Область определения функции двух переменных график окружности (2 видео)

Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Если каждой паре (х; у) двух независимых переменных из области D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух независимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоскости, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоскости, в которой абсцисса и ордината каждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в первом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функции, представляющие зависимости величин объемов выпускаемой продукции от переменных величин затрат ресурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических расчетах.

Простейшая производственная функция — функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капитала К

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плоскости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геометрическое место полученных точек

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой поверхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Для функции числа переменных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерхность (n + 1) — мерного пространства, не имеющая геометрической интерпретации.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном пространстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Решение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется — ε — окрестностью точки А.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для любого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| 0 — постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| 0.

Предел отношения при Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

Переходя к этому пределу, получим

(*)

Таким образом, зная частные производные функции

z = f(x; у) можно найти производную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем производной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

в точке М(1;0) в направлении, составляющем с Ох угол в 30°.

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

Связь между производной функции по направлению и градиентом этой функции осуществляется соотношением

т. е. производная функции z = f(x;y) в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня данной функции.

Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

Содержание

Функции нескольких переменных
Функция двух переменных
Готовые работы на аналогичную тему
Графическое изображение функции двух переменных
Функции многих переменных примеры с решением
Основные понятия о функциях многих переменных
Определение функции многих переменных. Функция двух переменных и ее графическое изображение
Экономические задачи, приводящие к понятию функций многих переменных
Функции многих переменных. Понятие функции многих переменных
📽️ Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.Скачать

Функции нескольких переменных

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Найти область определения функций двух переменныхСкачать

Функция двух переменных

Частным случаем функции многих переменных является функция двух переменных.

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.

Функция двух переменных может быть задана двумя способами:

аналитический способ (формула; например, $P(x,y)=2cdot (x+y)$ — периметр прямоугольника);
табличный способ (двумерная таблица; пример приведен на рис. 1).

Область определения (область существования) функции двух переменных $z=f(x,y)$ — это совокупность пар $(x,y)$, являющихся значениями переменных $x$ и $y$, при которых данная функция определена.

Область определения функции $z=f(x,y)$ может быть изображена на координатной плоскости совокупностью точек $(x,y)$.

Определить и изобразить область определения функции

Решение:

Функция $P(x,y)=2cdot (x+y)$ определена при любых значениях $(x,y)$.

Следовательно, область определения функции есть вся координатная плоскость $Oxy$ (рис. 2).

Линия, которая ограничивает область определения на плоскости, называется границей области.

Точки области, которые не лежат на границе, называются внутренними точками данной области.

Если область состоит только из внутренних точек (не содержит граничных точек), то она называется открытой (незамкнутой).

Готовые работы на аналогичную тему

Определить и изобразить область определения функции

Решение:

Функция $z=frac <sqrt<4-x^-y^ > > $ определена при любых значениях $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству $4-x^ -y^ >0$ или $x^ +y^$ ∠ $4$.

Следовательно, область определения функции есть внутренняя часть круга радиуса $R=2$ с центром в начале координат.

Область определения является открытой, т.е. незамкнутой.

Если область содержит и внутренние точки, и граничные точки, то она называется закрытой (замкнутой).

Определить и изобразить область определения функции

Решение:

Функция $z=sqrt <4-x^-y^ > $ определена при любых значениях $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству $4-x^ -y^ ge 0$ или $x^ +y^ le 4$.

Следовательно, область определения функции есть круг радиуса $R=2$ с центром в начале координат.

Область определения является закрытой, т.е. замкнутой.

Понятие функции нескольких переменных не ограничивается рассмотрением только функции двух переменных. Данное понятие легко обобщается на количество переменных от трех и более.

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Если для каждой совокупности $(x,y,z. t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z. t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z. t)$.

Понятие области определения для функции трех и более переменных вводится аналогично соответствующему определению понятия для функции двух переменных.

Видео:2. Область определения функции двух переменныхСкачать

Графическое изображение функции двух переменных

Функцию двух переменных можно изобразить в пространстве с помощью графика.

Для этого на плоскости $Oxy$ необходимо найти точку $(x,y)$ и восстановить из нее перпендикуляр, на котором отложить отрезок длинной равной $f(x,y)$. Конец отрезка будет являться точкой графика функции (рис.5).

Множество точек графика функции двух переменных образует некоторую поверхность.

Изобразить график функции

Решение:

В пространстве невозможно изобразить с помощью графика функции трех и более переменных.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 03 2022

Видео:Область определения функции двух переменных - bezbotvyСкачать

Функции многих переменных примеры с решением

Содержание:

Видео:Область определения функции нескольких переменныхСкачать

Основные понятия о функциях многих переменных

Изучение связей и закономерностей, существующих в материальном мире, часто приводят к функции не одной, а многих переменных. Эти функции позволяют выражать более сложные зависимости, чем функции одной переменной. Поэтому теория функций многих переменных имеет широкое практическое применение в различных отраслях.

Определение функции многих переменных. Функция двух переменных и ее графическое изображение

Переменные x₁, x₂, . x_n называются независимыми между собой, если каждая из них может принимать произвольные значения в своей области изменения независимо от того, какие значения принимают при этом другие переменные.

Определение 1. Функцией многих переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) называется такая закономерность, при которой переменным x₁, x₂, . x_n из некоторого множества D ⊂ R n ставится в соответствие одно значение u из множества E ⊂ R’.

Например:

Множество D называется областью определения функции u = f (x₁, x₂, . x_n), а множество E — областью значений этой функции. Например, функция задана для всех x и y, для которых выполняется неравенство x 2 + y 2 ≤ 9. В данном случае областью определения функции является круг на плоскости Оxy с центром в точке O (0; 0) и радиусом R = 3. Область значений этой функции E = [0; 3].

Частным случаем функции многих переменных есть функция двух переменных z = f (x, y), для которой можно дать понятие графика функции. В общем случае графиком такой функции является поверхность в трехмерном пространстве R 3 .

Пример 1. z = x 2 + y 2 . Графиком этой функции является параболоид вращения (рис. 1).

Экономические задачи, приводящие к понятию функций многих переменных

Приведем примеры конкретных функций многих переменных, которые встречаются в экономических задачах.

Пример 2. Пусть предприятие выпускает только один товар, и на его выпуск затрачивается только одно сырье (один ресурс). Предприятие характеризуется полностью своей производственной функцией y = f (x) — зависимость объема выпущенного товара y от объема затраченного сырья x. Такая производственная функция называется одноресурсной.

Если на производство продукции определенного типа расходуются многие виды сырья (ресурсов) x₁, x₂, . x_n , то такая производственная функция называется многоресурсной или многофакторной:
y= F (x) = F (x₁, x₂, . x_n).

Наиболее известной производственной функцией является функция Кобба-Дугласа y = AK α L β , где A, α, β — неотрицательные константы, причем α + β ≤ 1;
K — объем фондов в стоимостном или натуральном выражении;
L — объем трудовых ресурсов — число работников, число человеко-дней;
y — выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении.

На этом примере видно, что функция Кобба-Дугласа является функцией двух независимых переменных K и L.

Пример 3. Рассмотрим основное уравнение классической количественной теории денег, которое называется уравнением обмена Фишера: MV = PY.
В данном уравнении любая из переменных M, V, P, Y может рассматриваться как функция трех переменных, где
M — это общее количество денег, имеющихся в обороте;
V — скорость их оборота (сколько раз каждый рубль участвует в расчетах в среднем за год);
Y — национальный продукт или доход (национальный продукт — это все готовые товары и услуги, произведенные в экономической системе в стоимостном выражении; национальный доход — это все выплаты, полученные домашними хозяйствами: заработная плата, рента, прибыль; национальный продукт и национальный доход численно равны);
P — уровень цен (среднее взвешенное значение цен готовых товаров и услуг, которые определены относительно базового показателя, принятого за единицу).
Пусть , то есть цена является функцией трех независимых переменных. Тогда с увеличением денежной массы (количества денег) M в несколько раз (то есть деньги просто напечатают), цены вырастут во столько же раз, при условии, что другие величины V и Y останутся неизменными. Такие действия и является чаще всего причиной инфляции.

Функции многих переменных. Понятие функции многих переменных

Ранее рассматривались числовые функции одной переменной . Областью определения такой функции являлось множество . Числовая функция переменных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество пространства . В этом случае значение аргумента представляет собой точку .

Определение 1. Пусть имеются два множества и , и указано правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Тогда говорят, что задана функция переменных из в :

. (1)

Как и ранее, — область определения функции , — область значений функции .

Для функций двух переменных ( = 2) вместо пишут обычно и тогда (1)принимает вид

. (2)

Функция двух переменных геометрически определяет некоторую поверхность в . Ее область определения состоит из точек расположенных на плоскости . Каждой из этих точек соответствует единственная число , которое является аппликатой точки данной поверхности. Поэтому говорят, что есть функция точки , и пишут . Эту аналогию можно распространить на случай > 2. Тогда область определения будет состоять из точек , а функция (1.19) будет записана в виде .

Поверхность — это сфера радиуса с центром в точке (0,0,0). Она не является функцией двух переменных, так как точке соответствуют два числа . Однако функцией будет, например, верхняя часть сферы (рис. 1, а).

Другим примером функции двух переменных может служить эллиптический параболоид (рис. 1, б). Если эту поверхность пересечь плоскостью, параллельной плоскости , то линией пересечения будет эллипс. Если же плоскость пересечения параллельна или , то линией пересечения будет парабола.

Уравнением задается гиперболический параболоид. График этой функции двух переменных имеет форму седла (рис. 1, в). Если эту поверхность пересечь плоскостью, параллельной плоскости , то линией пересечения будет гипербола. Если же плоскость пересечения параллельна или , то линией пересечения будет парабола.

Еще одним примером функции многих переменных может служить производственная функция Кобба-Дугласа. Ее классический вид

(3)

где — объем выпуска продукции; где — затраты труда; где — затраты производственных фондов (рис. 2). Константы и — положительны, как и переменные , , . Сумма параметров , и 1-, равна единице. Это означает, что при увеличении производственных ресурсов и на одну единицу объем продукции также увеличивается на единицу. Следовательно, темпы роста перечисленных показателей совпадают.

Исследования показали, что зависимость (3) редко встречается на практике. Поэтому справедлив более общий вид производственной функции Кобба-Дугласа:

(4)

где — положительная константа. В отличие от предыдущего случая сумма параметров может быть как больше, так и меньше единицы. Если > 1, то темпы роста объема выпуска продукции выше, чем темпы роста производственных ресурсов и . Если же

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.