Свойства внутренних углов треугольника

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойства внутренних углов треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойства внутренних углов треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Свойства внутренних углов треугольника,

ФигураРисунокФормулировка
ТреугольникСвойства внутренних углов треугольника
Большая сторона треугольникаСвойства внутренних углов треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольникаСвойства внутренних углов треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольникаСвойства внутренних углов треугольника
Углы треугольникаСвойства внутренних углов треугольника
Внешний угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника
Больший угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника
Меньший угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника
Теорема косинусовСвойства внутренних углов треугольника
Теорема синусовСвойства внутренних углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойства внутренних углов треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойства внутренних углов треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Свойства внутренних углов треугольника,

Треугольник
Свойства внутренних углов треугольника
Большая сторона треугольника
Свойства внутренних углов треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
Свойства внутренних углов треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
Свойства внутренних углов треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
Свойства внутренних углов треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Свойства внутренних углов треугольника
Углы треугольника
Свойства внутренних углов треугольника
Внешний угол треугольника
Свойства внутренних углов треугольника
Больший угол треугольника
Свойства внутренних углов треугольника
Меньший угол треугольника
Свойства внутренних углов треугольника
Теорема косинусов
Свойства внутренних углов треугольника
Теорема синусов
Свойства внутренних углов треугольника
Треугольник
Свойства внутренних углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойства внутренних углов треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольникаСвойства внутренних углов треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойства внутренних углов треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусовСвойства внутренних углов треугольника

Теорема синусовСвойства внутренних углов треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Свойства внутренних углов треугольника,

Содержание
  1. Свойства внутренних углов треугольника
  2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
  3. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  4. Типы треугольников
  5. По величине углов
  6. По числу равных сторон
  7. Вершины углы и стороны треугольника
  8. Свойства углов и сторон треугольника
  9. Теорема синусов
  10. Теорема косинусов
  11. Теорема о проекциях
  12. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  13. Медианы треугольника
  14. Свойства медиан треугольника:
  15. Формулы медиан треугольника
  16. Биссектрисы треугольника
  17. Свойства биссектрис треугольника:
  18. Формулы биссектрис треугольника
  19. Высоты треугольника
  20. Свойства высот треугольника
  21. Формулы высот треугольника
  22. Окружность вписанная в треугольник
  23. Свойства окружности вписанной в треугольник
  24. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  25. Окружность описанная вокруг треугольника
  26. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  27. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  28. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  29. Средняя линия треугольника
  30. Свойства средней линии треугольника
  31. Периметр треугольника
  32. Формулы площади треугольника
  33. Формула Герона
  34. Равенство треугольников
  35. Признаки равенства треугольников
  36. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  37. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  38. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  39. Подобие треугольников
  40. Признаки подобия треугольников
  41. Первый признак подобия треугольников
  42. Второй признак подобия треугольников
  43. Третий признак подобия треугольников
  44. 📹 Видео

Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства углов
1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника — угол, смежный с углом треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
4. Внешний угол треугольника больше угла треугольника, не смежного с ним.
5. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: AB = BC, CD AB, ∠ABC = 32. Найти: ∠ACD

Свойства внутренних углов треугольника

Задача № 2. Дано: ABC, AB = BC, ∠DBC — внешний угол ABC, ∠DBC = 52. Найти: ∠BAC, ∠BCA.

Свойства внутренних углов треугольника

Задача № 3. Дано: ABC, AB = BC, ∠C = 64, AD — биссектриса ∠A. Найти: ∠ADB.

Свойства внутренних углов треугольника

Задача № 4. Дано: AD = DB, BK = KC, ∠BAD = 38, ∠BCK = 26. Найти: ∠BDK, ∠BKD, ∠DBK.

Свойства внутренних углов треугольника

Это конспект по теме «Свойства сторон и углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Типы треугольников

По величине углов

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

По числу равных сторон

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Видео:02042014 Свойства внутренних углов треугольниковСкачать

02042014 Свойства внутренних углов треугольников

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Медианы треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Биссектрисы треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Высоты треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Окружность вписанная в треугольник

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:7 класс. Внешний угол треугольника.Скачать

7 класс. Внешний угол треугольника.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Периметр треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Сумма внутренних углов треугольникаСкачать

Сумма внутренних углов треугольника

Формулы площади треугольника

Свойства внутренних углов треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Подобие треугольников

Свойства внутренних углов треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📹 Видео

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Примеры задач. Геометрия 7 класс.Скачать

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Примеры задач. Геометрия 7 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольника

Математика ОГЭ и ЕГЭ Внутренние, внешние углы треугольникаСкачать

Математика ОГЭ и ЕГЭ Внутренние, внешние углы треугольника
Поделиться или сохранить к себе: