Окружность радиусом 4 см проведите касательную к этой окружности

Математика | 5 — 9 классы

Постройте окружность радиус равным 4 см проведите касательную к окружности .

Дайте основное свойство касательной .

Основное свойство косательной то , что она имеет только 1 общую точку с окружностью.

Видео:Школа для родителей. Циркуль, окружность, радиус, диаметр.Скачать

Начертите и обозначьте окружность с центром N и радиусом 2 см?

Начертите и обозначьте окружность с центром N и радиусом 2 см.

Постройте диаметр AB, хорды AC и BC, касательную к окружности в точке A.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Постройте касательную к окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности?

Постройте касательную к окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку A ?

Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку A .

Постройте касательную к окружности в точке A.

Видео:Касательные к окружностиСкачать

К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO найдите радиус окружности если AB = 14см?

К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO найдите радиус окружности если AB = 14см.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Найдите радиус окружности, если расстояния от концов диаметра до касательной равны 4 см и 8 см?

Найдите радиус окружности, если расстояния от концов диаметра до касательной равны 4 см и 8 см.

Видео:Геометрия Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. ОбщаяСкачать

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О?

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О.

Найдите радиус окружности , если угол между касательными равен 60 градусов , а расстояние от точки А до тоски О равно 6.

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

К окружности с центром в точке О проведены касательная АБ и секущая АО?

К окружности с центром в точке О проведены касательная АБ и секущая АО.

Найдите радиус окружности , если АБ = 65 , АО = 97.

Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

К окружности проведены две касательные Какие углы образует с ними отрезок, соединяющий точки касания, если угол между касательными равен 85 градусов?

К окружности проведены две касательные Какие углы образует с ними отрезок, соединяющий точки касания, если угол между касательными равен 85 градусов.

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Длина отрезка касательной , проведенной к окружности из точки а , равна 8, а растояние от точкиа до центра о окружности равно 10, найдите радиус окружности?

Длина отрезка касательной , проведенной к окружности из точки а , равна 8, а растояние от точкиа до центра о окружности равно 10, найдите радиус окружности.

Видео:Что такое круг окружность радиусСкачать

Из точки окружности проведены касательная и хорда, отделяющая от окружности 80 градусов Найди угол между хордой и касательной?

Из точки окружности проведены касательная и хорда, отделяющая от окружности 80 градусов Найди угол между хордой и касательной.

Вы зашли на страницу вопроса Постройте окружность радиус равным 4 см проведите касательную к окружности ?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

1, 10 ответ В — 3, решение в приложенном файле 1, 11 б — 16п 1, 12 в координата суммы вектора находится сложением координатсоответствующих векторов а( — 2 ; 3) в(3 ; 4) с = ( — 2 + 3 ; 3 + 4) = (1 ; 7).

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Практическая работа по теме «Прямая и окружность», 6 класс

Практическая работа по теме «Прямая и окружность» содержит задания с выбором ответа, задания на построение стандартного и усложненного уровня.

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа по теме «Прямая и окружность», 6 класс»

6 класс. Практическая работа по теме «Прямая и окружность»

З адание 1 (1 б.)

На каком рисунке изображены:

1) Непересекающиеся окружности

2) Окружности, имеющие внутреннее касание

3) Концентрические окружности

З адание 2 (1 б.)

На каком рисунке изображена:

1) Прямая, пересекающая окружность

2) Касательная к окружности

Задание 3 (1 б.) Постройте окружность радиусом 4 см. Проведите касательную к этой окружности.

Задание 4 (1 б.) Выясните, можно ли построить треугольник по трём данным сторонам: а) ; б) .

Задание 5 (1 б.) Постройте треугольник со сторонами 30 мм, 25 мм и 40 мм.

Задание 6 (2 б.) Начертите окружность, диаметр которой равен 8 см. Ометьте на окружности точку М. Найдите на окружности точки, удаленные от точки М на 5 см.

З адание 6 (2 б.) Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в точке А, основанием ВК, лежащим на прямой с, и боковыми сторонами равными 3 см.

Задание 7 (2 б.) Выполнить построение фигуры (любой, на выбор), изображенной на рисунке.

6 класс. Практическая работа по теме «Прямая и окружность»

З адание 1 (1 б.)

На каком рисунке изображены:

1) Непересекающиеся окружности

2) Окружности, имеющие внутреннее касание

3) Концентрические окружности

З адание 2 (1 б.)

На каком рисунке изображена:

1) Прямая, пересекающая окружность

2) Касательная к окружности

Задание 3 (1 б.) Постройте окружность радиусом 4 см. Проведите касательную к этой окружности.

Задание 4 (1 б.) Выясните, можно ли построить треугольник по трём данным сторонам: а) ; б) .

Задание 5 (1 б.) Постройте треугольник со сторонами 30 мм, 25 мм и 40 мм.

Задание 6 (2 б.) Начертите окружность, диаметр которой равен 8 см. Ометьте на окружности точку М. Найдите на окружности точки, удаленные от точки М на 5 см.

З адание 6 (2 б.) Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в точке А, основанием ВК, лежащим на прямой с, и боковыми сторонами равными 3 см.

Задание 7 (2 б.) Выполнить построение фигуры (любой, на выбор), изображенной на рисунке.

🎦 Видео

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Построение касательной к окружностиСкачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.Скачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать