Около какого ромба можно описать окружность

Около какого ромба можно описать окружность

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Содержание
  1. Можно ли описать окружность ромба
  2. Можно ли описать окружность ромба
  3. Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
  4. Признаки ромба
  5. Основные свойства ромба
  6. Сторона ромба
  7. Формулы определения длины стороны ромба:
  8. Диагонали ромба
  9. Формулы определения длины диагонали ромба:
  10. Периметр ромба
  11. Формула определения длины периметра ромба:
  12. Площадь ромба
  13. Формулы определения площади ромба:
  14. Окружность вписанная в ромб
  15. Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
  16. Описанная окружность
  17. Доказательство
  18. Доказательство
  19. Доказательство
  20. Доказательство
  21. Доказательство
  22. Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
  23. Признаки ромба
  24. Основные свойства ромба
  25. Сторона ромба
  26. Формулы определения длины стороны ромба:
  27. Диагонали ромба
  28. Формулы определения длины диагонали ромба:
  29. Периметр ромба
  30. Формула определения длины периметра ромба:
  31. Площадь ромба
  32. Формулы определения площади ромба:
  33. Окружность вписанная в ромб
  34. Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
  35. 📽️ Видео

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Можно ли описать окружность ромба

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Можно ли описать окружность ромба

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Видео:Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружность
Рис.1Рис.2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =√ S
√ sinα
a =√ S
√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =S
2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =√ d 1 2 + d 2 2
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =d 1
√ 2 + 2 cosα
a =d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =d 1
2 cos ( α /2)
a =d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =d 2
2 cos ( β /2)
a =d 2
2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =Р
4

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

d 1 = 2 a · cos ( α /2)

d 1 = 2 a · sin ( β /2)

d 2 = 2 a · sin ( α /2)

d 2 = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 =2S
d 2
d 2 =2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 =2 r
sin ( α /2)
d 2 =2 r
sin ( β /2)

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =1d 1 d 2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =4 r 2
sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =1d 1 2 · tg ( α /2)
2
S =1d 2 2 · tg ( β /2)
2

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =h
2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =S
2 a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =√ S · sinα
2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =a · sinα
2
r =a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =d 1 · sin ( α /2)
2
r =d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =d 1 · d 2
4 a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Около какого ромба можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Около какого ромба можно описать окружностьАВС.

Доказать: около Около какого ромба можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Около какого ромба можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Около какого ромба можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Около какого ромба можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Около какого ромба можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Около какого ромба можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Около какого ромба можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Около какого ромба можно описать окружностьВ = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьАDС, Около какого ромба можно описать окружностьD = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьАВС, откуда следует Около какого ромба можно описать окружностьВ + Около какого ромба можно описать окружностьD = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьАDС + Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьАВС = Около какого ромба можно описать окружность(Около какого ромба можно описать окружностьАDС + Около какого ромба можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около какого ромба можно описать окружностьАDС + Около какого ромба можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Около какого ромба можно описать окружностьВ + Около какого ромба можно описать окружностьD = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Около какого ромба можно описать окружностьBАD + Около какого ромба можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Около какого ромба можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Около какого ромба можно описать окружность

Около какого ромба можно описать окружностьВСDвнешний угол Около какого ромба можно описать окружностьСFD, следовательно, Около какого ромба можно описать окружностьBСD = Около какого ромба можно описать окружностьВFD + Около какого ромба можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Около какого ромба можно описать окружностьВFD = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD и Около какого ромба можно описать окружностьFDE = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Около какого ромба можно описать окружностьBСD = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD + Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьЕF = Около какого ромба можно описать окружность(Около какого ромба можно описать окружностьВАD + Около какого ромба можно описать окружностьЕF), следовательно, Около какого ромба можно описать окружностьВСDОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD.

Около какого ромба можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около какого ромба можно описать окружностьBАD = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВЕD, тогда Около какого ромба можно описать окружностьBАD + Около какого ромба можно описать окружностьBСDОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружность(Около какого ромба можно описать окружностьВЕD + Около какого ромба можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около какого ромба можно описать окружностьВЕD + Около какого ромба можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Около какого ромба можно описать окружностьBАD + Около какого ромба можно описать окружностьBСDОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Около какого ромба можно описать окружностьBАD + Около какого ромба можно описать окружностьBСDОколо какого ромба можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Около какого ромба можно описать окружностьBАD + Около какого ромба можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Около какого ромба можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Около какого ромба можно описать окружностьВСF: Около какого ромба можно описать окружностьС + Около какого ромба можно описать окружностьВ + Около какого ромба можно описать окружностьF = 180 0 , откуда Около какого ромба можно описать окружностьС = 180 0 — ( Около какого ромба можно описать окружностьВ + Около какого ромба можно описать окружностьF). (2)

Около какого ромба можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около какого ромба можно описать окружностьВ = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьЕF. (3)

Около какого ромба можно описать окружностьF и Около какого ромба можно описать окружностьВFD смежные, поэтому Около какого ромба можно описать окружностьF + Около какого ромба можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Около какого ромба можно описать окружностьF = 180 0 — Около какого ромба можно описать окружностьВFD = 180 0 — Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Около какого ромба можно описать окружностьС = 180 0 — (Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьЕF + 180 0 — Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD) = 180 0 — Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьЕF — 180 0 + Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD = Около какого ромба можно описать окружность(Около какого ромба можно описать окружностьВАDОколо какого ромба можно описать окружностьЕF), следовательно, Около какого ромба можно описать окружностьСОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВАD.

Около какого ромба можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около какого ромба можно описать окружностьА = Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружностьВЕD, тогда Около какого ромба можно описать окружностьА + Около какого ромба можно описать окружностьСОколо какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружность(Около какого ромба можно описать окружностьВЕD + Около какого ромба можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Около какого ромба можно описать окружностьА + Около какого ромба можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Ромб, признаки. 8 класс.Скачать

Ромб, признаки. 8 класс.

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Около какого ромба можно описать окружностьОколо какого ромба можно описать окружность
Рис.1Рис.2

Видео:Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | МатематикаСкачать

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | Математика

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать

Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =√ S
√ sinα
a =√ S
√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =S
2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =√ d 1 2 + d 2 2
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =d 1
√ 2 + 2 cosα
a =d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =d 1
2 cos ( α /2)
a =d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =d 2
2 cos ( β /2)
a =d 2
2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =Р
4

Видео:Задание № 414 (Б) - Геометрия 8 класс (Атанасян)Скачать

Задание № 414 (Б) - Геометрия 8 класс (Атанасян)

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

d 1 = 2 a · cos ( α /2)

d 1 = 2 a · sin ( β /2)

d 2 = 2 a · sin ( α /2)

d 2 = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 =2S
d 2
d 2 =2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 =2 r
sin ( α /2)
d 2 =2 r
sin ( β /2)

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Окружность и четырехугольникСкачать

Окружность и четырехугольник

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =1d 1 d 2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =4 r 2
sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =1d 1 2 · tg ( α /2)
2
S =1d 2 2 · tg ( β /2)
2

Видео:Задание 17 ОГЭ по математике. Ромб. Найти высоту ромба.Скачать

Задание 17 ОГЭ по математике. Ромб. Найти высоту ромба.

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =h
2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =S
2 a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =√ S · sinα
2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =a · sinα
2
r =a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =d 1 · sin ( α /2)
2
r =d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =d 1 · d 2
4 a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📽️ Видео

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика
Поделиться или сохранить к себе: