Неравенство треугольника с модулями

В этой статье введем и очень подробно разберем такое важное понятие, как модуль числа. Разберемся, откуда модуль взялся, какими свойствами обладает. Научимся решать уравнения и неравенства с модулем.

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

«Величина» числа

Сначала попытаемся сформулировать понятие о «величине» числа. Из этого понятия естественным образом получим понимание, откуда взялся и как определить модуль.

Геометрический смысл

Представьте, что вы стоите в точке 0 на числовой оси. Слева от вас, в точке − 1 0 0 , находится школа. Справа, в точке 5 0 , находится ваш дом. Математически число − 1 0 0 меньше, чем 5 0 . Но вот идти до школы 1 0 0 метров влево гораздо дольше, чем пройти 5 0 метров до дома вправо. В этом смысле «величина» пройденного расстояния в − 1 0 0 метров больше, чем 5 0 метров.

Пусть теперь школа находится в точке − 1 0 , а дом в точке 1 0 . Математически вновь получаем, что − 1 0 меньше 1 0 . Но вот нам, находящимся в 0 , совершенно нет разницы: идти − 1 0 метров влево или 1 0 метров вправо. В обоих случаях мы пройдем 1 0 метров. То есть, по «величине» числа − 1 0 и 1 0 равны.

Количественный смысл

Рассмотрим числа 5 0 и − 1 0 0 . В математическом смысле − 1 0 0 гораздо меньше 5 0 . А давайте посмотрим на эти числа под другим углом. У вас есть всего 5 0 рублей и вы задолжали другу. Ваш долг составляет − 1 0 0 рублей. В этом смысле «величина» вашего долга в − 1 0 0 рублей гораздо больше имеющихся у вас 5 0 рублей. Получается, что математически − 1 0 0 меньше 5 0 , но по «величине» − 1 0 0 больше 5 0 .

Теперь рассмотрим числа − 1 0 и 1 0 . Математически, опять же, − 1 0 меньше 1 0 . Но, пользуясь нашей аналогией с долгом, своими 1 0 рублями вы полностью покроете долг в − 1 0 рублей. То есть, по «величине» число − 1 0 равно числу 1 0 .

Понятие величины

Мы поняли, что каждое число имеет свою «величину». Причем эта величина не зависит от того, положительным или отрицательным является число. Можно даже сказать, что «величина» числа это и есть само число, от которого «отбросили» его знак.

Видео:Доказательство свойств модуля, №25.Скачать

Модуль числа

Сформулируем на строгом языке математики наше интуитивное представление о «величине» числа, которое мы сформировали в предыдущем разделе.

Модуль или абсолютная величина вещественного числа x — само число x , если оно неотрицательно, иначе − x .

Допустим, мы хотим найти модуль какого-то числа a . Согласно определению, нам надо провести элементарную проверку. Если число a положительное или равно 0 , то модулем a и является само a . Если же a меньше 0 , то результатом модуля будет − a .

∣ 5 ∣ = 5 ∣ 0 ∣ = 0 ∣ − 1 2 ∣ = − ( − 1 2 ) = 1 2

Легко убедиться, что модуль числа полностью соответсвует по смыслу «величине» числа, рассмотренной в предыдущем разделе. Там мы утверждали, что по «величине» − 1 0 0 больше 5 0 , а − 1 0 равно 1 0 . И действительно:

∣ − 1 0 0 ∣ = 1 0 0 ∣ − 1 0 ∣ = 1 0 ​ ∣ 5 0 ∣ = 5 0 ∣ − 1 0 0 ∣ > ∣ 5 0 ∣ ∣ 1 0 ∣ = 1 0 ∣ − 1 0 ∣ = ∣ 1 0 ∣ ​

Положение знака нестрогого неравенства в определении модуля не имеет значения:

Обозначим второе определение модуля числа x как ∣ x ∣ ′ . Покажем, что какой x не возьми, будет выполняться ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ .

Пусть x > 0 . По классическому определению ∣ x ∣ = x . По второму: ∣ x ∣ ′ = x . То есть ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ .

Пусть x = 0 . По классическому определению ∣ 0 ∣ = 0 . А вот во втором определении 0 попадает уже под второе условие, то есть ∣ 0 ∣ ′ = − 0 = 0 . Опять имеем ∣ 0 ∣ = ∣ 0 ∣ ′ .

Наконец, пусть x 0 . По классическому определению ∣ x ∣ = − x . У второго определения та же ситуация: ∣ x ∣ ′ = − x . Получается, что и в этом случае ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ .

Итак, мы рассмотрели все возможные значения для x и во всех случаях ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ . Это и означает, что между двумя определениями нет никакой разницы ■

Такое определение иногда бывает полезно. Например, если x лежит в следующих пределах: − 1 0 ≤ x ≤ 0 , то можно сразу сказать, что ∣ x ∣ = − x , даже несмотря на то, что для x = 0 так выражаться будет некорректно, ведь ∣ 0 ∣ = 0 , а не − 0 .

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Свойства модуля

У модуля есть очень много полезных свойств, которые сильно помогают при решении уравнений, неравенств, доказательстве теорем и так далее. Рассмотрим самые полезные из них. Все свойства ниже формулируем для любых вещественных чисел x и y .

Очевидные свойства

Наиболее очевидные свойства модуля напрямую вытекают из рассмотренного ранее понятия о «величине» числа. Например, мы определили «величину» числа как само число с «отброшенным» знаком. Это означает, что «величина» не может быть отрицательной.

Видео:Как решать неравенства с модулем. Два модуля в неравенстве.Скачать

Модули

В этой лекции мы рассмотрим:

• Модули
• неравенства с участием модулей
• Теорема 1.2.2 (√ a 2 =|a|)
• Теорема неравенства

1.2.1 Определение

Пример
|5| = 5 Так как 5 > 0
|-4| = -(-4) = 4 Так как -4

Замечание
|a| есть не отрицательным числом для всех значений a и
-|a|≤ a ≤ |a|

Если a является негативным тогда -a позитивно и +a отрицательное.

Пример
Решите уравнение |x-3|=4
Решение

Уравнение имеет 2 решения: -1 и 7.

Пример
Решите уравнение |3x-2|=|5x+4|

Уравнение имеет 2 решения: -3 и $-frac$.

Позитивный корень квадрата числа равен этому числу.

ТЕОРЕМА 1.2.2
Для любого действительного числа a
√ a 2 = |a|
e.g.
√ (-4) 2 = √ 16 = 4 = |-4|

ТЕОРЕМА 1.2.3
Если a и b действительные числа, тогда

1. |-a| = |a| число a и его отрицательное значение имеет одинаковые модули.
2. |ab| = |a||b| Модуль произведения двух чисел есть произведение их модулей.
3. |a/b| = |a|/|b| Модуль отношения двух чисел есть отношение их модулей.

Доказательство
Из теоремы 1.2.2

(a) |-a| = √ (-a) 2 = √ a 2 = |a|

(b) |ab| = √ (ab) 2 = √ a 2 b 2 = √ a 2 √ b 2 = |a||b|

(b) |2.-3| = |-6| = 6 = |2|.|3| = 6

Результат (b) вышеизложенной теоремы может быть применено к трем или более членам.
Для n действительных чисел
a₁, a₂, a₃. a_n
(a) |a₁ a₂ . a_n| = |a₁| |a₂| . |a_n|
(b) |a n | = |a| n

Геометрическое представление модуля

Где A и B есть точки с координатами a и b. Расстояние между A и B есть
$text=beginb-a text a b \ 0 text a = b end$

Теорема 1.2.4 (Формула расстояния)
Если A и B — точки на координатной прямой с координатами a и b соответственно, тогда расстояние d между A и B
d = |b — a|

ТАБЛИЦА 1.2.2 (a)
|x-a| 0)

Альтернативная форма -k

Пример
Неравенство
|x-3| Пример
Решите |x+4| ≥ 2

Объединение двух неравенств дает
(-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

На численной прямой

Не всегда верно, что
|a+b| = |a| + |b|
например
если a = 2 и b = -3, тогда a+b = -1 и поэтому |a+b| = |-1| = 1
в то время как
|a|+|b| = |2|+|-3| = 2+3 = 5 поэтому |a+b| = |a|+|b|

1.2.5 ТЕОРЕМА — (Неравенство треугольника)
Если a b тогда |a+b| ≤ |a|+|b|
Доказательство
Так как для любого действительного числа a и b, мы знаем, что
-|a| ≤ a ≤ |a| and -|b| ≤ b ≤ |b|
-|a| ≤ a ≤ |a|
+
-|b| ≤ b ≤ |b|
______________
= -|a| + -|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b|
______________________________________________
Сейчай мы имеем два случая:

Первый случай, где a+b ≥ 0
определенно: a+b=|a+b|
Отсюда
|a+b| ≤ |a|+|b|

Второй случай где a+b _______________________________ →

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенство треугольника: доказательство, примеры, решенные упражнения

Видео:Разбираем НОВЫЙ ВАРИАНТ по обществознанию ЕГЭ 2024 из сборника Котовой и Лисковой | СОТКАСкачать

Содержание:

Это называется неравенство треугольника к свойству двух действительных чисел, заключающемуся в том, что абсолютное значение их суммы всегда меньше или равно сумме их абсолютных значений. Это свойство также известно как неравенство Минковского или треугольное неравенство.

Это свойство чисел называется треугольным неравенством, потому что в треугольниках длина одной стороны всегда меньше или равна сумме двух других, даже если это неравенство не всегда применяется в области треугольников.

Существует несколько доказательств треугольного неравенства в действительных числах, но в этом случае мы выберем одно, основанное на свойствах абсолютного значения и биномиального квадрата.

Теорема: Для каждой пары чисел к Y б относящиеся к действительным числам, он должен:

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Демонстрация

Начнем с рассмотрения первого члена неравенства, который возведем в квадрат:

| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (уравнение 1)

На предыдущем шаге мы использовали свойство, согласно которому любое число в квадрате равно абсолютному значению указанного числа в квадрате, то есть:| х | ^ 2 = х ^ 2. Также использовалось квадратное биномиальное разложение.

Все номера Икс меньше или равно его абсолютному значению. Если число положительное, оно равно, но если число отрицательное, оно всегда будет меньше положительного числа. В этом случае его собственное абсолютное значение, то есть можно сказать, что x ≤ | х |.

Продукт (а б) является числом, поэтому применяется, что (а б) ≤ | а б |. Когда это свойство применяется к (уравнение 1), мы имеем:

| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | а б | + b ^ 2 (уравнение 2)

Учитывая, что | a b | = | а || б | la (уравнение 2) можно записать следующим образом:

| a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | а || б | + b ^ 2 (уравнение 3)

Но поскольку мы говорили ранее, что квадрат числа равен абсолютному значению квадрата числа, то уравнение 3 можно переписать следующим образом:

| a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | б | + | b | ^ 2 (уравнение 4)

Во втором члене неравенства признается замечательный продукт, применение которого приводит к:

| a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (уравнение 5)

В предыдущем выражении следует отметить, что значения, которые должны быть возведены в квадрат в обоих членах неравенства, положительны, поэтому необходимо также убедиться, что:

| а + б | ≤ (| a | + | b |) (уравнение 6)

Вышеприведенное выражениеэто именно то, что хотели продемонстрировать.

Видео:Свойства модуля: линейность, неравенство треугольника, модуль разности модулейСкачать

Примеры

Далее мы проверим треугольное неравенство на нескольких примерах.

Видео:Как исследовать функции? | МатематикаСкачать

Пример 1

Мы берем значение a = 2 и значение b = 5, то есть оба положительных числа, и проверяем, выполняется ли неравенство.

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника выполнена.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Пример 2

Выбираются следующие значения a = 2 и b = -5, то есть положительное число, а другое отрицательное, проверяем, выполняется неравенство или нет.

Неравенство выполнено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве проверена.

Видео:7 класс. Внешний угол треугольника.Скачать

Пример 3

Берём значение a = -2 и значение b = 5, то есть отрицательное число, а другое положительное, проверяем, выполняется ли неравенство.

Неравенство проверено, значит, теорема выполнена.

Видео:НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМСкачать

Пример 4

Выбираются следующие значения a = -2 и b = -5, то есть оба отрицательные числа, и мы проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве Минковского выполнена.

Видео:Метод рационализации. Неравенства с модулямиСкачать

Пример 5

Мы берем значение a = 0 и значение b = 5, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство выполнено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника проверена.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Пример 6

Мы берем значение a = 0 и значение b = -7, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство проверено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве выполнена.

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Решенные упражнения

В следующих упражнениях изобразите геометрически неравенство треугольника или неравенство Минковского для чисел a и b.

Число a будет представлено как сегмент на оси X, его начало O совпадает с нулем оси X, а другой конец сегмента (в точке P) будет в положительном направлении (вправо) от оси X, если > 0, но если a 0), а точка Q будет | b | единиц слева от P, если b Категория : Наука

Prunus laurocerasus: характеристика, среда обитания, уход, болезни

🎥 Видео

Неравенство треугольникаСкачать

Уравнение с модулемСкачать

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ 😉 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Неравенство треугольника | Геометрия 7-9 класс #34 | ИнфоурокСкачать