Найти угол acd 70 окружность (6 видео) | Курс школьной геометрии

В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 2.
Геометрия
Центральный угол и градусная мера дуги
Вписанный угол
Углы между хордами и секущими
Теорема о произведении отрезков хорд
Задачи на квадратной решетке
📸 Видео

Видео:2175 AC и BD диаметры окружности с центром О угол acb равен 35 Найдите угол aodСкачать

Ваш ответ

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

решение вопроса

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 2.

№12. Четырехугольник A B C D вписан в окружность. Угол ∠ A B C равен 70 ° , угол ∠ C A D равен 49 ° . Найдите угол ∠ A B D .

Решение:

Оба вписанных угла ∠ D A C и ∠ D B C опираются на одну дугу ∪ D C .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠ D A C = ∠ D B C = 49 °

Рассмотрим △ A B C :

∠ A B D + ∠ D B C = ∠ A B C

№13. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника △ A B C , в котором A B = B C и ∠ A B C = 177 ° . Найдите величину угла ∠ B O C .

Решение:

∠ A B C – вписанный, опирается на дугу ∪ A C .

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∪ A C = 2 ⋅ ∠ A B C = 2 ⋅ 177 ° = 354 °

∪ A B C = 360 ° − 354 ° = 6 °

Дуги ∪ A B и ∪ B C равны, так как их стягивают равные хорды.

∪ A B = ∪ B C = ∪ A B C 2 = 6 ° 2 = 3 °

∠ B O C – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

№14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 14 . Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 ° . Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .

α + α + 120 ° = 180 °

Применим расширенную теорему синусов для стороны B C и угла ∠ B A C :

B C sin ∠ B A C = 2 R

Поскольку диаметр окружности равен двум радиусам,

№15. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ∠ A B C .

Решение:

Равные хорды стягивают равные дуги. Правильный восьмиугольник разбивает окружность на восемь равных дуг. Градусная мера одной дуги равна

∠ A B C – вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∠ A B C = 45 ° + 45 ° + 45 ° + 45 ° 2 = 90 °

№16. Точки A , B , C и D лежат на одной окружности так, что хорды A B и C D взаимно перпендикулярны, а ∠ B D C = 25 ° . Найдите величину угла ∠ A B D .

Решение:

∠ B A O = ∠ B D C = 25 ° , так как они опираются на одну и ту же дугу d .

Рассмотрим треугольник △ A B O , он прямоугольный, поэтому:

∠ A B O + 25 ° + 90 ° = 180 °

∠ A B O = 180 ° − 90 ° − 25 ° = 65 °

№17. На окружности по разные стороны от диаметра A B взяты точки M и N . Известно, что ∠ N B A = 38 ° . Найдите угол ∠ N M B .

Решение:

∠ N M B = ∠ N A B , так как они опираются на одну и ту же дугу.

∠ N A B найдем из треугольника △ A N B .

Так как по условию задачи A B – диаметр, ∠ A N B = 90 ° , то есть △ A N B прямоугольный.

∠ N A B + 38 ° + 90 ° = 180 °

∠ N A B = 180 ° − 90 ° − 38 °

∠ N A B = 52 ° = ∠ N M B

№18. Треугольник △ A B C вписан в окружность с центром в точке O . Найдите градусную меру угла C треугольника △ A B C , если ∠ A O B = 115 ° .

Решение:

∠ A O B – центральный.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Значит ∪ A B = 115 ° .

∠ A C B – вписанный, опирается на дугу ∪ A B

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∠ A C B = ∪ A B 2 = 115 ° 2 = 57,5 °

№19. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ A O B = 120 ° . Длина меньшей дуги ∪ A B равна 67 . Найдите длину большей дуги.

Решение:

1 способ:

Обозначим большую дугу за l .

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

∪ A B = π R 180 ° 3 ⋅ 120 ° 2 = 67

2 π R 3 = 67 ⇒ π R = 3 ⋅ 67 2

Центральный угол, который опирается на большую дугу l равен 360 ° − 120 ° = 240 ° .

Найдем длину дуги l по формуле:

l = π R 180 ° ⋅ 240 ° = 3 ⋅ 67 2 ⋅ 240 ° 4 180 ° 3 = 3 ⋅ 67 2 ⋅ 4 2 3 = 67 ⋅ 2 = 134

2 способ:

На большую дугу опирается угол в 240 ° , он в два раза больше, чем угол, который опирается на меньшую дугу. Значит длина большей дуги будет в два раза больше, чем длина меньшей дуги.

№20. A C и B D – диаметры окружности с центром O . ∠ A C B = 78 ° . Найдите угол ∠ A O D .

Решение:

∠ A O D = ∠ B O C , так как они вертикальные.

Рассмотрим треугольник △ B O C . Он равнобедренный, O B = O C , так как они являются радиусами окружности.

Раз △ B O C равнобедренный, справедливо равенство: ∠ C B O = ∠ B C O = 78 ° .

∠ B O C + 78 ° + 78 ° = 180 °

∠ B O C = 180 ° − 78 ° − 78 °

№21. Центр окружности, описанной около треугольника △ A B C , лежит на стороне A B . Найдите угол ∠ A B C , если ∠ B A C = 24 ° .

Решение:

Центр окружности лежит на стороне A B , значит A B – диаметр окружности, тогда ∠ A C B = 90 ° , так как является вписанным углом, опирающимся на дугу в 180 ° .

∠ A B C + 24 ° + 90 ° = 180 °

∠ A B C = 180 ° − 90 ° − 24 °

№22. В угол ∠ C = 71 ° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B , точка O – центр окружности. Найдите угол ∠ A O B .

Решение:

O A и O B – радиусы окружности, которые проведены к точкам касания A и B соответственно.

Радиус, проведенный к точке касания, образует с касательной прямой угол.

Рассмотрим четырехугольник A B C D .

Сумма углов в четырехугольнике равна 360 ° .

Видео:Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117Скачать

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:

Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.

Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.

Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.

Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:

Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.

Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:

Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?

Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда

∠COD = ∠AOB

Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.

Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.

Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.

Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:

⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Видео:Найти угол треугольника, вписанного во вписанную окружностьСкачать

Вписанный угол

В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.

Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.

Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:

∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать

∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:

Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°

Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:

⋃MS = ⋃SN — ⋃MN = 180° — 70° = 110°

Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.

Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Видео:В ромбе ABCD угол АВС равен 148°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.Скачать

Углы между хордами и секущими

До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.

Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?

Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°

В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:

Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:

∠K = (130° — 42°):2 = 88°/2 = 44°

Видео:Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Теорема о произведении отрезков хорд

Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:

На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

Подставим в это равенство известные величины

Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:

Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:

Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:

Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:

В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:

Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.

Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.

Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):

Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.