Несколько окружностей с общим центром

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Несколько окружностей с общим центром

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Несколько окружностей с общим центромВзаимное расположение двух окружностей
Несколько окружностей с общим центромОбщие касательные к двум окружностям
Несколько окружностей с общим центромФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Несколько окружностей с общим центромДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Несколько окружностей с общим центром

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Несколько окружностей с общим центром

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиНесколько окружностей с общим центром
Каждая из окружностей лежит вне другойНесколько окружностей с общим центром
Внешнее касание двух окружностейНесколько окружностей с общим центром
Внутреннее касание двух окружностейНесколько окружностей с общим центром
Окружности пересекаются в двух точкахНесколько окружностей с общим центромНесколько окружностей с общим центром
Каждая из окружностей лежит вне другой
Несколько окружностей с общим центром
Внешнее касание двух окружностей
Несколько окружностей с общим центром
Внутреннее касание двух окружностей
Несколько окружностей с общим центром
Окружности пересекаются в двух точках
Несколько окружностей с общим центром
Несколько окружностей с общим центром
Каждая из окружностей лежит вне другой
Несколько окружностей с общим центром

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Несколько окружностей с общим центром

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Несколько окружностей с общим центром

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямНесколько окружностей с общим центром
Внутреннее касание двух окружностейНесколько окружностей с общим центром
Окружности пересекаются в двух точкахНесколько окружностей с общим центром
Внешнее касание двух окружностейНесколько окружностей с общим центром
Несколько окружностей с общим центром
Несколько окружностей с общим центром

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Несколько окружностей с общим центром

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Несколько окружностей с общим центром
Внутренняя касательная к двум окружностям
Несколько окружностей с общим центром
Внутреннее касание двух окружностей
Несколько окружностей с общим центром
Окружности пересекаются в двух точках
Несколько окружностей с общим центром
Внешнее касание двух окружностей
Несколько окружностей с общим центром
Несколько окружностей с общим центром
Каждая из окружностей лежит вне другой
Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямНесколько окружностей с общим центром
Внутренняя касательная к двум окружностямНесколько окружностей с общим центром
Общая хорда двух пересекающихся окружностейНесколько окружностей с общим центром

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Внешняя касательная к двум окружностям
Несколько окружностей с общим центром
Внутренняя касательная к двум окружностям
Несколько окружностей с общим центром
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Несколько окружностей с общим центром

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Видео:Как найти центр круга в мастерской (4 способа)Скачать

Как найти центр круга в мастерской (4 способа)

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Несколько окружностей с общим центром

Несколько окружностей с общим центром

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Несколько окружностей с общим центром

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Несколько окружностей с общим центром

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Несколько окружностей с общим центром

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Несколько окружностей с общим центром

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Несколько окружностей с общим центром

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Несколько окружностей с общим центром

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Несколько окружностей с общим центром

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Несколько окружностей с общим центром

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

🎦 Видео

Быстро и легко определяем центр любой окружностиСкачать

Быстро и легко определяем центр любой окружности

Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Геометрия Задача найти центр круга /math and magicСкачать

Геометрия Задача найти центр круга /math and magic

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

А ты знал? Как найти центр окружности #лайхакиСкачать

А ты знал? Как найти центр окружности #лайхаки

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.Скачать

Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.

Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.Скачать

Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: