Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:Построение следов плоскостиСкачать

Построение следов плоскости

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми
Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Длина вектора Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымив пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Произведение вектора на число:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Скалярное произведение векторов:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Косинус угла между векторами:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Для этого нужны их координаты.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Запишем координаты векторов:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

и найдем косинус угла между векторами Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Координаты точек A, B и C найти легко:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Координаты вершины пирамиды: Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Найдем координаты векторов Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

и угол между ними:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Запишем координаты точек:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Найдем координаты векторов Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми, а затем угол между ними:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точкеСкачать

Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

То есть A + C + D = 0.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиНормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Аналогично для точки K:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Получили систему из трех уравнений:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Решив систему, получим:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Вектор Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиимеет вид:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Напишем уравнение плоскости AEF.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Берем уравнение плоскости Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиНормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости AEF: Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Найдем угол между плоскостями:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиили, еще проще, вектор Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Координаты вектора Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми— тоже:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Получим:
Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Ответ: Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми— нормаль к плоскости α.

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Находим координаты вектора Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Ответ: Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми, AD = Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Высота параллелепипеда AA1 = Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиНормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Решим эту систему. Выберем Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Тогда Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми, имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымипо соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымик плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии требуем выполнения условий Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Угол между прямой и плоскостью

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиДопустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии нормали Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми
Угол Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымимежду прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:
Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Угол между плоскостями

Пусть Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми— две любые нормали к данным плоскостям. Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиТогда косинус угла Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымимежду плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Уравнение плоскости в пространстве

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиТочки, удовлетворяющие равенству Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиобразуют плоскость с нормалью Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Коэффициент Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиотвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми. Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымии найти коэффициент Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми.

Расстояние от точки до плоскости

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми
Для вычисления расстояния Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиот точки Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымидо плоскости Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми, заданной уравнением Нормаль к плоскости заданной параллельными прямымиможно использовать следующую формулу:

Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми
В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке Нормаль к плоскости заданной параллельными прямыми

Комментарий репетитора по математике :

Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и
1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.
2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

Для понимания таких формул нужно изучить понятия векторного и смешанного произведения векторов, а также определителя матрицы. В скором времени я сделаю для вычисления объемов соответствующую справочную страничку.

Средства аналитической геометрии репетитор по математике практически не использует в работе со средним и тем более слабым учеником. И очень жаль, что загруженность среднестатистического сильного школьника не позволяет репетитору провести более-менее серьезную работу на уровне определений из высшей математики и с соответствующей практикой решения задач. Поэтому я часто ограничиваюсь простым сообщением формул и демонстрацией одного – двух примеров их использования. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще, однако на ЕГЭ Вы имеете право решать задачу С2 любым из известных науке способов. Отсюда мораль: учите координаты. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст Вам мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2. Пользуйтесь этой страничкой на здоровье!

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва (Строгино).

Спасибо Вам за этот материал,все наглядно и понятно.

💡 Видео

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

19. Определение угла наклона плоскости, заданной пересекающимися прямыми, к горизонтальной плоскостиСкачать

19. Определение угла наклона плоскости, заданной пересекающимися прямыми, к горизонтальной плоскости

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Следы плоскостиСкачать

Следы плоскости

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Следы прямойСкачать

Следы прямой

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

Построение следов плоскости заданную пересекающимися прямыми #задачиначертательнаягеометрияСкачать

Построение следов плоскости заданную пересекающимися прямыми #задачиначертательнаягеометрия

Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскости

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Построение точки пересечения прямой с плоскостью, заданной следамиСкачать

Построение точки пересечения прямой с плоскостью, заданной следами

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью
Поделиться или сохранить к себе: