Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 2. Найти А +В, если

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Задача 3. Найти АВ , если

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Задача 5. Найти Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , если

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 6. Найти Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , если

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 7. Вычислить определитель

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Мы сами можем проверить результат, Известно, что Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов . Так ли это?

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Задача 11. Вычислить :

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Раскроем скобки и получим:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Так как Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Представим число z в тригонометрической форме.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , следовательно, а=1, b =1 и Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Применим формулу Муавра:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов ,

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов ; Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3, z 4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k 1, k 2, k 3, k 4) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов и Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов до ортонормированного базиса.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Пусть z = (z1, z2, z 3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e 1, e 2, e 3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e 1, e 2, e 3 — базис L , преобразование Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов — проектирование L на координатную плоскость векторов e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x 1, x 2, x 3) — координаты вектора x в базисе e 1, e 2, e 3, т.е. x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x 1, l x 2, 0) = l ( x 1, x 2, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e 1, e 2, e 3. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A j следующим образом:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Откуда следует, что

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е 1 , е2, е3, е4 имеет матрицу

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Выпишем матрицу перехода от базиса е 1234 к новому базису:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Теперь найдем матрицу преобразования В j в новом базисе по формуле В j =Т -1 А j Т.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

= (2 — Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов )(3+ Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов )(2+ Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов )+3-2(3+ Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов )-5(2+ Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов ) =

= Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов +3-6-2 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов -10-5 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов =

= 12+4 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов -3 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов -7 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов -13 = Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов ,

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Получим собственные значения: Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов или Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Но, в тоже время, Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Беря значением Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов = -1, получаем с.л.а .у . :

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов = -1, является вектор Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов ,

после чего получим Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , получим, что Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов , Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов = =2 Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов = Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

= Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов ,

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

получим канонический вид квадратичной формы:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов .

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Упражнения

8.1. Пусть х = (х,Х2) т , у = <yi,y2) T — произвольные векторы двумерного линейного пространства, заданные координатами в фиксированном базисе е, е2. Убедиться, что скалярное произведение векторов в этом пространстве можно задать следующими способами:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Вычислить скалярное произведение векторов х = (1,1) т и у = = (2, — 1) т при каждом из указанных способов его задания.

8.2. Пусть в двумерном линейном пространстве в базисе е, е2 скалярное произведение задано формулой

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

где числа од и а.22 положительные, а 12 = «21 и удовлетворяют условию ац • агг > «12 • агъ Убедиться в том что а^- = (ei,ej), i,j = 1,2, и записать матрицу Грама базиса е, ег.

8.3. В трехмерном линейном пространстве задана матрица Грама

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

базиса е, в2, ез. Записать формулу скалярного умножения векторов и, пользуясь ею, вычислить скалярные произведения (е^е^), i,j = = 1,2,3, а также скалярное произведение векторов х и у, если:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.4. Считая, что векторы заданы координатами в ортонормированием базисе, с помощью процесса ортогонализации ортогонализи- ровать следующие системы векторов:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

  • 8.5. Ортонормировать системы векторов предыдущего упражнения.
  • 8.6. Применяя процесс ортогонализации, ортогонализировать систему векторов си = (1,0,1) т , о>2 (0,1,1) т , аз = (0,0,1) т , заданных координатами в базисе е, в2, ез с матрицей Грама

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.7. Считая, что векторы заданы координатами в ортонормированием базисе, убедиться, что следующие системы векторов ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов пространства:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.8. Дополнить следующие ортонормированные системы векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, до орто- нормированных базисов пространства:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.9. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис пространства, натянутого на следующие системы векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.10. Найти базис ортогонального дополнения L 1 — подпространства L, натянутого на векторы а, а2, заданные координатами в ортонормированном базисе:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

  • 8.11. Найти системы линейных уравнений, задающих подпространства L и L-*? предыдущего упражнения.
  • 8.12. Найти систему уравнений, задающую ортогональное дополнение ХА, если подпространство L задано системой уравнений

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.13. Найти ортогональную проекцию гг о и ортогональную составляющую аА вектора х на линейное пространство L = (а,а2,а^), если: Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.14. Найти ортогональную проекцию х$ и ортогональную составляющую яА вектора х = (—3,0, —5,9) т на подпространство L, заданное системой уравнений Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.15. Считая, что векторы заданы в ортонормированном базисе, ортонормировать систему векторов

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.16. Считая, что векторы заданы в ортонормированном базисе,

убедиться в ортогональности системы векторов а, и дополнить эту

систему векторов до ортогонального базиса пространства:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.17. Найти матрицу перехода от базиса е, ег, ез к базису

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

и убедиться в том, что полученная матрица является унитарной.

8.18. Пусть ei, б2 — ортонормированный базис в X и линейный оператор ср в базисе е = е1? е’2 = е + е2 имеет матрицу

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти матрицу сопряженного оператора (р* в базисе е^, е’2.

8.19. Линейный оператор в базисе е!х — (1,2,1) т , е’2 = (1,1,2) т , вз = (1,1,0) т имеет матрицу

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Найти матрицу сопряженного оператора 1 АТ, для следующих матриц А:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.28. Для следующих матриц построить каноническое разложение с унитарной трансформирующей матрицей:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.29. Убедиться в положительной определенности матрицы и найти квадратный корень из нее:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.30. Убедиться в том, что матрица является нормальной и построить для нее каноническое разложение с унитарной трансформирующей матрицей:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

  • 8.31. Построить Q-R-разложения для матриц из упражнений 8.22 и 8.24.
  • 8.32. Решить систему Ах = Ъ с матрицей А, заданной ее QR- разложением, и столбцом Ъ свободных членов:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.33. Построить сингулярное разложение матриц:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

Указание. Одно из ненулевых характеристических чисел матриц А* А следует искать среди чисел 36, 144, 324.

8.34. Построить полярные разложения следующих матриц:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

  • 8.35. Построить скелетные разложения для матриц из упражнения 8.33.
  • 8.36. Используя скелетные разложения, построить псевдообрат- ные матрицы для следующих матриц:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.37. Используя сингулярные разложения, построить псевдооб- ратные матрицы для матриц из упражнения 8.33 и следующих матриц:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.38. Методом наименьших квадратов решить системы линейных уравнений:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

  • 8.39. Для систем из предыдущего упражнения найти нормальные решения, решая соответствующие одну или две системы с невырожденными матрицами.
  • 8.40. Для систем из упражнения 8.38 найти общие и нормальные псевдорешения, решая эти системы в матричном виде с применением псевдообратных матриц (см. п. 8.21).
  • 8.41. Найти общее и нормальное псевдорешения системы Ах = Ъ и их проекции х^ к к = 1. г, на подпространства правых сингулярных векторов, если матрица А задана сингулярным разложением:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисовНайти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.42. Методом регуляризации найти нормальные решения систем из упражнения 8.38 и следующих систем линейных уравнений:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.43. Пользуясь нормой ЦЛЦоо, найти число обусловленности К а матриц:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.44. Оценить возможное изменение решений систем при изменении е и ? в пределах 0 ^ ^ 0,01, 0 ^ ? ^ 0,03: Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.45. В эмпирической формуле b = Ха + Ж2&2 + %заз найти коэффициенты Х, Х2, Хз по результатам наблюдений:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.46. В эмпирической формуле p(t) = xq + x±t + X2t 2 найти коэффициенты xi, Х2, хз по результатам наблюдений:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.47. Найти многочлен второй степени p(t) = Xq + X + Х2t 2 , приближающий с наименьшей квадратичной погрешностью функцию /(?), заданную таблицей:

Найти векторы дополняющие системы векторов до ортонормированных базисов

8.48. Найти многочлен третьей степени p(t) = xo+xit+X2t 2 +хзЬ г , приближающий с наименьшей квадратичной погрешностью функцию f <t),заданную таблицей:

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y=begin y_1&cdots& y_n end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] , a [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] .

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf,mathbfrangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] , а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] длина вектора [math]mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf|= sqrt[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf,mathbf_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf,mathbf_nrangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf= x_1 mathbf_1+ldots+x_n mathbf_n[/math] на [math]mathbf_1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^=S^T[/math] .

Видео:§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространства

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det<G (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Видео:A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] называются изоморфными [math](mathbbleftrightarrow mathbb’)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbfin mathbb[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb^n

(mathbfleftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbbleftrightarrow mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] пространства [math]mathbb[/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

📹 Видео

2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Решение "базисной системы векторов" (2)

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Ортогональность. ТемаСкачать

Ортогональность. Тема

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

2 37 Нахождение орта вектораСкачать

2 37 Нахождение орта вектора

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня МатеманяСкачать

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня Матеманя

Базис линейного пространства (01)Скачать

Базис линейного пространства (01)

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве
Поделиться или сохранить к себе: