Окружность разделена параболой найти площадь частей (6 видео)

2461-1

Содержание

Информация о задаче
Условие задачи
Решение
Площадь фигуры в декартовой системе координат. Примеры
Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов
🎬 Видео

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Информация о задаче

Задача №2461 параграфа №1 главы №8 «Применения интеграла» книги Г.Н. Бермана «Сборник задач по курсу математического анализа» (22-е издание, 2002 год).

Видео:Стереометрия, номер 10.1Скачать

Условие задачи

Окружность [math]x^2+y^2=8[/math] разделена параболой [math]y=frac[/math] на две части. Найти площади обеих частей.

Видео:Задача времен холодной войны What Is The Area? HARD Geometry ProblemСкачать

Решение

Найдём точки пересечения заданных линий:

Графики пересекаются в точках [math](-2;2)[/math] и [math](2;2)[/math] . Пусть [math]S_1[/math] – площадь области, расположенной внутри параболы, а [math]S_2[/math] – область вне параболы. Так как и парабола и окружность симметричны относительно оси ординат, то [math]S_1=2S_0[/math] , где [math]S_0[/math] – площадь области, расположенной внутри параболы справа от оси ординат.

Так как радиус окружности [math]R=sqrt[/math] , то:

[dmath] S_2= pi-S_1 =6pi-frac. [/dmath]

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Площадь фигуры в декартовой системе координат. Примеры

Уравнение верхней и нижней границы:

Пример 2

В каком отношении парабола y 2 = 2 x делит площадь круга x 2 + y 2 = 8 ?

Точки пересечения: x 2 + 2 x – 8 = 0 → x ₁ = –4, x ₂ = 2 ( x > 0) .

Видео:Все НОВЫЕ Задания 11 с FIPI (ЕГЭ 2024 Профиль)Скачать

Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов

Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов.

I. Вычисление неопределенных интегралов

I.1. Применение основной таблицы интегралов. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. 8. ;

9. ; 10.

I.2. Замена переменных в неопределенном интеграле. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. .

I.3. Интегрирование по частям. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.

I.4. Интегрирование рациональных функций:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12)

I.5. Интегрирование иррациональных функций:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6)

I.6. Интегрирование тригонометрических функций:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10)

I.7. Интегрирование показательных и логарифмических функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) ; 7) ; 8)

II. Вычисление определенных интегралов.

II.1. Применение формулы Ньютона-Лейбница:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12)

II.2. Замена переменной в определенном интеграле:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8)

II.3. Средние значения функций.

Вычислить среднее значение функций в заданном сегменте:

1) в сегменте [1;4].

2) в сегменте [1;1,5].

3) и в сегменте [0;π].

4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в сегменте [-1;1]

II.4. Вычисление площадей плоских фигур.

1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

2). Окружность разделена параболой на две части. Найти площади обеих частей.

3). Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действительной оси.

4). Вычислить площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b], ограниченной линией .

5) Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией .

II.5. Вычисление длины дуги кривой.

1) Найти длину дуги линии от до .

2) Найти периметр одного из криволинейных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями и .

3) На циклоиде найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.

II.6. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения.

1) Вычислить площадь поверхности вращения параболы вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой .

2) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки синусоиды (от 0 до π) вокруг оси абсцисс.

3) Фигура, ограниченная гиперболой и прямой (h>0), вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

4) Симметричный параболический сегмент с основанием а и высотой h вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается («лимон Кавальери»).

III. Решение простейших дифференциальных уравнений.

III.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;