожил долгие годы, пользуясь уважением окружающих.

Умерла выдающаяся личность во время Второй Пунической войны, когда римские войска после 2-х лет осады захватили Сиракузы. Командовал римлянами Марк Клавдий Марцелл. Согласно Плутарху, он приказал найти Архимеда и доставить к нему. Римский солдат пришёл в дом к выдающемуся математику, когда тот размышлял над математическими формулами. Солдат потребовал немедленно отправляться с ним и встретиться с Марцеллом.

Но математик отмахнулся от навязчивого римлянина, сказав, что вначале должен завершить работу. Солдат возмутился и заколол умнейшего жителя Сиракуз мечом. Есть также версия, утверждающая, что Архимеда убили прямо на улице, когда он нёс в руках математические инструменты. Римские солдаты решили, что это ценные предметы и зарезали математика. Но как бы там ни было, а смерть этого человека возмутила Марцелла, так как был нарушен его приказ.

Архимеда убивает римский солдат

Через 140 лет после этих событий в Сицилию прибыл известный римский оратор Цицерон. Он попытался найти могилу Архимеда, но никто из местных жителей не знал, где она находится. Наконец, могила была найдена в полуразрушенном состоянии в зарослях кустарника на окраине Сиракуз. На могильном камне были изображены шар и вписанный в него цилиндр. Под ними были выбиты стихи. Однако данная версия не имеет никаких документальных доказательств.

В начале 60-х годов XX века во дворе отеля «Панорама» в Сиракузах также была обнаружена древняя могила. Владельцы отеля стали утверждать, что это и есть место захоронения великого математика и изобретателя древности. Но опять же не представили никаких убедительных доказательств. Одним словом, по сей день неизвестно, где похоронен Архимед, и в каком месте находится его могила.

1.2.Научная деятельность Архимеда

Этот выдающийся человек внёс очень большой вклад в развитие математики. Он сумел найти общий метод при расчётах объёмов и площадей, используя бесконечно малые величины. То есть именно он заложил основу интегральных исчислений. Он также доказал, что отношение длины окружности к диаметру является величиной постоянной. Заложил основу дифференциальных исчислений, то есть сделал всё то, что математики сумели продолжить только в XVII веке. Отсюда можно смело утверждать, что этот человек обогнал математическую науку на 2 тыс. лет.

В механике он разработал рычаг и начал успешно применять его на практике. В порту Сиракуз были сделаны блочно-рычажные механизмы, которые поднимали и опускали тяжёлые грузы. Изобрёл также архимедов винт, с помощью которого вычерпывали воду. Создал теорию об уравновешивании равных тел.

Доказал, что на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Эта идея пришла ему в голову в ванне. Она своей простотой так потрясла выдающегося математика и изобретателя, что он выскочил из ванны и в костюме Адама побежал по улицам Сиракуз с криком «эврика», что означает «нашёл». Впоследствии данное доказательство получило название закона Архимеда .

Во время долгой осады Сиракуз римлянами Архимед был уже пожилым человеком, но его ум не потерял остроты. Как писал Плутарх, под его руководством были построены метательные машины, забрасывающие римских воинов тяжёлыми камнями. Также были сделаны метательные машины близкого действия. Они уничтожали врагов вблизи стен, сбрасывая на них бочки с кипящей смолой и каменные ядра.

Римские галеры, снующие в порту Сиракуз, подверглись атакам специальных кранов с захватывающими крюками (коготь Архимеда). С помощью этих крюков осаждённые поднимали корабли в воздух и бросали вниз с большой высоты. Суда, ударяясь о воду, разбивались и тонули. Все эти технические достижения напугали захватчиков. Они отказались от штурма города и перешли к длительной осаде.

Существует легенда, что Архимед распорядился отполировать щиты до зеркального блеска, а затем расположил их таким образом, что они, отражая солнечный цвет, фокусировали его в мощные лучи. Их направили на римские корабли, и те сгорели. Уже в наше время греческий учёный Иоаннис Саккас создал каскад из 70 медных зеркал и с его помощью поджёг фанерный макет корабля, который находился на расстоянии 75 метров от зеркал. Так что данная легенда вполне могла иметь под собой практическую основу.

Сфокусированный солнечный луч поджигает судно

Ну и, конечно, выдающийся изобретатель не мог обойти своим вниманием астрономию, ведь в то далёкое время она была чрезвычайно популярна. Он пытался определить расстояние от Земли до планет, но при этом руководствовался тем, что центром мира является Земля, а Солнце и Луна вращаются вокруг неё. В то же время он предполагал, что Марс, Меркурий и Венера вращаются вокруг Солнца.

Свои работы Архимед писал на дорическом греческом языке – диалект, на котором говорили в Сиракузах. Но подлинники не сохранились. Они дошли до нас в пересказе других авторов. Всё это систематизировал и собрал в единый сборник византийский архитектор Исидор из Милета, живший в Константинополе в VI веке. Этот сборник в IX веке был переведён на арабский язык, а в XII веке его перевели на латынь.

В эпоху Возрождения труды греческого мыслителя были опубликованы в Базеле на латинском и греческом языках. На основе этих работ Галилео Галилей в конце XVI века изобрёл гидростатические весы.

В 1906 году профессор из Дании Йохан Людвиг Хейберг обнаружил в Константинополе молитвенный сборник из 174 страниц, написанный в XIII веке. Учёный выяснил, что это был палимпсест, то есть текст, написанный поверх старого текста. В то время такое являлось обычной практикой, так как выделанная козлиная кожа, из которой делали страницы, стоила очень дорого. Старый текст соскабливали, а поверх него наносили новый.

Выяснилось, что соскобленная работа являлась копией неизвестного трактата Архимеда. Написана копия была в X веке. С помощью ультрафиолетового и рентгеновского света этот неизвестный доселе труд был прочитан. Это были работы о равновесии, об измерении окружности сферы и цилиндра, о плавучих телах. В настоящее время данный документ хранится в музее города Балтимора (штат Мэриленд, США).

Видео:Edu: Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора?Скачать

«Архимедовы и Платоновы тела, как основные формы шаров кусудамы».

Детское научное объединениеобучающихся

Просмотр содержимого документа
««Архимедовы и Платоновы тела, как основные формы шаров кусудамы».»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 8 г. Пересвета».

Детское научное объединение обучающихся

«Архимедовы и Платоновы тела, как основные формы шаров кусудамы».

Основная возрастная группа обучающихся: 10-12 лет

Ганина Елена Евгеньевна

Данилина Мария Владимировна

Крылова Ирина Константиновна

Выяснить, что такое шары кусудамы, увидеть в них сходства с правильными, полуправильными многогранниками, дать шарам кусудамы описание с геометрической точки зрения. Научить моделировать многогранники и шары кусудамы, а также провести сравнение и сопоставление шаров кусудамы с правильными многогранниками.

1. Собрать и изучить литературу по темам «Платоновы и архимедовы тела», «Шары кусудамы».
2. Познакомиться с древним японским искусством Кусудама.
3. Сравнить и сопоставить шары кусудамы с правильными многогранниками.
4. Применяя развертки правильных и полуправильных многогранников, изготовить шары кусудамы.

В рамках дополнительной общеразвивающей программы «Математическое моделирование» на занятиях обучающиеся 5-6-х классов заинтересовались темой «Объёмные тела» и выполнили проектную работу «Архимедовы и Платоновы тела, как основные формы шаров кусудамы». Выступили с проектом перед обучающимися школы, заинтересовав их необычными, красивыми фигурами. Таким образом, к проекту подключились ребята старших возрастных групп.

Обучающиеся 5-9-х классов заинтересовались геометрией, увидели ее связь с жизнью, красоту, получили навыки моделирования и конструирования. Обучающиеся 5-6-х классов научились изготавливать различные многогранники по готовым разверткам, а обучающиеся 7-9-х классов — шары кусудамы на основе правильных и полуправильных многогранников. Эти умения помогут ребятам развить пространственное воображение и облегчат изучение геометрии в 7-11 классах. Кроме того, обучающиеся познакомились с древним искусством Японии.

Кроме того, обучающиеся 10 класса провели мастер-классы в начальной школе. Младшие школьники научились изготавливать простейшие геометрические тела из бумаги.

Социальная значимость проекта:

Данный проект направлен на то, чтобы заинтересовать подрастающее поколение наукой геометрией, показать ее связь с искусством, привить навыки моделирования и конструирования.

Мероприятия, проведенные в рамках проекта:

Начало проекта — октябрь 2018 г. Были определены тема, цель, задачи проекта, намечены шаги выполнения.
Октябрь — декабрь 2018 г. — изучение литературы по темам «Архимедовы и Платоновы тела» и «Шары кусудамы»
Январь-март 2019 г. — поиск разверток шаров кусудамы и их изготовление.
Занятия проходили в школе.

Обучающиеся 1-11-ых классов.

Кусудамы — это древние декоративные традиционные японские изделия в технике оригами. А оригами — это искусство складывания различных фигурок из бумаги.
Кусудама – это шарообразная фигурка, выполненная из модулей различных форм и размеров. Слово «кусудама» переводится с японского языка, как «лекарственный шар». В древности японцы складывали кусудаму, помещали внутрь лечебные травы и подвешивали над постелью больного.
Сам процесс создания цветочного шара сводится к складыванию модулей и собиранию из них шара. Модули соединяются вместе тремя способами: вкладываются друг в друга, склеиваются или же сшиваются. Модули – это листки бумаги прямоугольной или квадратной формы, различных размеров.
Кусудамы во многом похожи на многогранники. Они в большинстве своём состоят из большого количества частей и имеют чёткую геометрическую форму.
Основой кусудамы, как правило, является какой-либо правильный многогранник (чаще всего куб, додекаэдр или икосаэдр). Несколько реже (в силу большей сложности и трудоёмкости изготовления) за основу берётся полуправильный многогранник.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «Платоновны тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до нашей эры), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику.
Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер.
Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Полуправильные многогранники — это различные выпуклые многогранники, которые, не являются правильными, но имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками.
Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, поэтому они получили название «Архимедовы тела». Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.
Все шары кусудамы можно разделить на два вида: цветочные геометрической формы и в точности принимающие форму многогранника. Поэтому все многогранники являются шарами кусудамами геометрической формы.
Модели шаров кусудамы в форме многогранников, производят на человека эстетическое впечатление и могут использоваться в качестве декоративных украшений.
Создание кусудам – это такое занятие, которое способно дарить и щедро дарит людям радость одухотворённого соединения движения мысли, души и рук даже при самых сложных жизненных обстоятельствах.
Как сказал русский математик Л.А. Люстернак: «Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии».