Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах
где координаты векторов в соответствии с рисунком
вычисляются следующим образом
Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a1=, a2= и a3=
$ = pm left( <2cdotleft( <left( right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( right)cdot1 — 3cdotleft( right)> right)> right) = -33$
Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».
Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33
Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн
Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:
Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:
Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.
Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.
Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать
Вектор. Смешанное произведение векторов.
Также его называют тройным скалярным произведением векторов, скорее всего это связано с тем,
что результат — это скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора 
на векторное произведение векторов 
и 
.
Или другими словами:
Смешанным произведением векторов 
является число 
, состоящее из скалярного произведения вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение
векторов записывается следующим образом:
Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов: если три вектора 
правые, то их
смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них:
.
В случае левой тройки , смешанное произведение указанных векторов равно объему
параллелепипеда со знаком “–“:
.
Если , и компланарны, то их смешанное произведение = 0.
Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного
произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке этих векторов, находим по формуле:
Геометрические свойства смешанного произведения векторов.
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему 
параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение 
будет со знаком плюс, если
тройка векторов — правая, и будем иметь отрицательный знак, если тройка — левая,
2. Смешанное произведение =0 тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы компланарны.
Алгебраические свойства смешанного произведения векторов.
1. При перемене мест двух множителей смешанное произведение меняет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение остается без изменений:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из первого геометрического свойства и свойств ориентации троек векторов, так
как от перестановки двух множителей местами, модуль смешанного произведения остается прежним, а
изменяется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки
остается без изменений.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и первого свойства.
Формула вычисления смешанного произведения векторов.
Теорема (формула вычисления смешанного произведения векторов):
Если у векторов в правом ортонормированном базисе 
координаты
, 
,
соответственно, то смешанное произведение их вычисляется по следующей формуле:
Из определения следует:
что и требовалось доказать.
Еще некоторые свойства смешанного произведения векторов.
1. 
2. 
3 .Три вектора компланарны в том случае, если 
4. Тройка векторов будет правой только если 
. Ежели 
, то векторы, и
создают левую тройку векторов.
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. Тождество Якоби: 
Если векторы 
, 
и 
заданы своими координатами, то их
смешанное произведение можно найти по формуле, приведенной ниже:
💡 Видео
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Решение, найти объем параллелепипеда, зная координаты его вершин A, B, C, A′ пример 23Скачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать
1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать
11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
Смешанное произведение векторовСкачать
Площадь параллелограмма по векторамСкачать
как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать
Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)Скачать
Как найти объём параллелепипедаСкачать
9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
