Окружность аполлония доказательство через лемму о биссектрисе (4 видео)

Окружность аполлония доказательство через лемму о биссектрисе

Аполлоний Пергский (ок. 262–170 до н. э.) завоевал среди современников титул Великого Геометра. Он обучался в Александрии у последователей Евклида, имена которых не сохранились, и стал последним великим представителем александрийской математической школы. Позднее он работал в Пергаме, где создал свой важнейший труд «Коноика» («Конические сечения»), который и принес ему такую громкую славу. Только первые четыре книги этого произведения дошли до нас в подлиннике. Три другие сохранились в арабском переводе, а восьмая, последняя, была утрачена. Работа Аполлония оказала огромное влияние на развитие не только математики, но и астрономии, механики, оптики. Именно он ввел в язык математики названия «эллипс», «парабола», «гипербола», «фокус», «асимптота».

Благодаря позднейшим комментаторам и реставрациям, которыми много занимались в 16-18 вв., мы знаем и о содержании шести других геометрических работ Аполлония. В одной из них появляется так называемая «окружность Аполлония». В другой, изданной Виетом, работе «О касании» рассматривается следующая задача: построить циркулем и линейкой окружность, касающуюся трех данных окружностей. Решение самого Аполлония не сохранилось, но предпринятые многими авторами попытки его восстановления и, конечно, привлекательная формулировка, сделали эту задачу очень популярной. Мы предлагаем серию чертежей-заданий, которые через череду вспомогательных задач приводят к одному из элементарных, «школьных» решений.

Содержание

Частные случаи
Окружность Аполлония
Определение
Некоторые сведения об окружности Аполлония
Окружность Аполлония
Использование окружности Аполлония при решении геометрических задач
📹 Видео

Частные случаи

Нам будет удобно несколько расширить рамки задачи и допустить, наряду с обычными окружностями, «вырожденные» – точки (окружности нулевого радиуса) и прямые (окружности бесконечного радиуса). При этом появится несколько частных случаев, определяемых тем, какие именно фигуры (точки, прямые и окружности) даны, но, как мы увидим, к этим более простым случаям будет сводиться общий. Сначала посмотрим, как решается задача, когда все три данные окружности вырождаются в точки и прямые.

Три точки (Задача 01, 02). В этом случае задача состоит в том, чтобы описать окружность около треугольника с вершинами в трех данных точках. Этому учат едва ли не на первых уроках геометрии. Отметим, что и в случае, когда даны точки на одной прямой, эта задача имеет решение, ведь мы условились и прямую считать окружностью.

Три прямые (Задача 03, 04). В отличие от первого случая, здесь возможны несколько решений. Если прямые ограничивают треугольник, то одно из них дается его вписанной окружностью, а еще три – вневписанными (касающимися одной из сторон извне треугольника и продолжений двух других сторон). Если параллельны ровно две из трех прямых, то решений, очевидно, два, а если все три, то ни одного.

Две точки и прямая (Задача 05). Эту задачу можно решить с помощью «геометрических вычислений», т. е. алгебраическим методом. Пусть A и B – данные точки и пусть C – точка пересечения прямой AB с данной прямой l (случай AB || l рассмотрите самостоятельно). Если K – точка касания искомой окружности с прямой l, то по теореме о квадрате касательной должно выполняться равенство CK 2 = CA·CB. Это позволяет построить точку K, отложив на прямой l отрезок CK длины

_____

CK = √CA·CB

Две прямые и точка (Задача 07). Допустим, что данные прямые пересекаются. Тогда задачу можно свести к предыдущей. Поскольку центр окружности, касающейся таких прямых, лежит на биссектрисе l одного из образованных ими углов, окружность симметрична относительно l, поэтому она проходит через точку B, симметричную данной точке A относительно l. Таким образом, нам известны две точки, A и B, лежащие на искомой окружности, и две прямые, которых она касается, а построение для этого случая (даже для одной прямой) было описано выше. Для полноты надо отдельно рассмотреть случаи, когда прямые параллельны и когда они пересекаются, но данная точка лежит на биссектрисе образованного ими угла (и совпадает с симметричной ей точкой B). Построение в этих случаях несложно и мы на нем не останавливаемся.

Последнюю задачу можно решать и непосредственно, методом гомотетии. В таком случае к ней можно было бы сводить предыдущую задачу о проведении окружности через две данные точки A и B, касающуюся данной прямой: искомая окружность обязана касаться и второй прямой, симметричной данной относительно серединного перпендикуляра к AB.

Прежде, чем двинуться дальше, остановимся на понятии степени точки относительно окружности и некоторых связанных с ним фактах, которые понадобятся нам еще не раз. Хотя это понятие в явном виде и не проходится в школе, по существу оно появляется в двух известных теоремах об окружности: теореме об отрезках пересекающихся хорд и теореме о квадрате касательной (ее другое название – теорема о секущей и касательной), которую мы уже использовали выше. Эти две теоремы можно свести в одно утверждение.

Пусть даны окружность и точка P. Произведение PA·PB, где A и B – точки, в которых прямая, проходящая через P, пересекает окружность, зависит только от точки P и окружности и не зависит от прямой.

Это произведение, взятое со знаком плюс для точек вне окружности и со знаком минус для точек внутри окружности, и называется степенью точки P относительно окружности. Можно сказать, что степень точки P – это скалярное произведение (равное в данном случае PA·PB, если векторы и сонаправлены и –PA·PB, если они противоположно направлены). Если точка P лежит вне окружности, то степень равна квадрату отрезка PK касательной, проведенной из точки P к окружности (это и есть теорема о квадрате касательной). Приведенные выше утверждения, объединяющие две школьные теоремы, будем называть теоремой о степени точки (относительно окружности).

Из нее нетрудно вывести и теорему, в некотором смысле к ней обратную: если прямые AB и CD пересекаются в точке P и , то точки A, B, C и D лежат на одной окружности, а если P лежит на прямой AB и PA·PB = PK 2 , то прямая касается окружности, проходящей через A, B и K.

Вернемся к задаче Аполлония и рассмотрим случаи, когда две окружности вырождены, т. е. являются точками или прямыми, а третья – «нормальная».

Две точки и окружность (Задача 06). Пусть требуется построить окружность, проходящую через данные точки A и B и касающуюся данной окружности c₀. Проведем через A и B произвольную окружность c’, пересекающую c₀ в точках C и D, и обозначим через P точку пересечения прямых AB и CD. Далее проведем через P касательную к данной окружности и обозначим через X точку касания. Тогда окружность c, проходящая через A, B и X, будет искомой. Действительно, степень точки P относительно c₀ равна PX 2 = PC·PD. Применяя теорему о степени к окружности c’ и двум ее секущим PCD и PAB, находим, что PC·PD = PA·PB. Отсюда следует, что PX 2 = PA·PB, а значит прямая PX касается и окружности c, т. е. является общей касательной окружностей c₀ и c. Следовательно, c касается c₀ (в точке X). Из точки P можно провести две касательных к c₀ и они дадут два решения нашей задачи. Можно показать, что других решений нет.

Наше решение не работает, если прямые AB и CD окажутся параллельными. Это произойдет, если серединный перпендикуляр к AB содержит центр данной окружности. Легко понять, что в этом случае точками касания будут точки пересечения серединного перпендикуляра с окружностью.

Две прямые и окружность (Задача 12). Если прямые параллельны, то радиус искомой окружности равен половине расстояния между ними, и ее центр легко строится. Допустим, что данные прямые a и b пересекаются в точке P, и обозначим через K неизвестную точку касания данной окружности c₀ и искомой окружности c. Окружность c переходит в c₀ при некоторой гомотетии с центром K. Эта гомотетия переводит прямую a, касающуюся c, в параллельную ей прямую a₀, которая будет касаться c₀. Прямую a₀ легко построить. Так же строится и образ b₀ прямой b при рассматриваемой гомотетии. А точка Q пересечения a₀ и b₀ – это образ точки P при той же гомотетии. Но любая точка, ее образ при гомотетии и центр гомотетии лежит на одной прямой. Значит, точка K лежит на пересечении прямой PQ с данной окружностью. Теперь задача свелась к построению окружности, касающейся данных прямых и проходящей через данную точку K, а это мы уже делали выше. Поскольку каждую из касательных a₀ и b₀ можно провести двумя способами, а прямая PQ может иметь до двух точек пересечения с данной окружностью, задача может иметь до восьми решений (по два в каждом из углов, образованных данными прямыми), но может быть и меньше.

Сделаем очередную остановку и обратим внимание на примененное в этом решении преобразование гомотетии. Не только касающиеся, но и любые две окружности гомотетичны друг другу, причем двумя способами, если только они не равны. Чтобы построить центры двух гомотетий – центры подобия окружностей – проведем в окружностях параллельные радиусы и соединим прямыми их концы. Точки пересечения этих прямых с линией центров и будут центрами подобия. При этом прямая, соединяющая концы радиусов, лежащих по одну сторону от линии центров, дает центр гомотетии с положительным коэффициентом, равным отношению радиусов, а для второй прямой получается коэффициент, равный тому же числу со знаком минус. В первом центре подобия пересекаются внешние касательные к окружностям и его так и называют внешним, а во втором, внутреннем, – внутренние касательные (конечно, если соответствующие касательные существуют). Построив эти центры, мы построим и касательные. (Заметим, кстати, что проведение касательной к двум окружностям тоже можно рассматривать как частный случай задачи Аполлония, в котором две из данных окружностей – прямые, а третья – бесконечно-удаленная точка, из-за чего искомая окружность сама превращается в прямую.) Если две окружности равны, то «отрицательная» гомотетия превращается в центральную симметрию, а «положительная» – в параллельный перенос.

Теперь можно продолжить рассмотрение различных вариантов задачи Аполлония.

Точка, прямая, окружность (Задача 08). Мы приведем построение, в котором соединяются идеи двух предыдущих – степень точки и гомотетия. Пусть A, a, c₀ – данные точка, прямая и окружность, c – искомая окружность, K и L – точки ее касания с c₀ и a, соответственно. При гомотетии с центром K, переводящей c в c₀, прямая a перейдет в параллельную ей касательную к c₀. Поэтому точка L перейдет в такую точку M окружности c₀, что выходящий из нее диаметр перпендикулярен к a. Обозначим второй конец этого диаметра через B, а точку, в которой он при продолжении пересекает a, через C. Пусть X – точка пересечения прямой AM с окружностью c. Точки B, C, L и K лежат на некоторой окружности, так как угол BCL = 90° и угол BKL = BKM = 90°. Поэтому MC·MB = MK·ML. Точки X, A, L и K лежат на одной окружности по построению, так что MK·ML = MX·MA. Поэтому точку X можно построить из соотношения MX·MA = MC·MB, в котором нам уже известны все точки, кроме X. Проще всего это сделать, проведя еще одну окружность – через A, B и C; X – это точка ее пересечения с MA. Теперь остается провести окружность, касающуюся a, через две известные точки A и X, а эту задачу мы уже умеем решать. Поскольку она имеет, вообще говоря, два решения, а в качестве точки M в нашем построении можно взять любой из двух концов диаметра (т. е. поменять точки M и B на рисунке ролями), наибольшее число решений в данном случае равно четырем.

Наконец, рассмотрим случаи, когда вырождается только одна окружность.

Точка и две окружности (Задача 09. 2). Пусть требуется построить окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся двух данных окружностей c₁ и c₂ внешним образом. Пусть K₁ и K₂ – точки касания. Воспользуемся тем, что они лежат на одной прямой с внешним центром подобия Z данных окружностей. (Доказать это можно с помощью теоремы Менелая для треугольника OO₁O₂, образованного центрами окружностей: очевидно, что , где R₁, R₂ и R – радиусы соответствующих окружностей; равенство последних множителей в произведениях следует из того, что Z – центр гомотетии с коэффициентом R₂: R₁, переводящей O₁ в O₂.) По теореме о степени точки отсюда следует, что искомая окружность проходит через такую точку X прямой ZA, что ZX·ZA = ZK₁·ZK₂. Если мы найдем произведение в правой части этого равенства, то найдем и точку X, и тогда задача сведется к построению окружности, проходящей через две известные точки и касающейся известной окружности (любой из двух данных).

Отсюда вытекает следующее построение: проводим произвольную секущую ZL₁L₂, затем окружность через точки L₁, L₂ и A и находим X как точку пересечения этой окружности с прямой ZA, отличную от A. В итоге задача сводится к случаю, когда даны две точки (A и X) и окружность. В этом случае, как мы видели, имеется, вообще говоря, два решения. Одно из них – это окружность, касающаяся обеих данных внешним образом, второе – окружность, касающаяся обеих данных внутренним образом. Если выполнить аналогичное построение, взяв вместо внешнего центра подобия внутренний, мы получим еще два решения (c разноименным касанием).

Прямая и две окружности . Допустим, что мы построили окружность c, касающуюся данных окружностей внешним образом и прямой. Увеличим радиус построенной окружности на величину, равную радиусу r меньшей из данных окружностей. Тогда, очевидно, она пройдет через центр меньшей окружности и будет касаться «сжатой» на величину r второй данной окружности, а также прямой, полученной из данной параллельным сдвигом на ту же величину. Мы видим, что для расширенной указанным образом окружности c известны точка, через которую она проходит, а также окружность и прямая, которых она касается. А такую задачу мы уже решили выше. Окончательное решение получается сжатием на r построенной расширенной окружности. Другие решения можно получить аналогично с учетом различных случаев расположения окружностей. Например, чтобы построить окружность, которая касается обеих данных внутренним образом, нужно мысленно уменьшить ее радиус и радиусы данных окружностей на r и придвинуть прямую на ту же величину. Новая окружность пройдет через центр меньшей из данных, а касание со второй окружностью и прямой сохранится. Возможно до восьми решений.

Преобразование окружностей, которое мы здесь применили, так и называется расширением (фактически оно может оказаться и «сжатием»). Чтобы описать его, не рассматривая многочисленные частные случаи, зададим на окружностях и прямых направления, т. е., попросту говоря, нарисуем на них стрелки. При этом из каждой обычной окружности получатся две противоположно направленные. Две направленные окружности или окружность и прямую будем считать касающимися, если они имеют не только единственную общую точку, но и одинаковые направления в этой точке. Радиусу окружности припишем знак – плюс, если она ориентирована против часовой стрелки, и минус, если наоборот. При таком соглашении расширение окружности на величину l – это просто добавление l к радиусу (с учетом знаков), а для прямой – это сдвиг на |l| вправо от направления прямой при l>0 и влево при l 3 = 8 способами – и придерживаться сделанного выбора. Проследив всю цепочку построений, можно убедиться, что для каждого из этих способов имеется не более одной окружности заданной ориентации, касающейся трех данных «правильно», с соблюдением направлений. Поскольку ориентацию искомой окружности можно считать заданной раз и навсегда, скажем, против часовой стрелки, задача имеет не более восьми решений. Конечно, в каких-то случаях их может быть меньше.

Мы рассказали об «элементарном» решении задачи Аполлония, практически не использующем понятий, выходящих за рамки школьной программы. Существует и много других способов ее решения, из которых мы упомянем лишь об одном, с помощью удивительного преобразования плоскости, называемого инверсией.

Это преобразование как бы «выворачивает плоскость наизнанку», меняя местами внутренность и внешность некоторой окружности c. Его самое главное свойство состоит в том, что оно превращает окружности, проходящие через центр O окружности c в прямые и обратно, а окружности, не проходящие через центр, оставляет окружностями. Благодаря этому, фигуру из прямых и окружностей можно с помощью инверсии изменить самым радикальным образом. Например, если поместить центр O инверсии в точку пересечения двух окружностей, то она переведет их в пересекающиеся прямые, а любые две непересекающиеся окружности можно подходящей инверсией сделать концентрическими. Это значит, что задача Аполлония для любых трех окружностей сводится инверсией к случаю «две прямые и окружность», разобранному выше или к случаю, когда две данные окружности имеют общий центр, а значит диаметр искомой окружности известен – он равен ширине образованного ими кольца. Если же использовать инверсию в сочетании с расширением, то решение можно свести к совсем простым случаям. Например, с помощью расширения можно сделать какие-либо две из данных окружностей касающимися, тогда инверсия относительно точки касания переведет их в параллельные прямые. Можно также сжать одну из окружностей в точку, тогда инверсия относительно этой точки превратит искомую окружность в прямую и задача сведется к проведению общей касательной к образам двух других окружностей.

Видео:53 Множества точек. Биссектрисы и окружность АполлонияСкачать

Окружность Аполлония

Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Видео:54 Окружность Аполлония и координатыСкачать

Определение

Пусть на плоскости даны две точки A и B . Рассмотрим все точки P этой плоскости, для каждой из которых отношение

есть фиксированное положительное число. При k = 1 эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку A B ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

Некоторые сведения об окружности Аполлония

Аполлоний Пергский (Перга, 262 г. до н. э. — 190 г. до н. э. ) — один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности. В честь Аполлония назван кратер на Луне. Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения», из которой развилась аналитическая геометрия. В ней он дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

Из других заслуг Аполлония отметим, что он переработал астрономическую модель Евдокса Книдского, введя эпициклы и эксцентрики для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей. Данные о многих его работах, к сожалению, весьма отрывочны, поскольку большинство из них утеряны. Несомненно, однако, что круг геометрических интересов Аполлония, получившего образование в Александрии, был необычайно широк. Он занимался построениями с помощью циркуля и линейки, гармоническим отношением четырех точек прямой, правильными многогранниками и многими другими вопросами геометрии.

По свидетельству древнегреческого математика Паппа Александрийского, Аполлоний уделял большое внимание геометрии окружностей. Известны задача Аполлония о нахождении окружности, касающейсяся трех данных окружностей, теорема Аполлония и окружность Аполлония.

В этой статье мы познакомимся с некоторыми сведениями об окружности Аполлония – одном из важных и красивых геометрических мест точек и покажем, как с помощью этой окружности эффективно и изящно решается ряд непростых геометрических задач.

Видео:Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!Скачать

Окружность Аполлония

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки.

Однако дать определение окружности можно и другим способом. Например: окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1. Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В.

Задача об окружности Аполлония состоит в следующем: «Найти геометрическое место точек (ГМТ) М, отношение расстояний от которых до данных точек А и В, постоянно”. Ее геометрическое решение помещено в трактате “О кругах” (II век до н. э. ) и оно довольно сложно, а если использовать метод координат, то решение будет простым и доступным.

Используя метод координат, получим уравнение фигуры, образуемой ГМТ, а далее изучим ее геометрические свойства.

Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве ее начала одну из двух заданных точек A и B (например, B), а ось x – так, чтобы вторая точка (пусть это будет точка A) лежала на положительной полуоси.

В данной системе координат точка B имеет координаты (0;0), а точка A – (a;0), где a >0. Пусть M (x,y) – произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи, то есть AM = k · BM , где k – заданное положительное число. Если k =1, то это означает, что искомое множество состоит из точек, равноудаленных от данных точек A и B. Из свойств серединного перпендикуляра к отрезку следует, что искомым множеством в этом случае будет прямая, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно оси x.

Пусть теперь k ≠1. Согласно формуле для нахождения расстояния между точками, заданными своими координатами, имеем и условие принадлежности точки M искомому множеству можно записать в виде

Это равенство эквивалентно равенствам

Выделяя полный квадрат, получим

Это уравнение окружности с центром в точке , лежащей на оси OX , и радиуса

Полученная окружность носит имя древнегреческого геометра Аполлония.

Решим задачу о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника, которая является преамбулой к окружности Аполлония.

Пусть АQ – биссектриса внешнего угла A в треугольнике ABC. Докажем, что.

Поскольку АQ – биссектриса внешнего угла,. Проведем BN AC. Тогда и (внутренний накрест лежащий с ). Значит, BN=AB=c.

Из подобия треугольников CAQ и BNQ имеем: , или , что и требовалось доказать.

Биссектриса внутреннего угла А пересекает сторону ВС в точке L, для которой справедливо аналогичное соотношение:.

Далее рассмотрим задачу об окружности Аполлония, условие которой следующее: «Найдите ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек С и В относятся как m : n».

Решение. Пусть X — одна из точек искомого ГМТ.

Соединим ее с точками В и С. Согласно условию,. Проведем внутреннюю (XL) и внешнюю (XQ) биссектрисы угла X в треугольнике ХВС. По свойству внутренней биссектрисы,. По свойству внешней биссектрисы,. Следовательно,.

Поскольку точки В и С заданы, легко находятся точки L и Q, которые делят отрезок ВС в отношении m : n внутренним и внешним образом. При этом (как угол между биссектрисами смежных углов). Тогда, найдя точки L и Q, на отрезке LQ как на диаметре строим окружность. Это и есть окружность Аполлония.

Докажем, что всякая точка X окружности Аполлония удовлетворяет условию. Проведем через В прямую

Из подобия и :. Из подобия и :. Поскольку , то. Но прямоугольный. Тогда точка В — середина гипотенузы КТ. Следовательно, ВК = ВТ = ХВ. Заменив в равенстве отрезок ВК на ХВ, получим.

Окружности Аполлония для данных точек С и В соответствующие различным значениям к ≠1 представлены.

Использование окружности Аполлония при решении геометрических задач

Рассмотрим ряд геометрических задач, которые решаются с помощью окружности Аполлония. В данной работе мы не даем развернутого решения задач, а показываем лишь направление их рассмотрения. С помощью теорем, доказанных в предыдущем разделе, и теорем, изучаемых в школьном курсе геометрии, это будет достаточно просто.

Задача 1. Постройте треугольник ABC по , ,.

Решение. Строим отрезок ВС = .

Поскольку отношение задано, находим точки L и Q. На LQ как на диаметре строим окружность Аполлония. Вершиной A треугольника ABC будет являться любая из точек пересечения окружности Аполлония с прямой, удаленной от ВС на расстояние.

Задача 2. Докажите, что прямая О1А (где О1 — центр окружности Аполлония) касается окружности, описанной около ∆ ABC.

Решение. Если мы докажем, что, то это и будет означать, что O1A касается окружности, описанной около ∆АВС.

Действительно, угол АСВ является вписанным в эту окружность. И если , то он является углом между касательной и хордой в этой окружности.

Очевидно, что О1А = O1L = RA (радиус окружности Аполлония), (из ∆ALB). Тогда и. Найдем , что равносильно требуемому.

Задача 3. На прямой даны четыре точки А, В, С, D в указанном порядке. Постройте такую точку А, из которой отрезки АВ, ВС и CD видны под равными углами.

Решение. Пусть X — искомая точка. Тогда должно выполняться соотношение , т. е. точка X принадлежит окружности Аполлония, построенной для точек А, С и отношения.

Аналогично, , и точка X принадлежит окружности Аполлония, построенной для точек В, D и отношения.

Следовательно, X — точка пересечения двух ГМТ (двух окружностей Аполлония).

Заметим, что эти две окружности могут не пересекаться. В этом случае точки X нет.

Задача 4. На плоскости дан отрезок ВС. Найдите множество точек А плоскости таких, что медиана, проведенная из вершины С, равна АВ ( mc = c ).

Решение. По условию, СМ = АВ = mc. Продлим ВС до точки D так, что CD = ВС. Тогда по теореме Фалеса AD = 2mc. При этом АВ = mc. Значит, для отрезка BD необходимо найти геометрическое место точек А таких, что. Остается построить окружность Аполлония для отрезка BD и отношения 2:1.

Задача 5. Треугольник ABC вписан в окружность. Постройте на окружности такую точку D, чтобы выполнялось равенство

Решение. Искомая точка D обладает тем свойством, что , где отношение известно. Тогда находим точки L и Q для отрезка ВС такие, что.

На LQ как на диаметре строим окружность Аполлония, которая пересечет данную окружность в точках D и D1.

Задача 6. Точки В и С лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды, имеющие общее начало.

Решение. Пусть В и С — данные точки на диаметре, X — общее начало двух равных хорд ХК и XT.

Чтобы ХК и XT были равны, они должны быть равноудалены от центра окружности (OE=OF). Из равенства треугольников ХЕО и XFO следует, что. Тогда ХО — биссектриса в треугольнике ХВС, и. Поскольку точки С, О, В заданы, то задано и отношение. Становится очевидным, что X — это точка пересечения соответствующей окружности Аполлония с данной окружностью.

Задача 7. В точках А и В посреди океана находятся два корабля. Они начинают двигаться прямолинейно и равномерно в неизвестных направлениях со скоростями 20 км/ч и 15 км/ч, пока не встречаются в точке С. Каково наибольшее возможное время их движения до встречи, если АВ = 50 км?

Решение. Поскольку отношение скоростей кораблей равно 4:3, то строим точки К и С2 , которые делят АВ в отношении 4:3 внутренним и внешним образом, и проводим окружность Аполлония.

Очевидно, что точка С2 окружности Аполлония будет искомой, когда время движения кораблей максимально: , или , откуда (км). Тогда для корабля, находящегося в точке В, имеем: 15·tmax = 150, и tmax = 10 (часов).

Использование окружности Аполлония для решения задач, связанных с нахождением наилучшей тактики преследования

Практическое применение окружность Аполлония находит при решении задач сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

Рассмотрим простейший пример использования окружности Аполлония для решения задачи, связанной с нахождением наилучшей тактики преследования одного корабля другим.

Ясно, что если преследование ведется в неограниченном пространстве (океане), то наилучший метод – это постоянно держать курс на преследуемую цель. Однако далеко не всем понятно, что именно мы называем «наилучшим методом». Если, например, на преследуемом корабле не знают, что за ним ведется погоня, и поэтому он сохраняет свой курс независимо от наших действий, то у нас имеется лучший метод, чем просто держать курс на цель. Зная отношения скоростей , мы можем указать курс позволяющий догнать преследуемый корабль в кратчайшее возможное время. Для этого нужно найти все те точки, до которых корабли могли бы дойти от своих исходных позиций за одно и то же время (т. е. точки, отстоящие от них на расстояния, пропорциональные скоростям и ); эти точки составляют окружность Аполлония.

Если курс преследуемого корабля пересекает эту окружность, то следует держать курс на точку пересечения, если он ее не пересекает, то догнать корабль вообще невозможно. В последнем случае нужно постараться подойти к нему как можно ближе. Но это уже другая задача. В нашей работе мы рассмотрели лишь простейшую ситуацию.

Нижеследующая задача более интересная. Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо стоит испанский галион, груженый золотом. Как только закончится шторм, галион выйдет в Карибское море и возьмет курс на пролив между островами Гаити и Пуэрто-Рико. Флибустьеры тоже ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут лишь одновременно с испанцами. Какой курс следует взять флибустьерам после окончания шторма, чтобы по возможности не разминуться с испанцами?

Задача решается следующим образом. Флибустьеры при всех своих отрицательных качествах были непревзойденными мастерами в навигации. Поэтому они рассуждали так. Если бы было известно отношение скорости флибустьерского судна к скорости галиона, то можно было бы найти все точки, в которые их корабль и галион могут попасть одновременно. В самом деле, путь, который они пройдут до момента встречи, в раз больше пути, пройденного испанцами. Значит, все возможные точки встречи лежат на окружности Аполлония, определяемой равенством , где М — точки встречи, а точки А и В соответствуют Пуэрто-Бельо и Кингстону. Начертив на карте эту окружность, флибустьеры увидели бы, что курс галиона пересекает ее в двух точках. Поэтому, взяв курс на любую из них, они наверняка встретятся с испанцами, если, конечно, испанцев не перехватит кто-нибудь другой. Из этих последних соображений флибустьеры предпочли бы ту из двух точек, которая ближе к Пуэрто-Бельо. Но флибустьеры точно не знают, каково отношение скорости их корабля к скорости испанского галиона. Поэтому они построят на карте точку курса галиона, в которой это отношение принимает наименьшее значение, и в этой точке организуют засаду — встанут на якорь и будут ждать прибытия галиона. Во всяком случае, если в этой точке они не встретят галион, то в любой другой точке они его не встретят и подавно.

Математики имеют обыкновение изучать вещи, часто кажущиеся совершенно ненужными, но проходят века и эти исследования приобретают огромную научную ценность. Мог ли Аполлоний Пергский предположить, что окружность, названная его именем, будет изучаться школьниками спустя тысячелетия. Однако это, наверное, и не важно. Главное, видимо, состоит в том, что каждое новое знание порождает стремление идти дальше. Вот и эта работа даст кому-то знания, которые повлекут за собой стремление развить их и, возможно, внести что-то новое. Это новое будет еще одним шагом в развитии математики. А математика является одной из наук, способствующих прогрессу нашей цивилизации.