Окружность с центром о расположенном внутри прямоугольной трапеции

Окружность с центром O, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины B и C большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке T.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

а) Угол BTC вписан в окружность, а угол BOC — соответствующий ему центральный угол. Следовательно, ∠BOC = 2∠BTC.

б) Из условия касания окружности и стороны AD следует, что прямые OT и AD перпендикулярны. Пусть окружность вторично пересекает прямую AB в точке L и сторону CD — в точке M. Тогда диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам. Обозначим OT = r, тогда

По теореме Пифагора По теореме о касательной и секущей Следовательно,

Аналогично

Из теоремы синусов следует, что BC = 2r · sin&nbsp∠BTC. Пусть h — искомое

расстояние от точки T до прямой BC . Выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

Отсюда получаем, что Следовательно,

Заметим, что AL больше радиуса окружности, а DC меньше диаметра, поэтому DC Ответ: 6.

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T ?

Геометрия | 10 — 11 классы

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T .

Б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC , если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

Если продлить боковые стороны до пересечения в точке E, и обозначить

EC * sin(α) = CD = 9 ;

EB * sin(α) = AB = 4 ;

если перемножить, получится

EB * EC * (sin(α)) ^ 2 = 9 * 4 = 36 ;

ЕB * EC = ET ^ 2 ; и расстояние h от T до BC равно h = ET * sin(α) ; поэтому

Видео:№17. Профильный ЕГЭ. Планиметрическая задача. ТИП 2Скачать

Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию?

Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию.

Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1 : 4.

Через центр окружности и вершину трапеции проведена прямая.

Найдите площадь треугольника отсекаемого от этой трапеции данной прямой.

Видео:ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC ?

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC .

Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.

Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, BC = 3.

Видео:🔴 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Около окружности описана прямоугольная трапеция?

Около окружности описана прямоугольная трапеция.

Расстояния от центра окружности до концов боковой стороны равны 15см и 20см.

Найдите основания и площадь трапеции.

Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC?

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC.

Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.

Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание равно меньшей боковой стороне?

В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание равно меньшей боковой стороне.

Диагональ, проведённая из вершины тупого угла, перпендикулярна большей боковой стороне, равной 8√2 см.

Найдите периметр и площадь трапеции.

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Окружность проходит через вершины C и D прямоугольной трапеции ABCD (угол C = углу D = 90 градусам)?

Окружность проходит через вершины C и D прямоугольной трапеции ABCD (угол C = углу D = 90 градусам).

Найти радиус окружности, если известно, что окружность касается прямой AB в точке B и длины боковых сторон трапеции равны 4 и 5.

Видео:Задача 6 №27633 ЕГЭ по математике. Урок 74Скачать

Докажите что прямая проведенная через середины основания трапеций проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку прододжения боковых сторон?

Докажите что прямая проведенная через середины основания трапеций проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку прододжения боковых сторон.

Видео:прямоугольная трапецияСкачать

Внутри равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC = 12, AD = 28 и боковой стороной CD = 10 выбрана точко О так, что окружность с центром в точке О касается оснований трапеции и стороны CD ?

Внутри равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC = 12, AD = 28 и боковой стороной CD = 10 выбрана точко О так, что окружность с центром в точке О касается оснований трапеции и стороны CD .

Найдите площадь треугольника ABO.

Видео:🔴 В прямоугольной трапеции основания ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом А и меньшим основанием ВС = 2?

ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом А и меньшим основанием ВС = 2.

Окружность с центром в точке О касается прямой ВС в точке С и проходит через точки А и D.

Найдите длину стороны АВ, если известно, что она больше радиуса этой окружности.

Видео:ЕГЭ ПЛАНИМЕТРИЯ ШАЛОВЛИВАЯ ЗАДАЧА О ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРАПЕЦИИ | ДОКТОР СКОТЧ | ГАРМАШУКСкачать

Окружность, построенная, как на диаметре, на боковой стороне AB равнобокой трапеции ABCD, касается боковой стороны CD и пересекает большее основание AD ещё в точке H?

Окружность, построенная, как на диаметре, на боковой стороне AB равнобокой трапеции ABCD, касается боковой стороны CD и пересекает большее основание AD ещё в точке H.

Найти площадь трапеции, если BC = 2 и ∠BAD = 60° .

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T ?, относящийся к уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Углы равны 30 градусов и 150 — — — (5 + 1 = 6 ; 180 ; 6 = 30 ; ) опусти высоту, получишь прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, в два раза меньший гипотенузы. Значит одна высота у тебя есть — ..

1. Строится угол при вершине. На обоих лучах угла откладывается длина боковой стороны. Концы отрезков, соединяясь, образуют равнобедренный треугольник. 2. Строится угол при основании. На одном из лучей, циркулем, откладывается длина боковой сторо..

A) a = — 2i + 4j Б) чертим на координатной прямой этот вектор. Направлен по оси ох, против оу, следовательно, AB = 6i — 1j = 6i — j.

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Задача 16 геометрия на ЕГЭ-2021 по математике

На этой странице — обзор разных типов заданий № 16 ЕГЭ-2021 по математике, то есть задач по геометрии.

Все они имеют нечто общее: во-первых, это стандартный уровень сложности, то есть вполне решаемые задачи. Пункт (а) в них вообще простой.

Во-вторых, в каждой из них применяются свойства четырехугольников, вписанных в окружности.

В первой задаче такая окружность находится почти сразу, причем она – вспомогательная, и ее можно даже не изображать на чертеже. Главное – найти равные вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну дугу.

Также здесь использована формула синуса тройного угла. Если вы ее забыли – не беда. Ведь а формулу синуса суммы вы знаете.

1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой меньшее основание ВС равно боковой стороне. Точка Е такова, что ВЕ перпендикулярно AD и СЕ перпендикулярно BD.
а) Доказать, что угол АЕВ равен углу BDA.
б) Найти площадь трапеции ABCD, если АВ = 32, косинус угла АDВ равен

– равнобедренный, CM – высота, проведенная к основанию, значит, M – середина BD.

Докажем, что точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.

ABCD – равнобедренная трапеция, ее можно вписать в окружность.

В – медиана и высота, значит, равнобедренный, BE = ED.

Тогда по трем сторонам, четырехугольник BCDE можно вписать в окружность, т.к.

Так как вокруг можно описать только одну окружность и вокруг четырехугольников ABCD и BCDE тоже можно описать окружность, точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности, так как опираются на одну и ту же дугу AB (точки E и D лежат по одну сторону от прямой AD).

б) Так как AB = BC = CD, то дуги AB, BC и CD также равны.

Четырехугольник ABDE вписан в окружность, тогда

По формуле синуса тройного угла,

тогда по теореме синусов

Проведем в трапеции ABCD высоту CK, тогда

BH и CK – высоты трапеции, а так как трапеция равнобедренная, то

Во второй задаче мы увидим ту же идею: вспомогательную окружность. Это один из методов, помогающих решать задачи ЕГЭ по геометрии. Есть здесь и другой мощный прием – использование двух пар подобных треугольников. И еще свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Если вы в восьмом и девятом классе учили геометрию – вы должны владеть этими приемами.

2. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Из вершины С на гипотенузу опущена высота СН, на АС и ВС соответственно отмечены точки М и N так, что угол MHN – прямой.
а) Докажите, что треугольники МNH и АВС подобны.
б) Найдите СN, если АС = 5, СМ = 2, ВС = 3.

а) Рассмотрим четырехугольник CMHN.

по условию, значит, CMHN можно вписать в окружность; вписанные, опираются на дугу HN.

Запишем соотношение сходственных сторон.

По условию, AM = 3, найдем CH — высоту

по теореме Пифагора,

AH — проекция катета AC на гипотенузу, по свойствам прямоугольного треугольника, отсюда

В следующей задаче мы снова видим окружность и вписанную в нее трапецию. И наверное, вы уже заметили: пункт (а) задач по геометрии на ЕГЭ часто оказывается подсказкой для решения пункта (б). То, что мы доказали в (а), мы используем в пункте (б).

3. Даны 5 точек на окружности: A, B, C, D, E, причем АЕ = ED = CD, ВЕ перпендикулярен АС.
Точка Т – точка пересечения АС и BD.
а) Докажите, что отрезок ЕС делит отрезок ТD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD = 10, АЕ =

Докажем, что M — середина TD.

Если AE = ED = DC, то дуги AE, ED, DC, также равны;

— накрест лежащие, при пересечении AC и DE секущей CE, значит, AEDC — равнобедренная трапеция. значит, BD — диаметр окружности.

(опирается на диаметр), по катету и гипотенузе, тогда DM — биссектриса равнобедренного т.к. — равнобедренный, то DM — медиана M — середина CE, кроме того, DM — высота

В — медиана и высота, значит, — равнобедренный, а так как — накрест лежащие, при параллельных прямых AC и DE и секущей CE, то по боковой стороне и углу при основании, тогда

CDET — ромб, M — точка пересечения его диагоналей, M — середина TD.

Мы нашли, что AE = ED = CD = CT = ET.

BD = 10 — диаметр окружности.

— равнобедренный, AE = ET, — высота и медиана

Тогда BN — медиана и высота — равнобедренный, AB = BT.

Обозначим тогда — опираются на дугу AE,

Из по теореме синусов:

И еще одна трапеция, вписанная в окружность. Теперь вы точно выучите ее свойства наизусть! Также здесь применяется теорема о пересекающихся хордах. Все эти полезные теоремы, свойства и признаки можно найти в нашей универсальной шпаргалке – Справочнике Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Скачать Справочник бесплатно можно здесь.

4. Трапеция с большим основанием AD и высотой ВН вписана в окружность. Прямая BH пересекает окружность в точке К.

б) Найдите AD, если: радиус окружности равен шести, СК пересекается с AD в точке N и площадь четырехугольника BHNC в 24 раза больше, чем плошать треугольника KHN.

а) Трапеция ABCD вписана в окружность, следовательно, AB = CD (трапеция равнобокая)

Тогда — вписанные, опираются одну и ту же на дугу AK;

следовательно, CK — диаметр окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; — опирается на диаметр CK, значит,

(опираются на дугу BC), тогда

Обозначим так как HE = BC,

Из подобия треугольников KNH и KCB следует, что тогда

По теореме о пересекающихся хордах,

Представив левую часть уравнения как разность квадратов, получим:

По смыслу задачи тогда и значит

Задача по геометрии на ЕГЭ по математике оценивается в 3 балла. Как видите, в 2021 году эти 3 балла за геометрию можно было получить без особенных трудностей. На нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ мы решаем и такие задачи по геометрии, и более сложные. Если ты сейчас в 10-м или в 11-м классе – попробуй бесплатно Демо-доступ к Онлайн-курсу.

5. (Резервный день) Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.

А) Докажите, что ВМ = СМ
Б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К.

Найдите ВК : КР, если

а) Так как – радиус окружности, – равнобедренный, так как (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда

– угол между касательной и хордой,

Тогда т.е. – высота – прямоугольный, – равнобедренный, отсюда

Найдем BK : KP, если тогда

Значит, (вертикальные), — равнобедренный, тогда так как MK – биссектриса

🌟 Видео

Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

№746. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 смСкачать

2121 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Площадь прямоугольной трапеции и острым углом 30Скачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать