Необходимые условия для существования треугольника (7 видео)

Существующие треугольники

Содержание

Определение
Теорема
Доказательство теоремы
Существует ли треугольник?
Онлайн калькулятор позволяет проверить существование треугольника по заданным сторонам.
Условие существования треугольника по трем сторонам
Задача
Решение
💥 Видео

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
△BCD — равнобедренный, значит ∠ CBD=∠CDB.
Рассмотрим △ABD: ∠ ABD >∠ CBD, следовательно ∠ ABD >∠ CDB, то AB

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Существует ли треугольник?

Необходимым и достаточным условием существования треугольника является выполнение следующих неравенств:

где a, b и с — длины сторон треугольника.

Другими словами, треугольник существует тогда и только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей стороны.

Онлайн калькулятор позволяет проверить существование треугольника по заданным сторонам.

Онлайн калькуляторы

Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.

Актуальная информация

Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.

Видео:необходимые и достаточные условияСкачать

Условие существования треугольника по трем сторонам

У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Иначе две стороны просто «лягут» на третью и треугольника не получится.

Пользователь вводит длины трех сторон. Программа должна определять, может ли существовать треугольник при таких длинах. Это значит, необходимо сравнить суммы всех пар сторон с оставшейся третьей стороной. Чтобы треугольник существовал, сумма всегда должна быть больше отдельной стороны или, по крайней мере, не меньше, если учитывать так называемый вырожденный треугольник.

Поскольку всего три стороны, то можно составить три варианта сложения двух сторон: a + b , b + c , a + c . Первую сумму сравниваем с оставшейся стороной c , вторую – с a и третью – с b . Если хотя бы в одном случае сумма окажется не больше третьей стороны, то делается вывод, что треугольник не существует.

Можно решить задачу сложнее. Если требуется также определить, какая из сторон больше суммы двух других, то решение может быть таким:

Особого смысла использовать переменную flag здесь нет. Она просто позволяет лишний раз не писать в программе строки, информирующие о том, что треугольник не существует. Большего внимания заслуживает использование вложенных конструкций if-else.

Задача

Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.

Дано: a , b , c – стороны предполагаемого треугольника.

Требуется сравнить длину каждого отрезка-стороны с суммой двух других. Если хотя бы в одном случае отрезок окажется больше суммы двух других, то треугольника с такими сторонами не существует.

Решение

Ниже приведены решения задачи на языке программирования Паскаль двумя способами. В первом случае все стороны проверяются в одном операторе if; во втором случае каждое условие проверяется отдельно, а программа содержит вложенные операторы if-else.

Программа 1 (предпочтительный способ решения):

В языке Паскаль логический оператор and имеет приоритет над операторам >, if проверяется, что каждая из сторон меньше суммы других. Если хотя бы одна будет больше, то все логическое выражение вернет ложь ( false ). В таком случае сработает ветка else .

В данном случае существование треугольника проверяется по-этапно. Если первое условие возвращает ложь, то программа переходит к последнему else. Если же первое условие соблюдено, то поток выполнения программы оказывается у вложенного if. Здесь проверяется уже второе условие. Если оно возвращает ложь, то программа переходит к предпоследнему else. Если и второе логическое выражение возвращает истину (true), то программа идет к третьему условию. При его соблюдении выполняется тело самого вложенного оператора if. При его несоблюдении сработает самое вложенное else.

Несмотря на то, что данная программа кажется длиннее, в определенных ситуациях она может выполняться быстрее, чем первая. Здесь если внешнее if возвращает ложь, то остальные логические выражения вообще не проверяются. В первой программе могут и проверяться (это зависит от особенностей языка программирования).

По длинам трех отрезков, введенных пользователем, определить возможность существования треугольника, составленного из этих отрезков. Если такой треугольник существует, то определить, является ли он разносторонним, равнобедренным или равносторонним.

Треугольник существует только тогда, когда сумма длин любых его двух сторон больше третьей стороны. Иначе две стороны просто «укладываются» на третьей.

Треугольник является разносторонним, если все его стороны имеют разную длину; треугольник будет равнобедренным, если любые две его стороны равны между собой, но отличны от третьей; и треугольник является равносторонним, когда все его стороны равны.

Прежде чем выяснять вид треугольника, необходимо удостовериться, что треугольник существует.

Если треугольник существует, то можно сначала проверить на неравенство три его стороны. Если они не равны друг другу, то треугольник разносторонний. Если это не так, то следующим шагом будет проверка на равенство всех сторон треугольника. Если все стороны равны, делается вывод о том, что треугольник равносторонний. Иначе остается только один вариант – равнобедренный треугольник.

var
a , b , c : word ;

begin
write ( ‘a=’ ) ; readln ( a ) ;
write ( ‘b=’ ) ; readln ( b ) ;
write ( ‘c=’ ) ; readln ( c ) ;
if ( a + b = c ) or ( a + c = b ) or ( b + c = a ) then
writeln ( ‘Такой треугольник не существует.’ )
else
if ( a b ) and ( a c ) and ( b c ) then
writeln ( ‘Это разносторонний треугольник.’ )
else
if ( a = b ) and ( b = c ) then
writeln ( ‘Это равносторонний треугольник.’ )
else
writeln ( ‘Это равнобедренный треугольник.’ ) ;
end .

a = 34
b = 6
c = 5
Такой треугольник не существует.

a = 7
b = 8
c = 9
Это разносторонний треугольник.

a = 6
b = 6
c = 4
Это равнобедренный треугольник.

a = 5
b = 5
c = 5
Это равносторонний треугольник.

a = int ( input ( «a = » ) )
b = int ( input ( «b = » ) )
c = int ( input ( «c = » ) )

if a + b c or a + c b or b + c a:
print ( «Треугольник не существует» )
elif a != b and a != c and b != c:
print ( «Разносторонний» )
elif a == b == c:
print ( «Равносторонний» )
else :
print ( «Равнобедренный» )

12 18 14
Разносторонний треугольник

25 30 25
Равнобедренный треугольник

input «a = » , a
input «b = » , b
input «c = » , c
if a+b or a+c or b+c then
print «Треугольник не существует.»

else
if ab and ac and bc then
print «Разносторонний треугольник.»
else
if a = b and a = c then
print «Равносторонний треугольник.»
else
print «Равнобедренный треугольник»
endif
endif
endif