Окружность касается сторон равнобедренной трапеции с углом 50

Повторяются вписанные и центральные углы, их градусные меры.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Подписи к слайдам:

Углы, связанные с окружностью Подготовка к ГИА

Решение задач 1 вариант Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О, угол АОВ равен 8О ⁰, дуга АС относится к дуге ВС как 2 к 3. Найдите углы треугольника. 2 вариант Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол АВС равен 80 ⁰, дуга ВС относится к дуге АВ как 3 к 2 . Найдите углы треугольника АОВ.

Решение задач Окружность касается сторон прямоугольной трапеции с острым углом 40 ⁰. Найдите градусные меры дуг, на которые делят окружность точки касания. 1 2 3 Угол 1 равен34 ⁰угол 2 равен18⁰ Найдите угол 3.

Решение задач Дано: АЕ=4см; ВЕ=6см; DE больше СЕ на 5 см. Найти DE, CE. Дано: АЕ:ЕВ=6:1; CE: ED=1:3 ; АЕ больше ВЕ на 20см. Найдите отрезки хорд. A B E C D

Решение задач(2 часть) Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол КСВ, если угол АВС равен 20 ⁰. В окружности с центром в точке О проведены две хорды AC , BD которые пересекаются в точке Р. Докажите, что угол АРВ равен полусумме углов АОВ и АО D

Самостоятельная работа 1 вариант Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а острый угол равен 30 ⁰.Найдите площадь. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ВС=16см, AD=24 см, угол А равен 45⁰, угол D=90⁰ . 2 вариант Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD , делит эту сторону на отрезки АК=7см, KD=15 см. Найдите площадь, если угол А равен45 ⁰ Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ВС=13см, AD=2 7см, CD=10c м, угол D=30⁰

Домашнее задание Повторить подобие треугольников ( определение, признаки, теоремы о площадях подобных треугольников). Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр равен24 см и делит диаметр в отношении 9:16. Найдите радиус окружности.

Домашнее задание Окружность касается сторон равнобедренной трапеции с острым углом 50 ⁰. Найдите градусные меры дуг, на которые делят окружность точки касания.

Видео:Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Углы, связанные с окружностью

Геометрия 8 класса. Основные свойства вписанного угла, угла между секущей и касательной. Решение задач по теме.

Углы, связанные с окружностью

Урок предназначен для учащихся 8 класса, работающих по учебнику Л.С. Атанасяна, но с элементами углубленного изучения геометрии. На уроке обобщаются и систематизируются знания и умения учащихся. Приме.

Конспект урока по геометрии «Углы, связанные с окружностью. Решение задач» (8 кл)

Урок закрепления и развития знаний, умений, навыков по геометрии в 8 классе по теме: «Решение задач&raquo.

Домашняя работа «Углы,связанные с окружностью .»

Домашняя работа на повторение «Углы , связанные с окружностью».

Урок геометрии по теме: Углы, связанные с окружностью

Урок повторения с введением новых знаний.

Презентация по математике для 8 класса «Углы, связанные с окружностью»

Презентация создана на основе УМК Смирновой И.М.,содержит теоретическую часть, задачи и номера заданий в учебнике.

Видео:Строим проекции равнобедренной трапеции и определяем углы наклона ее высоты и плоскости к П1 и П2Скачать

16. Планиметрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

а) Проведем радиусы $OHperp BC$ и $OMperp AC$ с длинной $R.$ Так как центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, то $angle OBH=30^.$ Катет, лежащий против угла в $30^$ равен половине гипотенузы $Rightarrow OB=2OH=2R.$ По неравенству треугольника для $OBM$ имеем $BM &lt OM+OB=3R.$

б) Запишем теорему косинусов для треугольника $OBM:$

$OB^=OM^-2OMcdot BMcos angle BMO,$

cos$angle BMO=displaystyle frac=0,65.$

Так как $angle OMC=90^,$ то $sin angle BMC=sin (90^+angle BMO)=cos angle BMO=0,65.$

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.

а) Треугольники $ABD$ и $BMC$ — прямоугольные, так как опираются на диаметры окружностей. Тогда $AD$ и $CM$ перпендикулярны одной и той же прямой $DM$. Следовательно, $ADparallel MC.$

б) Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $AB.$ Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен $AM.$

Так как угол $AKB$ — вписанный, опирающийся на диаметр, то отрезок $KB$ перпендикулярен $AM.$ Значит, $ KBparallel OM $ и треугольники $AKB$ и $AOM$ подобны по двум углам:

$displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac,$

Проведем высоту $BP$ в треугольнике $BOP:$

Рассмотрим треугольники $ACM$ и $DCM.$ Они имеют одинаковые основания $MC$ и высоту $DM,$ а, значит, и равные площадию

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45∘, В₁С₁ = 6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

a) В треугольниках $ABC$ и $AB_C_$ $angle A$ — общий. $AC$ и $AB$ — секущие, проведениные из одной точки, следовательно, $displaystyle frac<AB_>=displaystyle frac<AC_>.$ Тогда треугольники $ABC$ и $ AB_C_$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату линейного отношения соответсвенных элементов данных фигур:

$displaystyle frac<S_<AB_C_>><S_>=left( displaystyle frac<B_C_>right)^=left( displaystyle frac<AC_>right) ^=left( displaystyle frac<AB_>right)^=displaystyle fracRightarrow BC=3B_C_=18.$

По теореме косинусов в треугольнике $ACC_:$

По теореме синусов $ACC_:$

Искомый радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $BCC_.$ по теореме синусов из треугольника $BCC_:$

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $displaystyle frac=sin angle D$.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $displaystyle frac$ и $displaystyle frac$ .

а) Продолжим стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точки $R$. Окружности вписаны в угол, следовательно, их центры лежат на биссектрисе этого угла. Точка $P$ лежит на одной прямой с центрами окружности, значит, $RP$ — биссектриса треугольника $ARP.$

По теореме о биссектрисе угла треугольника $displaystyle frac=displaystyle frac=sin angle D.$

б) Введем обозначения. Пусть окружность с центром $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $E$ и $M,$ а окружность в цетре $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $F$ и $N.$ Проведем перпендикуляр $O_H$ к отрезку $O_E.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $HO_FE$ — прямоугольник, а $AEO_M$ и $BNO_F$ — квадраты. Получим:

$O_H=O_E-HE=O_E-O_F=displaystyle frac-displaystyle frac=1,$

$O_O_=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

По теореме Пифагора из трегугольника $O_O_H:$

Прямые $O_H$ и $EF$ параллельны, значит треугольники $O_O_H$ и $O_RE$ подобны по признаку подобия по двум углам ($angle REO_=angle O_HO_=90^,$ $angle RO_E$ — общий). Тогда обозначим $angle O_O_H=angle O_RE=alpha .$

Из прямоугольного треугольника $O_O_H:$

$tg alpha =displaystyle frac<O_H><O_H>=displaystyle frac.$

Тогда $angle BRC=2alpha ,$ $angle BCD=angle CRB+angle RBC=90^+2alpha $ как внешний угол треугольника и $angle O_CN=displaystyle fracangle BCD=45^+2alpha $ так как центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника $O_CN$ находим:

Значит, $BC=BN+NC=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Аналоично, $angle O_DM=tg(45^-alpha )$ и

$AD=AM+MD=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Так как $AB=AE+EF+FB=displaystyle frac+displaystyle frac+displaystyle frac=3,$ то $S_=displaystyle fraccdot AB=displaystyle frac<displaystyle frac+displaystyle frac>cdot 3=displaystyle frac.$

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Так как $AD$ и $CD$ — диаметры окружностей, то $angle AMD=angle CND=90^.$ По условию $ACperp BDRightarrow ACperp BO,$ следовательно , $CN,$ $AM$ и $DO$ — высоты треугольноки $ACD.$ Они пересекаются в одной точке $P.$

Трапеция равнобедренная, а ее диагонали перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ и $AOD$ — равнобедренные и прямоугольные, следовательно, $angle CBD=angle CAD=45^.$ Так как $ADperp CN,$ то $BCperp CN.$ Значит, в прямоугольных треугольниках $BCP$ и $CAN$ углы при основании равны $45^$ и треугольники являются равнобедренными, поэтому $BC=CP$ и $AN=CN.$

Прямая $CO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Точка $A$ принадлежит этой прямой, поэтому $AB=AP.$

Тогда верно, что $BC+AP=AB+CP$ (то есть суммы противоположных сторон равны), следовательно, в четырехугольнике $ABCP$ можно вписать окружностью.

б) Так как $N$ — основание высоты в равнобедренной трапеции, то

$DN=displaystyle frac=displaystyle frac=8,$

По теореме Пифагора из треугольника $ACN$ $AC=sqrt<CN^+AN^>=23sqrt.$

Аналогично из треугольника $BCP$ $BP=7sqrt,$ из треугольника $CND$

Выразим площадь четырехугольника $ABCP$ двумя способами:

$S_=displaystyle fracACcdot BPcdot sin 90^=displaystyle fracP_cdot r,$

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что $displaystyle frac=displaystyle frac$.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 5, а BC = 5√2.

а) Вписанные углы $BAC$ и $DAC$ равны, как опирающиеся на равные хорды, значит, $AC$ — биссектриса угла $BAD. $

Вписанные углы $ADB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они тоже равны. Значит, треугольники $ADP$ и $ACB$ подобные по двум углам. Следовательно, $displaystyle frac=displaystyle frac.$

б) Точки $A$ и $C$ принадлежит окружности с диаметром $BD$, значит, треугольники $ABD$ и $BCD$ прямоугольные. По условию треугольник $BCD$ равнобедренный, поэтому $BD=BCsqrt=10$ и углы при основании равны $45^.$

Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABD$ равен половине гипотенузы $BD,$ следовательно, $angle ADB=30^,angle ABD=60^.$

Так ка центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, то точка $O$ лежит на биссектрисе $AC$ угла $BAD$ и на биссектрисе угла $ADB.$ Тогда $angle ACD=angle ABD=60^$ (как опирающиеся на одну хорду) и $angle ODB=displaystyle fracangle ADB=15^. $ Получаем, что $angle ODC=angle ODB+angle BDC=15^+45^=60^.$

Значит, треугольник $COD$ — равностронний со стороной $5sqrt.$

В ответе необходимо записать полученное значение пункта б), умноженное на √3, то есть 37,5.

Видео:ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

📽️ Видео

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Планиметрия 3 | mathus.ru | трапеция и окружностьСкачать

Степень точки, радикальная ось. Планиметрия из ВСОШ и Высшей пробы. Чтобы решать планиметрию нужно..Скачать

Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

2113 Боковые стороны трапеции описанной около окружности равны 16 и 3 Найдите среднюю линию трапецииСкачать

Окружность касается катетовСкачать

Интенсив СИРОП по математике. Профильный ЕГЭ. Планиметрия. Задача 1Скачать

Вся Геометрия с Нуля за 50 минут, для ЧайниковСкачать

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

ТОП-10 геометрических конструкций в #16 для ЕГЭ 2021Скачать

ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать

ОГЭ по математике. Задание 15Скачать