Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Содержание
  1. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  2. Серединный перпендикуляр к отрезку
  3. Окружность, описанная около треугольника
  4. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  5. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  6. Какие из следующих утверждений верны?
  7. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиус окружности, описанной около него 25см, а периметр треугольника 12 см?
  8. 1)Окружность вписанная в треугольник?
  9. Какое из следующих утверждений верно?
  10. Отмете верные утверждения 21?
  11. Даю 40 баллов, очень срочно(до 19?
  12. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см?
  13. ПОМОГИТЕ1?
  14. Какое из следующих утверждений верно?
  15. Дан треугольник со сторонами 15, 16 и 17?
  16. Около квадрата со стороной a описана окружность, а около окружности описан правильный треугольник?
  17. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4?
  18. 🔍 Видео

Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружностиСерединный перпендикуляр к отрезку
Около любого треугольника можно описать не более 1 окружностиОкружность описанная около треугольника
Около любого треугольника можно описать не более 1 окружностиСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Около любого треугольника можно описать не более 1 окружностиДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Около любого треугольника можно описать не более 1 окружностиВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружностиОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности
Площадь треугольникаОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности
Радиус описанной окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиОколо любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Какие из следующих утверждений верны?

Математика | 5 — 9 классы

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

» —верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

» —верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

» —неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

» —неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиус окружности, описанной около него 25см, а периметр треугольника 12 см?

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиус окружности, описанной около него 25см, а периметр треугольника 12 см?

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

1)Окружность вписанная в треугольник?

1)Окружность вписанная в треугольник?

Где находится центр такой окружности?

Какой отрезок будет являться её радиусом?

2)Окружность описанная около треугольника?

Где находится центр такой окружности?

Какой отрезок будет являться её радиусом?

3)Окружность описанная около прямоугольного треугольника?

Где находится центр такой окружности?

Чему равен её радиус?

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Какое из следующих утверждений верно?

Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали ромба равны.

2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Отмете верные утверждения 21?

Отмете верные утверждения 21.

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения бис —

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных

перпендикуляров к его сторонам.

22. 1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, нахо —

дится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диаго —

4) Около любого ромба можно описать окружность.

23. 1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей сим —

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра сим —

24. 1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

2) Прямая не имеет осей сим —

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

25. 1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагона —

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать

Задача об окружности, описанной около четырёхугольника

Даю 40 баллов, очень срочно(до 19?

Даю 40 баллов, очень срочно(до 19.

Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке Д.

Найти длину хорды ДС, если центр окружности, вписанной в данный треугольник, удален от точки Д на расстояние — а (см).

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см?

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см.

Найдите радиус окружности

описанной около треугольника.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

ПОМОГИТЕ1?

Окружность описана около треугольника.

Верно ли, что вне точки окружности принадлежат плоскости треугольника?

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Какое из следующих утверждений верно?

Какое из следующих утверждений верно?

1. Боковые стороны любой трапеции равны.

2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром

окружности, описанной около треугольника.

3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого тре —

угольника, то такие треугольники равны.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Дан треугольник со сторонами 15, 16 и 17?

Дан треугольник со сторонами 15, 16 и 17.

Найдите радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Около квадрата со стороной a описана окружность, а около окружности описан правильный треугольник?

Около квадрата со стороной a описана окружность, а около окружности описан правильный треугольник.

Найдите сторону треугольника.

Около любого треугольника можно описать не более 1 окружности

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Стороны треугольника равны 2, 3 и 4?

Стороны треугольника равны 2, 3 и 4.

Чему равно расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей этого треугольника.

Вы открыли страницу вопроса Какие из следующих утверждений верны?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

🔍 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружностьСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: