Около каких фигур можно всегда описать окружность

Около какой фигуры можно описать окружность

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Около каких фигур можно всегда описать окружность
Вписанный многоугольник
Около каких фигур можно всегда описать окружность
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Около каких фигур можно всегда описать окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Около каких фигур можно всегда описать окружность

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Около каких фигур можно всегда описать окружностьЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Около каких фигур можно всегда описать окружностьУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Около каких фигур можно всегда описать окружность

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Около каких фигур можно всегда описать окружность

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Вписанная окружность

Около каких фигур можно всегда описать окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Около каких фигур можно всегда описать окружность
    • Четырехугольник
      Около каких фигур можно всегда описать окружность
    • Многоугольник
      Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

    9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

    Описанная окружность

    Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Теорема

    Около любого треугольника можно описать окружность.

    Доказательство

    Дано: произвольный Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС.

    Доказать: около Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС можно описать окружность.

    Доказательство:

    1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Точка О равноудалена от вершин Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС. Теорема доказана.

    Замечание 1

    Около треугольника можно описать только одну окружность.

    Доказательство

    Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

    Замечание 2

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    Доказательство

    Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

    Доказательство

    Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьАDС, Около каких фигур можно всегда описать окружностьD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьАВС, откуда следует Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ + Около каких фигур можно всегда описать окружностьD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьАDС + Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьАВС = Около каких фигур можно всегда описать окружность(Около каких фигур можно всегда описать окружностьАDС + Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около каких фигур можно всегда описать окружностьАDС + Около каких фигур можно всегда описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ + Около каких фигур можно всегда описать окружностьD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

    Верно и обратное утверждение:

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

    Доказательство

    Дано: четырехугольник АВСD, Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСD = 180 0 .

    Доказать: около АВСD можно описать окружность.

    Доказательство:

    Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

    Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьВСDвнешний угол Около каких фигур можно всегда описать окружностьСFD, следовательно, Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьВFD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьFDE. (1)

    Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Около каких фигур можно всегда описать окружностьВFD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD и Около каких фигур можно всегда описать окружностьFDE = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьЕF = Около каких фигур можно всегда описать окружность(Около каких фигур можно всегда описать окружностьВАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьЕF), следовательно, Около каких фигур можно всегда описать окружностьВСDОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD.

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВЕD, тогда Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСDОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружность(Около каких фигур можно всегда описать окружностьВЕD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьВАD).

    Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около каких фигур можно всегда описать окружностьВЕD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСDОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружность360 0 = 180 0 .

    Итак, мы получили, что Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСDОколо каких фигур можно всегда описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Около каких фигур можно всегда описать окружностьBАD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

    Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    По теореме о сумме углов треугольника в Около каких фигур можно всегда описать окружностьВСF: Около каких фигур можно всегда описать окружностьС + Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ + Около каких фигур можно всегда описать окружностьF = 180 0 , откуда Около каких фигур можно всегда описать окружностьС = 180 0 — ( Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ + Около каких фигур можно всегда описать окружностьF). (2)

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около каких фигур можно всегда описать окружностьВ = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьЕF. (3)

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьF и Около каких фигур можно всегда описать окружностьВFD смежные, поэтому Около каких фигур можно всегда описать окружностьF + Около каких фигур можно всегда описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Около каких фигур можно всегда описать окружностьF = 180 0 — Около каких фигур можно всегда описать окружностьВFD = 180 0 — Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD. (4)

    Подставим (3) и (4) в (2), получим:

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьС = 180 0 — (Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьЕF + 180 0 — Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD) = 180 0 — Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьЕF — 180 0 + Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD = Около каких фигур можно всегда описать окружность(Около каких фигур можно всегда описать окружностьВАDОколо каких фигур можно всегда описать окружностьЕF), следовательно, Около каких фигур можно всегда описать окружностьСОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВАD.

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около каких фигур можно всегда описать окружностьА = Около каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружностьВЕD, тогда Около каких фигур можно всегда описать окружностьА + Около каких фигур можно всегда описать окружностьСОколо каких фигур можно всегда описать окружностьОколо каких фигур можно всегда описать окружность(Около каких фигур можно всегда описать окружностьВЕD + Около каких фигур можно всегда описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Около каких фигур можно всегда описать окружностьА + Около каких фигур можно всегда описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

    Примечание:

    Окружность всегда можно описать:

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Описанная и вписанная окружность

    теория по математике 📈 планиметрия

    Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Описанная окружность

    Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

    Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

    Вписанная окружность

    Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

    В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    Вписанный и описанный треугольники

    Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

    В любой треугольник можно вписать окружность: Около каких фигур можно всегда описать окружностьЦентр вписанной окружности

    Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

    Вписанный и описанный четырехугольники

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

    Около каких фигур можно всегда описать окружностьУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

    Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

    Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

    Около каких фигур можно всегда описать окружность

    На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

    💥 Видео

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

    10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 классСкачать

    Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 класс

    Урок1. Описанная окружность около четырехугольника| Теория + практикаСкачать

    Урок1. Описанная окружность около четырехугольника| Теория + практика
    Поделиться или сохранить к себе: