Окружность пересекает две вершины трапеции и касается стороны (6 видео)

Окружность пересекает две вершины трапеции и касается стороны

Окружность с центром O, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины B и C большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке T.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

а) Угол BTC вписан в окружность, а угол BOC — соответствующий ему центральный угол. Следовательно, ∠BOC = 2∠BTC.

б) Из условия касания окружности и стороны AD следует, что прямые OT и AD перпендикулярны. Пусть окружность вторично пересекает прямую AB в точке L и сторону CD — в точке M. Тогда диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам. Обозначим OT = r, тогда

По теореме Пифагора По теореме о касательной и секущей Следовательно,

Аналогично

Из теоремы синусов следует, что BC = 2r · sin&nbsp∠BTC. Пусть h — искомое

расстояние от точки T до прямой BC . Выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

Отсюда получаем, что Следовательно,

Заметим, что AL больше радиуса окружности, а DC меньше диаметра, поэтому DC Ответ: 6.

Содержание

Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD (AD и ВС — основания) и касается стороны АВ в точке В. Докажите, что BD = √BC * AD
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Окружность пересекает две вершины трапеции и касается стороны
🌟 Видео

Видео:ЕГЭ Задание 16 Две касающиеся окружностиСкачать

Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD (AD и ВС — основания) и касается стороны АВ в точке В. Докажите, что BD = √BC * AD

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #3Скачать

Ваш ответ

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

решение вопроса

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

Окружность пересекает две вершины трапеции и касается стороны

Задание 16. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках K и L так, что AK = 19, KL = 12, LB = 3.

а) ABCD – трапеция, BL – биссектриса, следовательно, . Так как AD параллельна BC, то и , следовательно, угол ALB=90° и BL перпендикуляра AC.

Аналогично доказывается, что CL перпендикулярна BD. Получаем, что диагонали BD и AC перпендикулярны и в то же время являются биссектрисами углов. Следовательно, трапеция ABCD – это ромб, а у ромба биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

б) Задача сводится к нахождению высоты ромба. Рассмотрим равнобедренный треугольник OLK, т.к. OL=OK как радиусы одной окружности.