Найти сторону треугольника через диаметр описанной окружности

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Нахождение диаметра описанной окружностиСкачать

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторонуСкачать

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через h_a , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rh_a , где b и с есть две стороны треугольника, h_a — высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R — радиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту h_a: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение h_a a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой — радиус r.

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Все формулы для треугольника

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Длина стороны правильного многоугольника

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через h_a , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rh_a , где b и с есть две стороны треугольника, h_a — высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R — радиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту h_a: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение h_a a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой — радиус r.

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.