Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Окружность. Круг.

Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эта точка называется центром окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом (рис. 84).

Так как все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, то все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус обыкновенно обозначается буквой R или r.

Точка, взятая внутри окружности, находится от её центра на расстоянии, меньшем радиуса. В этом легко убедиться, если через данную точку провести радиус (рис. 85).

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Точка, взятая вне окружности, находится от её центра на расстоянии, большем радиуса. В этом легко убедиться, если соединить данную точку с центром окружности (рис. 85).

Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром (рис. 84). Диаметр обыкновенно обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам:

Так как все радиусы одного и того же круга равны между собой, то и все диаметры данного круга равны между собой.

Теорема . Хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведённого в том же круге.

В самом деле, если проведём какую-нибудь хорду, например АВ, и соединим её концы с центром О (рис. 86), то увидим, что хорда АВ меньше ломаной линии АО + ОВ, т. е. АВ (breve); (breve) Задача. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (черт.311).

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведем прямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (черт. 311), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК⊥АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиТеорема о бабочке

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Видео:№632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любаяСкачать

№632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
КругНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
РадиусНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
ХордаНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
ДиаметрНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
КасательнаяНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
СекущаяНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Окружность
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаНе проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Пересекающиеся хорды
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности
Пересекающиеся хорды
Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Тогда справедливо равенство

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

math4school.ru

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Окружность

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Основные определения

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R , который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE , который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC , проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α , называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β , называется угол, образованный двумя радиусами.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Хорды

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны:

Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Касательные и секущие

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Прямая ( a ), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку ( B ), называется касательной к этой окружности.

Прямая ( a ), которая перпендикулярна диаметру окружности ( АВ ) и проходит через его конец ( В ), является касательной к этой окружности.

Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны:

Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей.

Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами:

Видео:16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать

16 задание ОГЭ математика 2023 | Умскул

Касание двух окружностей

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Для двух окружностей с центрами О 1 и О 2, и радиусами R и r :

  • при внешнем касании: О 1 О 2 = R + r ;
  • при внутреннем касании: О 1 О 2 = Rr .

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Углы в окружности

Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’.

Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов.

Если радианная мера угла равна α , то угол содержит (180· α )/ π градусов.

Если градусная мера угла составляет п ° , то круговая – πп /180 радиан.

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла:

Угловая величина дуги обладает следующими свойствами:

  • Угловая величина дуги неотрицательна.
  • Равные дуги имеют равные угловые величины.
  • Если две дуги одной окружности (или равных окружностей) имеют равные угловые величины, то они равны.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ АВС = ½ ·∪ АС = ½ ·∠ АОС .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым:

∠ ACВ = ½ ·∪ АВ = ½ ·180°=90°.

Видео:ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

Длина окружности и дуги

Не проходящая через центр окружности меньше диаметра этой окружности

Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π .

Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности:

🎬 Видео

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Задача по геометрии за 8 класс на тему "Окружность"Скачать

Задача по геометрии за 8 класс на тему "Окружность"

МЕРЗЛЯК-6. КРУГ И ОКРУЖНОСТЬ. ПАРАГРАФ-24Скачать

МЕРЗЛЯК-6. КРУГ И ОКРУЖНОСТЬ. ПАРАГРАФ-24

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.
Поделиться или сохранить к себе: