Окружность с центром о вписана в треугольник абс

Задание 16. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1.

а) Докажите, что C1Q — биссектриса угла AC1B1.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник AB1C1 если известно что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20.

а) В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Стороны AB и AC – касательные к окружности и по теореме об отрезках касательных AC1=AB1 и, следовательно, треугольник AC1B1 – равнобедренный. AQ – биссектриса угла A по условию и в равнобедренном треугольнике AC1B1 биссектриса AA2 (продолжение AQ) является медианой и высотой. Следовательно, QA2 в треугольнике C1QB1 является также медианой и высотой, а сам треугольник C1QB1 – равнобедренный, так как .

По теореме об угле между касательной (AC1) и хордой (C1B1), имеем:

,

следовательно, C1Q – биссектриса угла AC1B1.

б) Рассмотрим треугольник AC1B1. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов, поэтому для AC1B1 центр вписанной окружности соответствует точке Q.

Найдем расстояние от точки O до точки Q, равный радиусу r вписанной окружности в треугольник ABC. Используя формулу площади треугольника ABC, можно записать

,

где p – полупериметр треугольника ABC. То есть, радиус r, равен:

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона:

,

где a, b, c – стороны треугольника ABC.

Делаем вычисления. Полупериметр треугольника ABC, равен:

,

площадь треугольника ABC, равна:

и радиус вписанной окружности

,

Видео:2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать

Окружность с центром о вписана в треугольник абс

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, ∠OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим а из равнобедренного треугольника OPQ находим ∠POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:

Далее CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, Откуда

следовательно

По формуле Герона находим: Значит,

Ответ :

Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко.

По условию тогда так как Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому а По свойству касательных и тогда

Из прямоугольного треугольника BQN найдем BQ:

Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника BQN найдем QT:

Найдем площадь треугольника BQP:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости...Скачать Задание 16. Математика ЕГЭ. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1. Задание. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1. а) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1. б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14. Решение: Угол ∠QB1C1 – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, т. е. Так как АВ – касательная к окружности и QC1 – хорда окружности, то угол между хордой и касательной окружности, проведенной через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла, т. е. б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14. Так как AQ и C1Q – биссектрисы треугольника ∆AB1C1, тогда точка пересечения биссектрис Q – центр вписанной в треугольник ∆AB1C1 окружности. Точка Q – точка пересечения биссектрисы AQ и окружности с центром О, то расстоянием от точки О до точки Q – центра окружности, вписанной в треугольник ∆AB1C1 является OQ – радиус окружности с центром О, вписанный в треугольник ∆АВС. P = 13 + 15 + 14 = 42 Площадь треугольника ∆АВС найдем по формуле Герона: 📺 Видео Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать Геометрия Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Она касается гипотенузы АВСкачать №203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 НайдитеСкачать Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать 2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать Треугольник ABC вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭСкачать Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать 🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Окружность с центром в точке O описана ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать 17)Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности